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高考数学排列组合常见题型及解题策略


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排列组合常见题型及解题策略
排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践 证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一 谈排列组合应用题的解题策略.

一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把


能重复的元素看作“客” ,能重复的元素看作“店” ,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住 店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 【例 1】 (1)有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法? (2)有 4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】 : (1) 3 (2) 4
4
3

(3) 4

3

【例 2】 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法? 【解析】 :完成此事共分 6 步,第一步;将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案, 第二步:将第二名实习生分配到车间也有 7 种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有 7 种不同 方案. 【例 3】 8 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有( A、 8
3
6



B、 3

8

C、 A8

3

D、 C8

3

【解析】 :冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把 8 名学生看作 8 家“店” ,3 项冠 军看作 3 个“客” ,他们都可能住进任意一家“店” ,每个“客”有 8 种可能,因此共有 8 种 不同的结果。所以选 A
3

二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.

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【例 1】 A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边,那么不同的排法种数 有 【解析】 :把 A, B 视为一人,且 B 固定在 A 的右边,则本题相当于 4 人的全排列, A4 ? 24 种
4

【例 2】 (2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
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2 2 2 2 【解析】 间接法 6 位同学站成一排, 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,C3 A2A4A2 =432 种 2 2 2 2 其中男生甲站两端的有 A1 2C3 A2A3 A2 =144 ,符合条件的排法故共有 288

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三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规
定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例 1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 【解析】 :除甲乙外,其余 5 个排列数为 A5 种,再用甲乙去插 6 个空位有 A6 种,不同的排法种数是
5 2 A5 A6 ? 3600 种
5 2

【例 2】 书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有 (具体数字作答) 【解析】 :
1 1 A1 7 A8 A9 = 5 0 4

种不同的插法

【例 3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的 演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
5 2 【解析】 :不同排法的种数为 A5 A6 =3600

【例 4】 某工程队有 6 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工 程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程的不同排法种数是
2 【解析】 :依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的 5 个空中,可得有 A5 =

20 种不同排法。 【例 5】某市春节晚会原定 10 个节目,导演最后决定添加 3 个与“抗冰救灾”有关的节目, 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的 10 个节目的相对顺序不变, 则该晚会的节目单的编排总数为 【解析】 : A9A10A11 =990 【例 6】.马路上有编号为 1,2,3?,9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三 盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种? 【解析】 :把此问题当作一个排对模型,在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 C5 种方 法,所以满足条件的关灯方案有 10 种.
-23

种.

1

1

1

基利教育 说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒 模型可使问题容易解决. 【例 7】 3 个人坐在一排 8 个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种? 【解析】 : 解法 1、先将 3 个人(各带一把椅子)进行全排列有 A 3 3 ,○*○*○*○,在四个空 中分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有 A 1 4 种,所以每个人左右两边都空位的排法有
3 A1 4 A 3 =24 种.

解法 2:先拿出 5 个椅子排成一排,在 5 个椅子中间出现 4 个空,*○*○*○*○*再让 3 个人每人带一 把椅子去插空,于是有 A 4 =24 种. 【例 8】 停车场划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同的停车 方法有多少种? 【解析】 :先排好 8 辆车有 A 8 8 种方法,要求空车位置连在一起,则在每 2 辆之间及其两端的 9
1 8 个空档中任选一个,将空车位置插入有 C 1 9 种方法,所以共有 C 9 A 8 种方法.

3

注:题中*表示元素,○表示空.

四.元素分析法(位置分析法) :某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元
素;再排其它的元素。 【例 1】 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作, 其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 )
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D. 48 种

2 3 【解析】 : 方法一: 从后两项工作出发,采取位置分析法。 A3 A3 ? 36

1 1 3 方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法 C2 C2 A3 ? 24 ;若小张、小赵都入选,则有

选法 A2 A3 ? 12 ,共有选法 36 种,选 A.
2 2

【例 2】 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种? 【解析】 : 老师在中间三个位置上选一个有 A3 种,4 名同学在其余 4 个位置上有 A4 种方法;所以共有
1 4 A3 A4 ? 72 种。.
1
4

