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高中数学 平面解析几何


第八章

平面解析几何

第1课时 直线及其方程

2014高考导航
考纲展示
1.在平面直角坐标系中,结合 具体图形,掌握确定直线位置 的几何要素. 2.掌握确定直线位置的几何要 素,掌握直线方程的三种形式( 点斜式、两点式及一般式),了 解斜截式与一次函数的关系. 3.理解直线的倾斜角和斜率的

概念,掌握过两点的直线斜率 的计算公式. 4.掌握两点间的距离公式.

备考指南

1.基本公式、直线的斜率、 方程以及两直线的位置关系 是高考的重点. 2.常和圆锥曲线综合命题, 重点考查函数与方程、数形 结合思想. 3.多以选择题和填空题的形 式出现,属于中低档题目.

目录

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 d(A, B)=___________________. (2)中点公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),点 M(x, x1+x2 y1+y2 y)是线段 AB 的中点,则 x= ,y= . 2 2
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?x1-x2?2+?y1-y2?2

2.直线方程的概念及直线的斜率 (1)直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直

坐标 线上点的________都是这个方程的解,那么这个方程叫做这
直线的方程 这个方程的直线. 条_______________,这条直线叫做___________________ (2)直线的斜率

系数k ①把直线y=kx+b中的__________叫做这条直线的斜率, 垂直 _______于x轴的直线不存在斜率.
②斜率的坐标计算公式

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由 A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于 x 轴,则 y1-y2 y2-y1 x1-x2 x2-x1 k=_____________=_____________ (x1≠x2).
(3)直线的倾斜角 正向 向上 ①定义:x轴________与直线_______的方向所成的角叫做 这条直线的倾斜角,规定与x轴平行或重合的直线的倾斜 零度角. 角为_______________ [0°,180°). ②倾斜角的范围:____________________ ③若直线的倾斜角θ不是90°,则斜率k=tanθ.

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3.直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性

点斜式

(x1,y1)为直线 y-y1=k(x-x1) 上一定点,k 不包括垂直于x轴 _____________ 的直线 为斜率 k为斜率,b是 不包括垂直于x轴 y=kx+b _____________ 直线在y轴上 的直线 的截距

斜截式

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名 称 两 点 式 截 距 式

方程的形式
y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 ___________________ (x1≠x2 且 y1≠y2) ___________________

已知条件

局限性 不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直 线 不包括垂直于 x 轴和 y 轴及过 原点的直线

(x1,y1),(x2,y2) 是直线上两定点 a 是直线在 x 轴上

x y + =1 a b ________________

的非零截距,b 是 直线在 y 轴上的 非零截距

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名 称 一 般 式 方程的形式 已知条件 局限性 无限制,可表 A,B,C 为系数 示任何位置的 直线

___________________

Ax+By+C=

0(A2+B2≠0) ___________________

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思考探究

过两点P1(x1 ,y1),P2(x2 ,y2)的直线是否一定可用两点式
方程表示? 提示:不一定.(1)若x1=x2且y1≠y2,直线垂直于x轴,方 程为x=x1. (2)若x1≠x2且y1=y2,直线垂直于y轴,方程为y=y1.

(3)若x1≠x2且y1≠y2,直线方程可用两点式表示.

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课前热身
1.已知 m≠0,则过点(1,-1)的直线 ax+3my+2a=0 的 斜率为( 1 A. 3 C.3 ) 1 B.- 3 D.-3

答案:B

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2.已知点A(1,2)、B(3,1),则线段AB的垂直平分线的 方程是( )

A.4x+2y=5
C.x+2y=5 答案:B

B.4x-2y=5
D.x-2y=5

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3.已知两点 A(-3, 3),B( 3,-1),则直线 AB 的斜率是( A. 3 3 C. 3 ) B.- 3 3 D.- 3

答案:D
π 4.过点 A(2,3),倾斜角为 的直线的点斜式方程为 3 ________.
答案:y-3= 3(x-2)

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5.若直线l过点P(-4,-1),且横截距是纵截距的2倍,

则直线l的方程是________.
答案:x-4y=0或x+2y+6=0

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考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 直线的倾斜角与斜率 π π 例1 直线 2xcosα-y-3=0(α∈[ , ])的倾斜角的变化范围 6 3 是( ) π π π π A.[ , ] B.[ , ] 6 3 4 3 π π π 2π C.[ , ] D.[ , ] 4 2 4 3

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【解析】 直线 2xcosα-y-3=0 的斜率为 k=2cosα,由于 π π 1 3 α∈[ , ],所以 ≤cosα≤ ,因此 k=2cosα∈[1, 3]. 6 3 2 2 设直线的倾斜角为 θ,则有 tanθ∈[1, 3],由于 θ∈[0,π), π π π π 所以 θ∈[ , ],即倾斜角的变化范围是[ , ]. 4 3 4 3

【答案】

B

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【名师点评】 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不 是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,

?0,π ?与 ?π,π ?两种情况讨论.由正切函数图象可以 要分 ? 2 ? ?2 ? ?0,π ?时,斜率 k∈[0,+∞);当 α=π时,斜 看出当 α∈ ? 2? 2 ?π,π ?时,斜率 k∈(-∞,0). 率不存在;当 α∈ 2 ? ?

