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高中数学人教A版必修2同步练习:3.3.1两条直线的交点坐标


第三章
一、选择题

3.3

3.3.1
)

1.直线 2x+3y+8=0 和直线 x-y-1=0 的交点坐标是( A.(-2,-1) C.(1,2) [答案] B
?2x+3y+8=0, ? [解析] 解方程组? ?x-y-1=0, ? ? ?x=-1, 得? 即交点坐标是(-1,-2

). ? ?y=-2,

B.(-1,-2) D.(2,1)

2.若三条直线 2x+3y+8=0,x-y=1,和 x+ky=0 相交于一点,则 k 的值等于( A.-2 C.2 [答案] B
? ?x-y=1 [解析] 由? 得交点(-1,-2), ?2x+3y+8=0 ?

)

1 B.- 2 1 D. 2

1 代入 x+ky=0 得 k=- ,故选 B. 2 3.直线 kx-y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通过定点( A.(0,0) C.(3,1) [答案] C [解析] 方程可化为 y-1=k(x-3),即直线都通过定点(3,1). 4.已知点 M(0,-1),点 N 在直线 x-y+1=0 上,若直线 MN 垂直于直线 x+2y-3 =0,则 N 点的坐标是( A.(-2,-3) C.(2,3) [答案] C [解析] 将 A、B、C、D 四个选项代入 x-y+1=0 否定 A、B,又 MN 与 x+2y-3=0 垂直,否定 D,故选 C. 5.过两直线 3x+y-1=0 与 x+2y-7=0 的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程 是( ) A.x-3y+7=0 B.x-3y+13=0 ) B.(2,1) D.(-2,-1) B.(0,1) D.(2,1) )

C.2x-y+7=0 [答案] B [解析] 由?
?3x+y-1=0, ? ?x+2y-7=0, ?

D.3x-y-5=0

得交点(-1,4).

∵所求直线与 3x+y-1=0 垂直, 1 1 ∴所求直线斜率 k= ,∴y-4= (x+1), 3 3 即 x-3y+13=0. 6. 已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直, 垂足为(1, p), 则 m-n+p 为( A.24 C.0 [答案] B m2 [解析] ∵两直线互相垂直,∴k1· k2=-1,∴- ·=-1,∴m=10.又∵垂足为(1,p), 45 ∴代入直线 10x+4y-2=0 得 p=-2, 将(1,-2)代入直线 2x-5y+n=0 得 n=-12,∴m-n+p=20. 二、填空题 7.在△ABC 中,高线 AD 与 BE 的方程分别是 x+5y-3=0 和 x+y-1=0,AB 边所在 直线的方程是 x+3y-1=0, 则△ABC 的顶点坐标分别是 A________; B________; C________. [答案] (-2,1) (1,0) (2,5) [解析] 高线 AD 与边 AB 的交点即为顶点 A,高线 BE 与边 AB 的交点即为顶点 B,顶 点 C 通过垂直关系进行求解. 8.两条直线 x+my+12=0,2x+3y+m=0 的交点在 y 轴上,则 m 的值是________. [答案] ± 6
?mb+12=0, ? [解析] 设交点坐标为(0,b),则有? 解得 m=± 6. ?3b+m=0, ?

)

B.20 D.-4

9.已知直线 l1:a1x+b1y=1 和直线 l2:a2x+b2y=1 相交于点 P(2,3),则经过点 P1(a1, b1)和 P2(a2,b2)的直线方程是________. [答案] 2x+3y=1 [解析] 由题意得 P(2,3)在直线 l1 和 l2 上,
? ?2a1+3b1=1, 所以有? 则点 P1(a1,b1)和 P2(a2,b2)的坐标是方程 2x+3y=1 的解, ?2a2+3b2=1, ?