【例 3】 有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种? 【解析】 法一: A5 A6 ? 3600
1 6

法二: A6 A5 ? 3600
2 5

法三: A7 ? A6 ? A6 ? 3600
7 6 6

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五.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。

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【例 1】 (1) 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数是( A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种



(2)把 15 人分成前后三排,每排 5 人,不同的排法种数为 (A ) A 15 A 10
5 5
15 5 5 5 3 (B) A 15 15 A 10 A 5A 3 (C) A

5 5 5 3 (D) A 15 A 10 A 5 ?A 3

(3)8 个不同的元素排成前后两排,每排 4 个元素,其中某 2 个元素要排在前排,某 1 个元素排在后 排,有多少种不同排法? 【解析】 : (1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排,共 A6 ? 720
6

种,选 C .

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(2)答案:C
2

(3)看成一排,某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个,有 A4 种,某 1 个元素排在后半段的四个 位置中选一个有 A4 种,其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A5 种,故共有 A4 A4 A5 ? 5760 种排法.
1 5

1

2

5

五.定序问题缩倍法(等几率法) :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小
倍数的方法. 【例 1】. A, B, C , D, E 五人并排站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边( A, B 可以不相邻)那么不同的 排法种数是( )
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【解析】:B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同, 所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半, 即

1 5 A5 ? 60 种 2
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【例 2】 书架上某层有 6 本书,新买 3 本插进去,要保持原有 6 本书的顺序,有多少种不同的插法?
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【解析】 :法一: A9

3

法二: 1 A 9 9 6
A6

【例 3】将 A、B、C、D、E、F 这 6 个字母排成一排,若 A、B、C 必须按 A 在前,B 居中,C 在后的原 则(A、B、C 允许不相邻) ,有多少种不同的排法? 【解析】 :法一: A6
3
6 法二: 1 A6 3 A3

六.标号排位问题(不配对问题) 把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排
入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成. 【例 1】 将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格里,每格填一个数,则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有( A、6 种 B、9 种 C、11 种 ) D、23 种
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基利教育 【解析】 :先把 1 填入方格中,符合条件的有 3 种方法,第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有 3×3×1=9 种填法,选 B . 【例 2】 编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( A 10 种 答案:B 【例 3】 :同室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡, 则 4 张贺年卡不同的分配方式共有( (A)6 种 (B)9 种 ) (D)23 种 B 20 种 C 30 种 ) D 60 种

(C)11 种

【解析】 :设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为 a、b、c、d。 第一步,甲取其中一张,有 3 种等同的方式; 第二步,假设甲取 b,则乙的取法可分两类: (1)乙取 a,则接下来丙、丁取法都是唯一的, (2)乙取 c 或 d(2 种方式) ,不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理,一共有 3 种分配方式。 ? ( 1 ? 2 )? 9 故选(B) )

【例 4】 :五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有(
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(A)60 种 答案:B

(B)44 种

(C)36 种

(D)24 种

六.不同元素的分配问题(先分堆再分配) :注意平均分堆的算法
【例 1】 有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式? (1) 分成 1 本、2 本、3 本三组; (2) 分给甲、乙、丙三人,其中一个人 1 本,一个人 2 本,一个人 3 本; (3) 分成每组都是 2 本的三个组; (4) 分给甲、乙、丙三人,每个人 2 本; (5) 分给 5 人每人至少 1 本。
1 2 3 【解析】: (1)C6 C5 C3 1 2 3 3 (2)C6 C5 C3 A3 (3)
2 2 2 2 1 1 1 1 1 C6 C4 C2 C5 C5C4C3C2C1 5 2 2 2 ( 4 ) ( 5 ) A5 C C C 6 4 2 3 A4 A3 4
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【例 2】 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官, 每个乡镇至少一名, 则不同的分配方案有 (用数字作答) .
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基利教育 【解析】 :第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 ; 2 A2

3 第 二 步 将 分 好 的 三组 分配 到 3 个 乡 镇, 其 分 法有 A3 所 以 满 足 条 件 得分 配的 方 案 有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. 【例3】 5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有 (A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
3 1 1 C5 C2C1 3 ? A3 =60 种, 2 A2

