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2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)专题研究 一 数列求和


高考调研

高三数学(新课标版· 理)

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)

第六章 数列

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数列

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专题研究

数列求和
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br />第六章

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题型一

公式法求和

例 1 已知数列{an}是首项 a1=4, 公比 q≠1 的等比数列, Sn 是其前 n 项和,且 4a1,a5,-2a3 成等差数列. (1)求公比 q 的值; (2)求 Tn=a2+a4+a6+…+a2n 的值.

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【解析】 (1)由题意得 2a5=4a1-2a3. ∵{an}是等比数列且 a1=4,公比 q≠1, ∴2a1q4=4a1-2a1q2,∴q4+q2-2=0, 解得 q2=-2(舍去)或 q2=1,∴q=-1. (2)∵a2,a4,a6,…,a2n 是首项为 a2=4×(-1)=- 4,公比为 q2=1 的等比数列,∴Tn=na2=-4n.
【答案】 (1)-1 (2)-4n

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探究 1 应用公式法求和时,要保证公式使用的正确 性,尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式.

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思考题 1 (2011· 浙江文)已知公差不为 0 的等差数列 1 1 1 {an}的首项 a1 为 a(a∈R),且a ,a ,a 成等比数列. 1 2 4 (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 1 (2)对 n∈N ,试比较a +a +a +…+a 与a 的大 2 22 23 2n 1
*

小.

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【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意可 1 2 1 1 知(a ) =a · , 2 1 a4 即(a1+d)2=a1(a1+3d)从而 a1d=d2. 因为 d≠0,所以 d=a1=a.故通项公式 an=na.

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1 1 1 (2)记 Tn=a +a +…+a ,因为 a2n=2na, 2 22 2n 1 1n ?1-? ? ? 2 1 1 1 1 12 1 所以 Tn = a ( 2 + 22 +…+ 2n )= a · 1 = a [1- 1-2 1n (2) ]. 1 1 从而,当 a>0 时,Tn<a ;当 a<0 时,Tn>a . 1 1

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题型二

通项分解法

1 1 1 例 2 数列 1,, , , 2, 4, ……的前 2n 项和 S2n=________. 2 4 8 1 1 1 1 n-1 【解析】 S2n=(1+2+4+…+2 )+(2+4+8+…+2n)
1 1 n =2 -1+1-2n=2 -2n.
n

【答案】

1 2 -2n
n

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探究 2

将数列中的每一项拆成几项,然后重新分

组,将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题,我 们将这种方法称为通项分解法, 运用这种方法的关键是通 项变形.

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思考题 2 前 n 项的和 Sn.

求数列 0.9,0.99,0.999,…,0.99…9…
n个9

1 【答案】 n- (1-0.1n) 9

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题型三
例3 Sn 满足

裂项法消法

已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和
? ? ?

1 2 ?Sn- ?. Sn=an 2?

(1)求 Sn 的表达式; Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1

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【解析】

1 2 ?Sn- ?,an=Sn-Sn-1(n≥2), (1)∵Sn=an
?

?

?

2?

1 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)?Sn- ?,
?

?

?

2?

即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 由题意 Sn-1·n≠0, S 1 1 ①式两边同除以 Sn-1·n,得 - S =2, Sn Sn-1

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1 1 1 ∴数列{S }是首项为S =a =1,公差为 2 的等差数 n 1 1 列. 1 1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . Sn 2n-1 Sn 1 (2)又 bn= = 2n+1 ?2n-1??2n+1? 1 ? 1? 1 ? =2?2n-1-2n+1?, ? ? ?

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∴Tn=b1+b2+…+bn
? 1 1 ?? 1?? 1? ?1 1? ?? ? =2? 1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1?? ?? ? ? ? ?? ? ??

1 ? 1? n ? ? = ?1-2n+1?= . 2? ? 2n+1

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探究 3

裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆

成两项或多项,使这些拆开的项出现有规律的相互抵消, 看有几项没有抵消掉,从而达到求和的目的.

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思考题 3

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已知直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0 所过

定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第一项与第二 1 项,若 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T10= an·n+1 a ( ) 9 A.21 11 C.21 10 B.21 20 D.21

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【解析】 依题意,将(3m+1)x+(1-m)y-4=0 化
?x+y-4=0 ? 为 (x + y - 4) + m(3x - y) = 0 , 令 ? ?3x-y=0 ? ?x=1 ? ? ?y=3 ?

,解得

, 所以直线(3m+1)x+(1-m)y-4=0 过定点(1,3),

所以 a1=1,a2=3,公差 d=2,an=2n-1, 1 1 1 1 bn= =2( - ), an·n+1 a 2n-1 2n+1

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 T10= ×( - + - +…+ - )= ×( - 2 1 3 3 5 20-1 20+1 2 1 1 10 )= .故选 B. 21 21

【答案】 B

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题型四

错位相减法

例 4 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n ∈N+). (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

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Sn+1 【解析】 (1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴ Sn =3. 又∵S1=a1=1,∴数列{Sn}是首项为 1,公比为 3 的 等比数列,Sn=3n-1(n∈N+). 当 n≥2 时,an=2Sn-1=2·n-2, 3
?1, ? ∴an=? n-2 ?2· , ? 3

n=1 n≥2

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(2)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan, 当 n=1 时,T1=1; 当 n≥2 时,Tn=1+4·0+6·1+…+2n·n 2,① 3 3 3 3Tn=3+4·1+6·2+…+2n·n-1,② 3 3 3


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①-②得:-2Tn=2+2(31+32+…+3n 2)-2n·n 3 3?1-3n-2? =2+2· -2n·n-1=-1+(1-2n)·n-1. 3 3 1-3 1 ? 1? n-1 ∴Tn= +?n-2?3 (n≥2). 2 ? ?



-1

1 ? 1? n-1 又∵T1 也满足上式,故 Tn=2+?n-2?3 (n∈N+). ? ?

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探究 4

①如果一个数列的各项是由一个等差数列

与一个等比数列对应项乘积组成, 此时求和可采用错位相 减法. ②运用错位相减法求和, 一般和式比较复杂, 运算量 较大,易会不易对,应特别细心,解题时若含参数,要注 意分类讨论.

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1 思考题 4 设正项等比数列{an}的首项 a1= ,前 n 2 项和为 Sn,且 210S30-(210+1)S20+S10=0, (1)求{an}的通项; (2)求{nSn}的前 n 项和 Tn.

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1 【解析】 (1)an= n,n=1,2,… 2

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1 1 (2)∵{an}是首项 a1= ,公比 q= 的等比数列, 2 2 1 1 2?1-2n? 1 n ∴Sn= =1- n,nSn=n- n. 1 2 2 1- 2 则数列{nSn}的前 n 项和 1 2 n Tn=(1+2+…+n)-(2+22+…+2n) ①

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n-1 Tn 1 1 2 n 2 = 2 (1 +2 +…+n)- ( 22 + 23 + …+ 2n + 2n+1 ) ② ①-②,得 Tn 1 1 1 1 n 2 =2(1+2+…+n)-(2+22+…+2n)+2n+1 1 1 n?n+1? 2?1-2n? n = - + n+1, 4 1 2 1-2 n?n+1? 1 n 即 Tn= 2 + n-1+2n-2. 2
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