所以经过点 P1(a1,b1)和 P2(a2,b2)的直线方程是 2x+3y=1. 三、解答题

10.已知直线 x+y-3m=0 和 2x-y+2m-1=0 的交点 M 在第四象限,求实数 m 的取 值范围. [分析] 解方程组得交点坐标,再根据点 M 在第四象限列出不等式组,解得 m 的取值 范围.
? ?x+y-3m=0, 由? 得 ?2x-y+2m-1=0, ?

[解析]

1 , ?x=m+ 3 ? 8m-1 ?y= 3 .

m+1 8m-1 ∴交点 M 的坐标为( , ). 3 3 ∵交点 M 在第四象限, 1 >0, ?m+ 3 ∴? 8m-1 ? 3 <0,

1 1 解得-1<m< .∴m 的取值范围是(-1, ). 8 8

11.直线 l 过定点 P(0,1),且与直线 l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0 分别交于 A、B 两点.若线段 AB 的中点为 P,求直线 l 的方程. [解析] 解法 1:设 A(x0,y0),由中点公式,有 B(-x0,2-y0),∵A 在 l1 上,B 在 l2 上,
?x0-3y0+10=0 ?x0=-4 ? ? ∴? ?? , ? ? ?-2x0+?2-y0?-8=0 ?y0=2

∴kAP=

1-2 1 =- , 4 0+4

1 故所求直线 l 的方程为:y=- x+1, 4 即 x+4y-4=0. 解法 2:设所求直线 l 方程为: y=kx+1,l 与 l1、l2 分别交于 M、N.
? ?y=kx+1 10k-1 7 解方程组? ?N( , ) 3 k - 1 3k-1 ?x-3y+10=0 ? ?y=kx+1 ? 8k+2 7 解方程组? ?M( , ) k+2 k+2 ?2x+y-8=0 ?

∵M、N 的中点为 P(0,1)则有: 1 7 7 1 ( + )=0?∴k=- . 2 3k-1 k+2 4 故所求直线 l 的方程为 x+4y-4=0.

解法 3:设所求直线 l 与 l1、l2 分别交于 M(x1,y1)、N(x2,y2),P(0,1)为 MN 的中点,则 有:
?x1+x2=0, ?x2=-x1, ? ? ? ?? ?y1+y2=2 ? ? ?y2=2-y1.

代入 l2 的方程,得: 2(-x1)+2-y1-8=0 即 2x1+y1+6=0.
? ?x1-3y1+10=0 解方程组? ?M(-4,2). ?2x1+y1+6=0 ?

由两点式:所求直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 解法 4:同解法 1,设 A(x0,y0),
?x0-3y0+10=0 ? ? ,两式相减得 x0+4y0-4=0,(1) ?2x0+y0+6=0 ?

考察直线 x+4y-4=0,一方面由(1)知 A(x0,y0)在该直线上;另一方面,P(0,1)也在该 直线上,从而直线 x+4y-4=0 过点 P、A.根据两点决定一条直线知,所求直线 l 的方程为: x+4y-4=0. 12.m 为何值时,直线 l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3=2x-3my-4=0 不能围成 三角形? [解析] (1)先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况. ①若 m≠0,则 k1=-4,k2=-m,k3= 2 , 3m

1 当 m=4 时,k1=k2;当 m=- 时,k1=k3;而 k2 与 k3 不可能相等. 6 ②若 m=0,则 l1:4x+y-4=0,l2:y=0,l3:2x-4=0,这时三条直线能围成三角形. 1 ∴当 m=4 或 m=- 时,三条直线不能围成三角形. 6 (2)再考虑三条直线共点的情况. 将 y=-mx 代入方程 4x+y-4=0,得(4-m)x=4,当 m≠4 时,x= 4 ,即 l1 与 l2 4-m

4 m 8 12m2 交于点 P( ,- ),将 P 点坐标代入 l3 的方程得 + -4=0,解得 m=-1 4-m 4-m 4-m 4-m 2 或 m= . 3 2 ∴m=-1 或 m= 时,l1,l2,l3 交于一点,不能围成三角形. 3 1 2 综上所述,当 m=-1,- , ,4 时,三条直线不能围成三角形. 6 3


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