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黑龙江省鹤岗一中2015—2016学年高二上学期期中试题 数学(理) Word版含答案


高二学年期中考试数学试题(理)
2015 年 11 月 4-5 日 第 I 卷(选择题)
一、选择题 1.直线 3x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( ) ? ? 2? 5? (A) (B) (C) (D) 6 3 3 6 2.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 B. ?



1 3

C. ?

2 3


D. ? 2

3.抛物线 y ? ?8 x 2 的准线方程是( A. y ?

1 1 B. y ? 2 C. x ? D. y ? ?2 32 32 4.二圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 和 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 5 ? 0 的位置关系是( )
A.相交 B.外切 C.内切
2

D.外离 )

5.已知直线 l 的方程为 x ? y ? a ? 0(a ? 0) ,则下列叙述正确的是( A. 直线不经过第一象限 B. 直线不经过第二象限 C. 直线不经过第三象限 D. 直线不经过第四象限 6.已知直线

x y ? ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有公共点,则 a b
B. a 2 ? b 2 ? 1 C.



) D.

A. a 2 ? b 2 ? 1

1 1 ? 2 ?1 2 a b

1 1 ? ?1 a 2 b2


7.已知圆 x 2 ? y 2 ? 9 的弦过点 P(1,2) ,当弦长最短时,该弦所在直线方程为 ( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. y ? 2 ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. x ? 1 ? 0

8.若直线 l1 : y ? 2 ? (k ? 1) x 和直线 l 2 关于直线 y ? x ? 1 对称,那么直线 l 2 恒过定点( A. (2,0) B. (1,-1) C. (1,1) D. (-2,0) 9.在同一坐标系中,方程 a x ? b y ? 1 与 ax ? by ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是(
2 2 2 2 2

)



x ? 1, ? ? y ? x, 10. 已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 ? 则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离的最小值为 ( ) ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? 14 6 A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 2 2 x y 11. 已知点 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1、 F2 分别是双曲线的左、 右焦点, I 为△PF1F2 a b
的内心,若 A.4 B. C.2 D. 成立,则双曲线的离心率为( )

12. 如图,等腰梯形 ABCD 中, AB ∥ CD 且 AB ? 2 , AD ? 1 , DC ? 2x x ? ? 0,1? .以 A,B 为焦点,且 过点 D 的双曲线的离心率为 e1 , 以 C , D 为焦点 , 且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 , 则 e1 ? e2 的取值范围为 ( )

?

?

A. ? 2, +? ?

B.

?

5, +?

?

C. ?

? 3 3+1 ? , +? ? ? ? 2 ?

D.

?

5+1, +?

?

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 13 . 已 知 双 曲 线 为

x2 y2 5 ? 2 ?1 ( a > 0 , b > 0 ) 的 离心率 为 ,则双曲线的渐近线方程 2 2 a b
. .

14.直线 ? 2 ? ? ? x ? ? ? ?1? y ? 2? ?1 ? 0 经过的定点坐标为 15.若实数 x, y 满足 ? 16.方程

? y ?x ? y ? 2 ,则 的取值范围是 x ? ? x ? y ?1

x2 y2 ? ? 1 表示曲线 C,给出以下命题: 4 ? t t ?1

①曲线 C 不可能为圆; ③若 1 ? t ? 4 ,则曲线 C 为椭圆;

②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 1 或 t ? 4 ; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<

5 . 2

其中真命题的序号是____________(写出所有正确命题的序号) . 三、解答题 17. 根据下列条件求直线方程 (1)过点(2,1)且倾斜角为

? 的直线方程; 3

(2)过点(-3,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程. 18.已知方程 x ? y ? 2mx ? 4 y ? 5m ? 0 的曲线是圆 C (1)求 m 的取值范围; (2)当 m ? ?2 时,求圆 C 截直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 所得弦长;
2 2

19. 实数 x、 y 满足圆的标准方程 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 ,
2 2

y 的最小值; (Ⅱ)求定点 ?1,0 ? 到圆上点的最大值. x?4 3 20.已知椭圆的焦点是 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) ,又过点 (1, ) . 2
(Ⅰ)求 (1)求椭圆的离心率; (2)又设点 P 在这个椭圆上,且 | PF 1 | ? | PF2 |? 1 ,求 ?F 1PF2 的余弦的大小.