【解析】 :人数分配上有 1,2,2 与 1,1,3 两种方式,若是 1,2,2,则有 若是 1,1,3,

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1 2 2 C5 C4 C 2 3 ? A3 则有 =90 种,所以共有 150 种,选 A 2 A2

【例 4】 将 9 个 (含甲、 乙) 平均分成三组, 甲、 乙分在同一组, 则不同分组方法的种数为 ( ) B.140 答案 : ( A ) C.280 D.840

A. 70

【例 5】 将 5 名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方 案有( ) (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种

【解析】 :将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有
1 2 C5 ? C4 ? 15 种方法,再将 3 组分到 3 个班, 2 A2

3 共有 15 ? A3 ? 90 种不同的分配方案,选 B.

【例 6】 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超 过 2 个,则该外商不同的投资方案有( A.16 种 B.36 种 )种
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C.42 种

D.60 种 故选 D;

2 2 2 3 3 【解析】 :按条件项目可分配为 2,1, 0, 0 与 1,1,1, 0 的结构,∴ C4 C3 A2 ? C4 A3 ? 36 ? 24 ? 60

【例 7】 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案有 多少种?

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基利教育 答案:
4 4 C12 C84C4 A3 3 3 A3

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【例 8】 有甲乙丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需一人承担,从 10 人中选出 4 人承担 这三项任务,不同的选法种数是( A、1260 种 B、2025 种 ) C、2520 种 D、5040 种

【解析】 :先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务,再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务,第 三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务,不同的选法共有 C10C8C7 ? 2520 种,选 C .
2 1 1

【例 9】.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
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【解析】 :因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况: ①若甲乙都不参加,则有派遣方案 A8 种; ②若甲参加而乙不参加,先安排甲有 3 种方法,然后安排其余学生有 A8 方法,所以共有 3 A8 ; ③若乙参加而甲不参加同理也有 3 A8 种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有 7 种方法,然后 再安排其余 8 人到另 两 个 城 市 有 A8 种 , 共 有 7 A8 方 法 . 所 以 共 有 不 同 的 派 遣 方 法 总 数 为
4 3 3 2 种8 8 A8 ? 3 A8 ? 3 A8 ? 7 A8 ?4 0
2 2 3 3 3 4

【例 10】 四个不同球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种? 【解析】 :先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有 C4 种,再排:在四个盒中每次排 3 个 有 A4 种,故共有 C4 A4 ? 144 种.
3 2

2

3

七.相同元素的分配问题隔板法:
【例 1】 :把 20 个相同的球全放入编号分别为 1,2,3 的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其 编号数,则有多少种不同的放法? 【解析】 :向 1,2,3 号三个盒子中分别放入 0,1,2 个球后还余下 17 个球,然后再把这 17 个球分成 3 份,每份至少一球,运用隔板法,共有 C16 ? 120种。
2
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【例 2】 10 个三好学生名额分到 7 个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案? 【解析】 :10 个名额分到 7 个班级,就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆,每堆 至少一个,可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板,每一种插法对应着一种分配方案,
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6 故共有不同的分配方案为 C9 ? 84 种.
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变式 1:7 个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有 变式 2:马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的 9 盏路灯,为节约用电,可以把其 中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件 的关灯办法有 种



【例 3】 :将 4 个相同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球放入 4 各不同的盒子中的 3 个 中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种? 【解析】 : 1、先从 4 个盒子中选三个放置小球有 C4 种方法。 2、注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在 4 个相 同的白球、5 个相同的黑球、6 个相同的红球所产生的 3 个、4 个 5 个空挡中分别插入两个板。各有 C3 、
2 3
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C42 、 C52 种方法。
3、由分步计数原理可得 C4 C3 C4 C5 =720 种
3 2 2 2

八.多面手问题( 分类法---选定标准)
【例 1】 : 有 11 名外语翻译人员,其中 5 名是英语译员,4 名是日语译员,另外两名是英、 日语均精通,从中找出 8 人,使他们可以组成翻译小组,其中 4 人翻译英语,另 4 人翻译日 语,这两个小组能同时工作,问这样的 8 人名单可以开出几张?
4 4 3 1 4 4 1 3 2 4 4 2 3 1 1 3 C5 C4 ? C5 C2C4 ? C5 C2C4 ? C5 C4 ? C5 C4 ? C5 C2C1 C4

