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山东省华侨中学2016届高三10月月考数学(文)试题


山东省华侨中学高三上学期 10 月第一次质量检测
(数学文)
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.若集合 A ? x x ? 1 , 且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. ? 1,2? B. x x ? 1

?

?



?

?
?

C. ?? 1,0,1?

D. R )

2.已知向量 a ? (1,3 ) , b ? ( ?2, m ) ,若 a ? b ,则 m 的值为 ( A. ?1 3.函数 f ( x) ? B. 1 C. ?

?

?

?

2 3

D.

2 3

1 log 1 x ? 1
2

的定义域为( )

A. ?2,???

B. ?0,2?

C. ?? ?,2?

D. ? 0, ?

? ?

1? 2?
S4 ?( a2


4.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则
15 2 17 2

A. 2

B. 4

C.

D.

→ → 5.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A=30° ,BC=1,D 为斜边 AB 的中点,则AB· CD=( A. 1 B -1 C. 2 D. -2

)

6. 已知函数 f(x)=sin x- x(x∈[0,π]),那么下列结论正确的是

1 2

(

).

? π? A.f(x)在?0,2 ?上是增函数 ? ? ?π? C.?x∈[0,π],f(x)>f?3? ? ?

?π ? B.f(x)在?6 ,π?上是减函数 ? ? ?π? D.?x∈[0,π],f(x)≤f?3 ? ? ?

7. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?

?
2

)的图象如图所示,为了得到 )

g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的图像(

A.向右平移

? 个单位长度 6

B.向右平移

? 个单位长度 12

? ? 个单位长度 D.向左平移 个单位长度 6 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.设非零向量 a, b, c ,满足 a ? b ? c , a ? b ? c , b 与 c 的夹角为(
C.向左平移 A. 60 ? B.90 ? C.120 ? D 150 ?



?? 1? ?? a ? ? x, x ? 1, 4? 9.已知函数 f ( x) ? ?? 在 R 上为减函数,则实数 a 的取值范围是( ?a x , x ? 1, ?
A. ?0,1? B. ? 0, ?



? ?

1? 4?

C. ? ? ?, ?

? ?

1? 4?

D. ? ,1?

?1 ? ?4 ?

? ? ? ? , ? a, b? 称为“密切区间” , | f ( x) ? g ( x) |? 1,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 ? a, b? 上是“密切函数” 设 f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 ? a, b? 上是“密切函数” ,则它的“密切区间”可以
是( ) A. [1, 4] B. [2, 4] C. [2,3] D. [3, 4] 二、填空题(本大题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.曲线 y ? x ln x 在 x ? e 处的切线的斜率 k ? 12..若 sin(

10 、设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间 a, b 上的两个函数,若对任意的 x ? a, b ,都有

?

1 2? ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) 的值为____________ 6 3 3

13. 已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 ,则 f ( ?2013) ? f (2014) 的值为_____________ x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1)
? 14.已知 | a |? 1, | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60 , c ? ? a ? b 与 d ? a ? 2b 的夹角为锐角,求

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? 的取值范围_______________________
15.下列命题正确的是___________(写序号) ①命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 3x0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 3x ” :
2

②函数 f ( x) ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为“ ③ x 2 ? 2 x ? ax 在 x ??1, 2? 上恒成立

? ”是“a=1”的必要不充分条件;

( x2 ? 2x)min ? (ax)max 在 x ??1, 2? 上恒成立;
? ?

④“平面向量 a 与 b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ a ? b ? 0 ” 三、解答题(共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)

?

?

设命题 P:函数 f ( x ) ? x ? ax ? 1 在区间[-1,1]上单调递减;
3

命题 q: 函数 y ? ln( x ? ax ? 1) 的值域是 R.如果命题 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题, 求a
2

的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)
已知: f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? a.(a ? R, a 为常数) (1)若 x ? R ,求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 f ( x) 在[ ?

? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值. 6 6

18. (本小题满分 12 分) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn,an, 成等差数列. (1)证明数列{an}是等比数列; (2)若 bn=log2an+3,求数列{ }的前 n 项和 Tn.

19. (本小题满分 12 分) 3 设 f(x)=ax +bx+c 为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x-6y-7=0 垂直,导 函数 f′(x)的最小值为-12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,极大值和极小值,并求函数 f(x)在[-1,3]上的最大值与最 小值.

20. (本小题满分 13 分) 已知 f(x)= a ?b ,其中 a =(2cos x,- 3sin 2x), b =(cos x,1)(x∈R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; → → (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7,AB· AC =3,求边长 b 和 c 的值(b>c).

