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高二数学1.圆锥曲线复习课


《圆锥曲线》复习课
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2015年9月9日星期三

椭圆

定义

圆 锥 曲 线

标准方程

双曲线
几何性质

抛物线

直线与圆锥曲线 的位置关系

椭圆的定义:

| MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1F2 |)

双曲线的定义: || MF1 | ? | MF2 ||? 2a,(0 ? 2a ?| F1F2 |) 圆锥曲线的统一定义:
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 是常数 e, l d

l

.

.M

d

F

.M .
F

l

d .M

.
e ?1

F

0 ? e ?1

e ?1

定点是焦点,定直线叫 做准线,常数 e是离心率.

椭圆的标准方程:

x y ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
双曲线的标准方程:

2

2

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 2 a b
抛物线的标准方程:

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

x ? ?2 py ? p ? 0?
2

l

椭 圆
l

d

.

.M

范围 对称性

F

d

抛 物 线

.M .
F

顶点

离心率
焦点、准线

l

双 曲 线

d .M

.

焦半径

F

渐进线(双曲线)

直线与圆锥曲线的位置关系: 直线与圆锥曲线的交点 △ 0

(相交、相切和相离)
? | AB |? 1 ? k |a|
2

直线与圆锥曲线的弦长

(过焦点 )

直线与圆锥曲线的弦中点

韦达定理 或点差法

例题选讲
1、圆锥曲线的标准方程; 2、直线与圆锥曲线的交点; 3、直线与圆锥曲线的弦长; 4、直线与圆锥曲线的弦的中点; 5、圆锥曲线综合题.

例 1、方程x2 sin ? ? y 2 cos ? ? 1(0 ? ? ? 2? ) (1)表示焦点在 x轴上的椭圆,求 ?范围;

(2)表示焦点在y轴上的双曲线,求?范围.
? x y ?sin ? ? 0 3 解( 1 ) ? ?1 ? ? ? ?? ?? 1 1 ? ?cos? ? 0 4 ? 1 sin ? ? cos? 1 ? ? ? sin ? ? cos?
2 2

y2 x2 (2) ? ? 1 ?cos? ? 0 1 1 ?? sin ? ? 0 ? ? cos? ? sin ?

3 ?? ?? ? ? 2

y

y

O

x

O

x

m ?[?1, 2 ]

m ?[?1,0) ? [1,??)

例3、1)

1 2 3 2 3 2 1 2 x ? y ? 1或 x ? y ? 1 2 2 2 2

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2)
解:设lCD : y ? x ? b
?y ? x ? b 联立 ? 2 ? x 2 ? (2b ?1) x ? b2 ? 0 ?y ? x
y

B

?| CD |? 1 ? 1 ? (2b ? 1) 2 ? 4b 2 ? 2 ? 8b

A
O

C
D
x

4?b 又 | BC |?| | 1?1 由| BC |?| CD | 得: b ? ?2或b ? ?6

? S ? 18或50

y 例4、已知双曲线x ? ? 1, 2 (1)求以A(2,1)为中点的弦的直线方程;
2

2

(2)过B(1,1)是否存在直线l,使B为弦的中点.
解:( 1 )设交点坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ? 2 y12 ?1 ? x1 ? y1 ? y2 2( x1 ? x2 ) ? 2 相减得: ? 即k ? 4 ? 2 x1 ? x2 y1 ? y2 y ?x 2 ? 2 ? 1 2 ? 2 ? ?直线方程为: y ? 4x ? 7

y1 ? y2 2( x1 ? x2 ) (2)相减得 : ? y ? 2x ?1 即k ? 2 ?直线方程为: x1 ? x2 y1 ? y2 ? y ? 2x ?1 ? 无解 ?不存在这样的直线 联立? 2 y 2 ?1 ?x ? 2 ?

2 2 ( a ? 1) x 例5、双曲线y 2 ? ? 1(a ? 1)上支的顶点为A,与 2 a 直线y ? ? x交于点P,以A为焦点,M (0, m)为顶点的的抛

1 1 物线经过点P,设PM 的斜率为k (k ? [ , ]),求a的范围。 4 3 y

解:由题意得 M (0, m), A(0,1), P(?a, a) m?a ?k ? ? m ? ka ? a a p 2 设抛物线方程为 : x ? ?2 p( y ? m) 其中 ? m ? 1
2

?

M
A

P?
O

?

x

?抛物线方程为: x 2 ? [4 ? 4(ka ? a)](y ? ka ? a)

? p在抛物线上 4 4k 2 ? ?a ? [4 ? 4(ka ? a)](a ? ka ? a) ? a ? 2 4 k ? 4 k ? 1 4k ? 1 ? 4 12 k ? a ? [ , 4] 7


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