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跟踪训练 1.(2013· 贵阳质检)直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取 值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( 1 A.-1<k< 5 1 C.k> 或 k<1 5 1 B.k>1 或 k< 2 1 D.k> 或 k<-1 2 )

解析: D.设直线的斜率为 k, 选 则直线方程为 y-2=k(x-1), 2 2 直线在 x 轴上的截距为 1- ,令-3<1- <3,解不等式可 k k 1 得 k> 或 k<-1. 2
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考点 2

直线的方程

例2 求适合下列条件的直线的方程:
3 (1)在 y 轴上的截距为-5,倾斜角的正弦值是 ; 5 (2)经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等. 3 【解】 (1)设直线的倾斜角为 α,则 sinα= , 5
4 3 ∴cosα=± ,直线的斜率 k=tanα=± . 5 4 又直线在 y 轴上的截距是-5, 3 由斜截式得直线方程为 y=± x-5. 4
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(2)法一:设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 x y 若 a≠0,则设 l 的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l 过点(3,2),∴ + =1, a a ∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0, 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

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法二:由题意,所求直线的斜率存在且 k≠0, 设直线方程为 y-2=k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- ,令 x=0,得 y=2-3k, k 2 2 由已知 3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= , 3 k ∴直线 l 的方程为: 2 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即直线 l 的方程为 x+y-5=0 或 2x-3y=0.

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【规律总结】

用待定系数法求直线方程的步骤:

(1)设所求直线方程的某种形式;

(2)由条件建立所求参数的方程(组);
(3)解这个方程(组)求参数; (4)把所求的参数值代入所设直线方程.

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跟踪训练
2.求适合下列条件的直线方程: 1 (1)过点 A(-1,-3),斜率是直线 y=3x 的斜率的- ; 4 (2)过点 A(1,-1)与已知直线 l1:2x+y-6=0 相交于 B 点 且|AB|=5.
解:(1)设所求直线的斜率为 k,依题意得, 1 3 k=- ×3=- . 4 4 又直线经过点 A(-1,-3), 3 因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 4 即 3x+4y+15=0.
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(2) 过 点 A(1 , - 1) 与 y 轴 平 行 的 直 线 为 x = 1. 解 方 程 组 ?x=1 ? ? ,求得 B 点坐标为(1,4),此时|AB|=5, ?2x+y-6=0 ? 即 x=1 为所求. 设过 A(1,-1)且与 y 轴不平行的直线为 y+1=k(x-1),解方程组 ?2x+y-6=0 ? ? , ?y+1=k?x-1? ?

? ? 得两直线交点为? 4k-2 ?y= k+2 ?
k+7 x= k+2

.(k≠-2,否则与已知直线平行).

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?k+7,4k-2 ?. 则 B 点坐标为? ? ?k+2 k+2 ? ?k+7-1?2+?4k-2+1?2=52, 由已知? ? ? k+2 ? k+2 ? ? ? ?
3 3 解得 k=- ,∴y+1=- (x-1), 4 4 即 3x+4y+1=0. 综上可知,所求直线的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0.

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考点 3

直线方程的综合应用

例3

如图,过点 P(2,1)作直线 l, 分别交 x、y 轴正半轴于 A、

B 两点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|· |PB|取最小值时,求直线 l 的方程.

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【解】

(1)法一:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2)(k<0), 1 则 A(2- ,0),B(0,1-2k), k 1 1 1 1 ∴S△ AOB= (2- )(1-2k)=2+ (-4k- ) 2 2 k k 1 1 ≥2+ ×2 ?-4k??- ?=4, 2 k 1 1 当且仅当-4k=- ,即 k=± 时取等号. 2 k 1 ∵k<0,∴k=- , 2 1 故所求直线方程为 y-1=- (x-2), 2 即 x+2y-4=0.