变式:. 有 11 名外语翻译人员,其中有 5 名会英语,4 名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出 8 人, 组成两个翻译小组,其中 4 人翻译英语,另 4 人翻译日语,问共有多少不同的选派方式? 答案 :185
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九.走楼梯问题 (分类法与插空法相结合)
【例 1】 小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有 16 级 台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法? 【解析】 :插空法解题:考虑走 3 级台阶的次数: 1)有 0 次走 3 级台阶(即全走 2 级) ,那么有 1 种走法; 2)有 1 次走三级台阶。 (不可能完成任务) ; 3)有两次走 3 级台阶,则有 5 次走 2 级台阶:
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基利教育 (a)两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中,有
1 C6 ?6种

(b)两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 5 个两级台阶形成的空中,有
2 C6 ? 15 种走法。

4)有 3 次(不可能)

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5)有 4 次走 3 级台阶,则有 2 次走两级台阶,互换角色,想成把两个 2 级台阶放到 3 级台阶形成得空
1 2 中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种 C5 ? C5 ? 15 走法;

6)有 5 次(不可能) 故总共有:1+6+15+15=37 种。 变式:欲登上第 10 级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有(

)

(A)34 种

(B)55 种
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(C)89 种

(D)144 种

答案: (C)

十.排数问题(注意数字“0” )

【例 1】 (1)由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共 有( ) A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种
5

【解析】 :按题意,个位数字只可能是 0,1,2,3,4 共 5 种情况,分别有 A5 个,
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 3 A4 A3 A3 , A3 A3 A3 , A2 A3 A3 , A3 A3 个,合并总计 300 个,选 B .

(2)从 1,2,3,?,100 这 100 个数中任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不计顺序)有多少种? 【解析】 :将 I ? ?1 ,2,3

,100

? 分成四个不相交的子集,能被 4 整除的数集 A ? ?4,8,12,
97? ,能被 4 除余 2 的数集 C ? ?2,6,

100? ;能

被 4 除余 1 的数集 B ? ?1,5,9, 3 的数集 D ? ?3,7,11,

,98? ,能被 4 除余

99? ,易见这四个集合中每一个有 25 个元素;从 A 中任取两个数符

合要;从 B, D 中各取一个数也符合要求;从 C 中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不 符合要求;所以符合要求的取法共有 C25 ? C25C25 ? C25 种.
2 1 1 2

十一.染色问题:涂色问题的常用方法有: (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论;
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(3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。
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基利教育 【例 1】 将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是_______. 【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、
1 2 B、C、D 四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C5 A4 ? 60 种方法。

(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选
2 两种染 A 与 B,由于 A、B 颜色可以交换,故有 A4 种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染 D 或 C,

1 2 1 1 而 D 与 C,而 D 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有 C5 A4 C2C2 ? 240 种方法。 5 (3)若恰用五种颜色染色,有 A5 ? 120 种染色法

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综上所知,满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 【答案】420. 【解析二】设想染色按 S—A—B—C—D 的顺序进行,对 S、A、B 染色,有 5 ? 4 ? 3 ? 60 种染色方法。 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色,这影响到 D 点颜色的选取方法数,故分类讨论: C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一) ,D 应与 A(C) 、S 不同色,有 3 种选择; C 与 A 不同色时, C 有 2 种选择的颜色, D 也有 2 种颜色可供选择, 从而对 C、 D 染色有1? 3 ? 2 ? 2 ? 7 种染色方法。 由乘法原理,总的染色方法是 60 ? 7 ? 420

十二. “至多” “至少”问题用间接法或分类:
例 1、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台,其中至少要甲、乙各一台,则不同的取法有多少种? 【解析】不分条件有 C 3 种,全是甲 C 3 种,全是乙 C 3 种,共有 C 3 - C 3 - C 3 =70 种
9

4

5

9

4

5

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