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1.3.2 球的体积和表面积3


1.3.2 球的体积和表面积

制作一个乒乓球和一个篮球,分别需要多少材质?

把氢气球充满,需要多少氢气呢?

1.了解球的体积、表面积的推导过程.(难点) 2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题. (重点) 3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接” 与“外切”的几何体问题.(难点)

知识探究1

怎样求球的体积?

怎样求球的体积?

m m = rV ?V = r

实验:排液法测小球的体积
放入小球前

h

实验:排液法测小球的体积
放入小球后

小球的体积
H

等于它排开
h

液体的体积

怎样求球的体积和表面积?

割圆术 早在公元三世纪,我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数,使其面积与圆的面

积之差更小,即所谓“割之弥细,所失弥小”.这样
重复下去,就达到了“割之又割,以至于不可再割,

则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”
思想.

A

球体的分割

O

球体由N个这样形状的几何体 组成

这样可以求出球体的体积为

4 3 V = ?R 3

球的表面积
球面被分割成n个网格,表面积分别为

? S 1, ? S 2 , ? S 3 , ? , ? S n
则球的表面积为 O

S = ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ? ? ?Sn

?Si
O

?Vi

半径是 R 的球的表面积: S 球的表面积是大圆 面积的4倍

= 4? R

2

球的体积与表面积

4 3 1.球的体积公式: V = ?R . 3 2.球的表面积公式: S = 4 ? R 2 .

例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:

2 (1)球的体积等于圆柱体积的 . 3

(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,
高为2R.
因为 V球 =

4 3 p R ,V 圆柱 = p R2 ?2R 3 2 所以, V球 = V 圆柱 3

2p R3 ,

(2)因为 S球 = 4p R2 ,

S 圆柱侧= 2p R ?2 R
所以, S球 = S 圆柱侧.

4p R 2 ,

【变式练习】
(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与 半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积 为16+20π ,则r=( B ) A.1 B.2 C.4 D.8

【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球
与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半 径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为 1 ×4πr2+
2

πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π, 解得r=2.

【例 2】 (1)火星的直径约为地球直径的一半, 地球 的体积约是火星体积的多少倍? (2)木星的表面积约为地球表面积的 120 倍,木星的 体积约是地球体积的多少倍?
【解析】 (1)设火星的半径为 R, 则地球的半径为 2R,

4 3 π ? 2R ? V地 3 因此 = 4 =8. V火 πR3 3

故地球的体积约是火星体积的 8 倍.

(2)设木星和地球的半径分别为 r、R.

依题意,有 4πr2=120×4πR2,解得 r=2 30R.
4 3 4 3 πr π ? 2 30R ? V木 3 3 所以 =4 = 4 =240 30. V地 πR3 πR3 3 3

故木星的体积约是地球体积是 240 30倍.

【总结提升】求解球的体积的大小问题,实际是转化 为求它们的半径之间的关系.

【变式练习】
一个球的大圆面积扩大到原来的 100 倍,那么这个 球的体积有什么变化?
【答案】球的体积扩大到原来 1 000 倍.

1. (2014·陕西高考 )已知底面边长为 1,侧棱长 为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上 , 则该球的体积为
32 A. 3 ?

( C ) C.2π
4 D. 3 ?

B.4π

2、两个半径为 1 的铁球,熔化成一个大球,这个大 球的半径为( C ) A.2 C. 2 3 B. 2 13 D. 4 2

3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它
的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 ( B ) A.25π B. 50π C. 125π D.都不对

4.(2015· 全国卷Ⅱ )已知 A,B 是球 O 的球面上两点 , ∠ AOB=90°,C 为该球面上的动点 ,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π (

C )

【解析】如图所示 ,当点 C 位于垂直 于面 AOB 的直径端点时 ,三棱锥 O-ABC 的体积最大 ,设球 O 的半径为 R,此时 VO-ABC=VC-AOB=
1 3

1 ×2

1 2 3 R ×R= 6 R =36,故 R=6,
2

则球 O 的表面积为 S=4π R =144π.

5.一个球的半径扩大到原来的3倍,则其表面积扩大 9 倍,体积扩大到原来的___ 27 倍. 到原来的___

【解析】设球原来的半径为R,表面积为S表,体积为
V,则扩大后的半径为3R,表面积为 S? ,体积为V′, 表
4 3 π (3R) 2 V? 3 S? 4π (3R) 表 = = 27. 所以 = = 9, 4 3 V S表 4πR2 πR 3

答案:9

27

表面积


体积

不能忍受批评,就无法尝试新事物。


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