21.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦点为 F,抛物线上横坐标为
距离相等.

1 的点到抛物线顶点的距离与其到准线的 2

y

A

O F
B

P

x

(1)求抛物线的方程; (2)设过点 P 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆过点 F , (6, 0) 求直线 l 的方程.

x2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 2 a b 过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时, | AB | ? | CD |? 3 2 .

22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

(1)求椭圆的方程; (2)求由 A,B,C,D 四点构成的四边形的面积的取值范围.

鹤岗一中 2015~2016 学年度上学期期中考试 高二数学理科试题答案
一、选择题

1 D

2 D

3 A

4 C
?1 ? ?3 ?

5 B

6 D
16、②④

7 A

8 C

9 D

10 C

11 C

12 B

二、填空题 13、y ? ?

1 2

14、 ?1,1? 三、解答题

15、 ? ,3 ?

17. (1) y ? 3x ? 2 3 ? 1 (2) y ? ? 18. (1) m ? 1或m ? 4 (2) 2 13

2 x ; y ? ?x ?1 . 3

y 20 ) min ? ? , ; (Ⅱ)最大值 2 2 ? 2 . x?4 21 x2 y2 1 3 ? ? 1, e ? 20. (1)方程为 ; (2) 2 5 4 3 1 1 1 p 1 21. (1)抛物线线上横坐标为 的点纵坐标 y02 ? p ,到原点的距离 p ? ,? p ? ? ? 解得 2 4 4 2 2 p ? 2 ,抛物线的方程为: y 2 ? 4 x .
19. (Ⅰ) ( (2)由题意可知,直线 l 不垂直于 y 轴 可设直线 l : x ? my ? 6 ,
? y2 ? 4 x ? y ? y2 ? 4m 则由 ? 可得, y 2 ? 4my ? 24 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 1 , ? y1 y2 ? ?24 ? x ? my ? 6

因为以 AB 为直径的圆过点 F ,所以 FA ? FB ,即 FA ? FB ? 0 可得: ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? 5m( y1 ? y2 ) ? 25 ? ?24(1 ? m 2 ) ? 20m 2 ? 25 ? 0 ,解得 : m ? ? 直线 l : x ? ?

1 ,∴ 2

1 y ? 6 ,即 l : 2 x ? y ? 12 ? 0 . 2

22. (1)由题意知, e ? c ? 2 ,则 a ? a 2

a 2 2 x c ? 1 .所以椭圆的方程为 4分 ? y ?1. 2 (2)① 当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 1 1 由题意知 S四边形 ? AB ? CD ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ; 5分 2 2 ②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则直线 CD 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1) . k 2 2 2 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,
所以 | AB |?

2c, b ? c ,?| AB | ? | CD |? 2a ? 2 b ? 2 2c ? 2c ? 3 2 ,所以

2

k 2 ? 1 | x1 ? x2 |? k 2 ? 1 ?
2 2(

2 2 k 2 ? 1 2 2 (k 2 ? 1) . ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
10 分

8分

同理, | CD |?

1 ? 1) 2 2 (k 2 ? 1) k2 . ? 2 2 k ? 2 1? 2 k

所以 S四边形 ?

4 k?1 k 2 ? ? 2? 2 2 k ? 1 ?1 2 k?1 k k

?

?

?

?

1 1 2 2 (k 2 ? 1) 2 2 (k 2 ? 1) 4(k 2 ? 1) 2 ? AB ? CD ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 k2 ? 2 2k 4 ? 2 ? 5k 2

2

?

? ?1
2


2

2 ? 1? 1? ? k ? ?1 时取等号 Q 2? k ? ? ?1 ? 2? 2 k ? ? ? ? ? 1 ? 9 当且仅当 k? k ? ? ? ?16 ? 16 ∴ S四边形 ?[ ,2) 综合①与②可知, S四边形 ? ? ,2? 12 分 9 ?9 ?

11 分


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