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x y 法二:设所求的直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b 2 1 + 2 1 21 a b2 1 由已知得 + =1,于是 ·≤( )= . 2 4 a b ab 2 1 1 21 1 当且仅当 = = ,即 a=4,b=2 时, ·取最大值 ,此时 4 a b 2 ab 1 S△ AOB= ab 取最小值 4. 2 x y 故所求的直线 l 的方程为 + =1,即 x+2y-4=0. 4 2

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(2)设直线 l:y-1=k(x-2)(k<0), 1 得 A(2- ,0),B(0,1-2k). k 1 2 由|PA|· |PB|= ?4+4k ??1+ 2? k 1 2 = 8+4?k + 2?≥4. k 1 2 当且仅当 k = 2,即 k=± 时,|PA|· 1 |PB|取最小值. k 又 k<0,∴k=-1,这时直线 l 的方程是 x+y-3=0.

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【名师点评】

在研究最值问题时,可以从几何图形入

手,找到最值时的情形,也可以从代数角度考虑,构建 目标函数,进而转化为研究函数的最值问题,这种方法 常常随变量的选择不同而运算的繁简程度不同,解题时 要注意选择.

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跟踪训练 3.例 3 条件不变,求|OA|+|OB|最小时,直线 l 的方程. x y 解:设所求的直线方程为 + =1(a>0,b>0), a b 2 1 由已知得 + =1, a b 2 1 ∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)( + ) a b 2b a =3+ + ≥3+2 2. a b 2b a 当且仅当 = 时取等号, a b 此时可得 a=2+ 2,b= 2+1, x y ∴所求直线 l 的方程为 + =1, 2+ 2 2+1 即 x+ 2y-2- 2=0.
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方法感悟 1.斜率的求法 (1)定义法:若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值, 一般根据 k=tanα 求斜率; (2)公式法:若已知直线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2),由斜 y2-y1 率公式 k= (x1≠x2)求斜率. x2-x1

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2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系

α



0°<α<90°

90°

90°<α<180°

k

0

k>0

不存在

k<0

提醒:对于直线的倾斜角α,斜率k=tanα(α≠90°),若已
知其一的范围可求另一个的范围.

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3.直线方程有以下几种主要形式 点斜式、两点式、一般式、斜截式和截距式.重点应理解和掌握直 线方程的点斜式,并在此基础上研究直线方程的其他几种形式,掌

握它们之间的联系和区别,并能根据条件熟练地求出直线方程.
4.求直线方程的常用方法 (1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线方程,直接求出 方程中的系数,写出直线方程. (2)待定系数法:先根据已知条件设出直线方程.再根据已知条件

构造关于待定系数的方程(组)求系数,最后代入求出直线方程.

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提醒:点斜式、斜截式、截距式、两点式都有各自的 使用条件,应注意区分,如点斜式、斜截式必须是直 线斜率存在时才能使用.

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名师讲坛精彩呈现
数学思想 分类讨论思想在求直线方程中的应用 利用分类讨论思想解决问题时,一定要明确:为什么 分类?怎样分类?在直线方程这一部分,我们经常以直线斜 率是否存在作为标准来分类.

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?-3,-3 ?且被圆 x2+y2 (2013· 孝感调研)若直线过点 P 2? ?
)

=25 截得的弦长是 8,则该直线的方程为( A.3x+4y+15=0 C.x=-3 3 B.x=-3 或 y=- 2

D.x=-3 或 3x+4y+15=0

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【解析】 若直线的斜率不存在, 则该直线的方程为 x=-3, 代入圆的方程解得 y=± 4,故该直线被圆截得的弦长为 8, 3 满足条件;若直线的斜率存在,不妨设直线的方程为 y+ = 2 3 k(x+3),即 kx-y+3k- =0,因为该直线被圆截得的弦长 2 为 8,故半弦长为 4,又圆的半径为 5,则圆心(0,0)到直线的 3 |3k- | 2 3 2 2 距离为 5 -4 = 2 ,解得 k=- ,此时该直线的方程 4 k +1 为 3x+4y+15=0.综上可知答案为 D. 【答案】 D

【名师点评】

求直线方程时,要考虑斜率是否存在,

截距相等时,要对截距是否为零进行分类讨论.
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跟踪训练
4.(2013· 莆田月考)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的方程; (2)已知实数 m∈?-

?

3 ? 求直线 AB 的倾斜角 α -1, 3-1 , 3 ?

的取值范围.

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解:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的方程为 x=-1, 1 当 m≠-1 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x+1). m+1 π (2)①当 m=-1 时,α= ; 2 3 ②当 m≠-1 时,m+1∈?- ,0?∪(0, 3], ? 3 ? 1 3 ∴k= ∈(-∞,- 3]∪? ,+∞ ?, m+1 ?3 ? ?π,π ?∪?π,2π ?. ∴α∈ 6 2 ? ? ?2 3 ? ?π,2π?. 综合①②知,直线 AB 的斜倾角 α∈ 6 3 ? ?

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知能演练轻松闯关

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