21. (本小题满分 14 分)

2 已知函数 f(x)=x+aln x-2(a>0). (1)若对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a-1)成立,试求 a 的取值范围; (2)记 g(x)=f(x)+x-b(b∈R),当 a=1 时,函数 g(x)在区间[e-1,e]上有两个零 点,求实数 b 的取值范围.

阶段检测(文数)答案
1-5 A D B 11.2 12. C B 6-10 D A A B C

7 9

13.1

14. ? ? ?3且? ?
2

1 . 2

15. ①②

16.解: p 为真命题 ? f ?( x ) ? 3x ? q ? 0 在 ? ?1,1? 上恒成立,

? a ? 3x 2 在 ? ?1,1? 上恒成立 ? a ? 3
q 为真命题 ? ? ? a 2 ? 4 ? 0 恒成立 由题意 p 和 q 有且只有一个是真命题 P 真 q 假? ?

? a ? ?2或a ? 2

?a ? 3 ?a ? 3 ? a ? ?2或2 ? a ? 3 ? a ?? , p 假 q 真 ? ? ? ?2 ? a ? 2 ?a ? ?2或a ? 2

综上所述: a ? ( ??, ?2] ? [2, 3)

2x ? 3 s i n 2 x ? a ? 2 s i n2(x ? 17.解:? f ( x) ? 1 ? c o s
(1)最小正周期 T ?
6 6

?
6

) ? a ?1

-----------4 分

(2) x ? [? ? , ? ] ? 2 x ? [? ? , ? ] ? 2 x ? ? ? [? ? , ? ]

2? ? ? ----------------6 分 2
3 3 6 6 2

----------8 分 ----------10 分 --------12 分

1 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 2 6 ? f ( x) max ? 2 ? a ? 1 即? ? 2a ? 3 ? 3 ? a ? 0 ? f ( x) min ? ?1 ? a ? 1 ??

19. 解:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). 即-ax -bx+c=-ax -bx-c.∴c=0. ∵f′(x)=3ax +b 的最小值为-12,∴b=-12. 1 又直线 x-6y-7=0 的斜率为 , 6 因此 f′(1)=3a+b=-6,故 a=2,b=-12,c=0. (2)f(x)=2x -12x,f′(x)=6x -12=6(x+ 2)(x- 2), 列表如下
3 2 2 3 3

X f′(x) f(x)

(-∞,- 2) + ?

- 2 0 极大

(- 2, 2) - ?

2 0 极小

( 2,+∞) + ?

所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞).

f(x)的极大值为 f(- 2)=8 2,极小值为 f( 2)=-8 2
又 f(-1)=10,f(3)=18,所以当 x= 2时,f(x)取得最小值为-8 2,当 x=3 时 f(x)取 得最大值 1

20. 解

(1) 由题意知, f(x) = 2cos2x - 3sin 2x = 1 + cos 2x - 3sin 2x = 1 +

π? ? 2cos?2x+3?,∴f(x)的最小正周期 T=π, ? ? ∵y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π π π ∴令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,得 kπ- ≤x≤kπ+ . 3 6 3 π π? ? ∴f(x)的单调递减区间?kπ-6 ,kπ+3 ?,k∈Z. ? ? π? ? (2)∵f(A)=1+2cos?2A+3?=-1, ? ? π? ? ∴cos?2A+3 ?=-1. ? ? π π 7π π π 又 <2A+ < ,∴2A+ =π.∴A= . 3 3 3 3 3 → → ∵AB· AC=3,即 bc=6,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc, 7=(b+c)2-18,b+c=5, 又 b>c,∴b=3,c=2.

21.解

2 a ax-2 (1)f′(x)=- 2+x= 2 . x x

2 由 f′(x)>0,解得 x>a; 2 由 f′(x)<0,解得 0<x<a. ?2 ? ? 2? 所以 f(x)在区间?a,+∞?上单调递增,在区间?0,a?上单调递减. ? ? ? ? 2 ?2? 所以当 x=a时,函数 f(x)取得最小值,ymin=f?a?. ? ? 因为对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a-1)成立, ?2? 所以只需满足 f?a?>2(a-1)即可. ? ? 2 2 2 则 +aln a-2>2(a-1),即 aln a>a. 2 a 2 2 ? 2? 由 aln a>a,解得 0<a< .所以 a 的取值范围是?0, e ?. e ? ? x2+x-2 2 (2)依题意得 g(x)=x+ln x+x-2-b, 其定义域为(0, +∞). 则 g′(x)= . x2 由 g′(x)>0 解得 x>1; 由 g′(x)<0 解得 0<x<1. 所以函数 g(x)在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数.又因为函 数 g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,

?g?e ?≥0, 所以?g?e?≥0, ?g?1?<0,

-1

2 解得 1<b≤ +e-1, e

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