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2013年北京市朝阳区高三数学一模文科试题及答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试(文史类) (考试时间 120 分钟 2013.4

满分 150 分)

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给 出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

(1) i 为虚数单位,复数 A.
1 i 2
1 2 1 的虚部是 1? i 1 B. ? 2

C. i ?

1 2

D.

(2)若集合 M ? ? x ?2 ? x ? 3? , N ? ? x 2 x ?1 ? 1? ,则 M ? N ? A. (3, ??) D. (?2, ?1] (3)已知向量 OA ? ? 3, ?4? , OB ? ? 6, ? 3? , OC ? ? 2m, m ? 1? .若 AB / /OC ,则 实数 m 的 值为 A.
1 5
??? ? ??? ? ????

B. (?1,3)

C.

[?1,3)

??? ?

??? ?

B. ?3

C. ?

3 5

D. ?

1 7

(4) 已知命题 p :?x ? R ,x2 ? x ?1 ? 0 ; 命题 q :?x ?R ,sin x ? cos x ? 2 . 则下列判断正确的是 A. ?p 是假命题 D. (?p) ? q 是真命题 (5)若直线 y ? x ? m 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 有两个不同的公共点,则实 B. q 是假命题 C. p ? ?q 是真命题

数 m 的取值范围是 A. ? 2 ? 2, 2 ? 2 ? C. ? ?2 ? 2, ?2 ? 2 ? B. ? ?4, 0 ? D . ? 0, 4 ?

? x ? 0, ? 2 x ? y ? 0, ? (6)“ m ? 3 ”是“关于 x, y 的不等式组 ? 表示的平面区域 x ? y ? 1 ? 0, ? ?x ? y ? m ? 0 ?

为三角形”的 A. 充分不必要条件 分条件 C. 充要条件 分也不必要条件 D. 既不充 B. 必要不充

(7) 某个长方体被一个平面所截, 得到的几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为



A. 4 B. 2 2 C.
20 3

1 1

2
正视图

2
侧视图

D. 8

2
2
俯视图

( 8 ) 已 知 函 数
f ( 0 x? ) f 0 ? x ?1 ) ( ?

f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N* ?
0

. 若 ?x0 , n ? N* , 使

f

( x, n) ( x0 , n) 为函数 f ( x) 的一个 ? 则称 ? 6 3 “生

成点”.函数 f ( x) 的“生成点”共有 A. 1 个 D .4 个 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答 题卡上. (9)以双曲线 准方程是
x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为焦点,顶点在原点的抛物线的标 3

B .2 个

C .3 个

. .
开始

(10)执行如图所示的程序框图,输出结果 S=

i=0

S=0

S=S+2i-1

i=i+2

i≥6? 是 输出 S



结束

(11) 在等比数列 ?an ? 中, 2a3 ? a2 a4 ? 0 ,则 a3 ? 列,且 b3 ? a3 ,则数列 ?bn ? 的前 5 项和等于

,若 ?bn ? 为等差数 .

(12) ?ABC 中, , b , c 分别为角 A , B , C 所对的边, 在 且满足 b ? 7a sin B , a 则 sin A ? , .

若 B ? 60? ,则 sinC ?

(13) 函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当
x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x .若在区间 [?2, 2] 上方程 ax ? a ? f ( x) ? 0 恰有

三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是

.

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 是半圆 x 2 ? 4 x ? y 2 ? 0 ( 2 ≤ x ≤
??? ??? ? ? 上的一个动点, C 在线段 OA 的延长线上. OA ? OC ? 20 时, 点 当 4)

则点 C 的纵坐标的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算 步骤或证明过程. (15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
?.
3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? (? ? 0 ) 的最小正周期为 2 2 2

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围.
? 2

(16) (本小题满分 13 分) 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关 系如下表:

空气质 量指数 空气质 量等级

0-5 0

51101-150 100 151-200 201-300 300 以上

1 级 2 级 3 级轻度 4 级中度 5 级重度 6 级严重 优 良 污染 污染 污染 污染

由全国重点城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空 气质量指数数据用 茎叶图表示如下:
甲城市 乙城市

9

2 4 3 1 5 8 8

7 3 5 6

5 7 10

(Ⅰ)试根据上面的统计数据,判断甲、乙两个城市的空气质量指数 的方差的大小关系(只需写出结果); (Ⅱ)试根据上面的统计数据,估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率; (Ⅲ)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个,试求这两个城 市空气质量等级相同的概率. ( 注 : s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] , 其 中 x 为 数 据
x1 , x2 ,? , xn 的平均数.)

1 n

(17) (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAC ? 平面 ABCD , P ?A , 且 A C
PA ? AD ? 2 .四边形 ABCD 满足 BC ? AD , AB ? AD , AB ? BC ? 1 . E 为

侧棱 PB 的中点, F 为侧棱 PC 上的任意一点. (Ⅰ)若 F 为 PC 的中点,求证: EF ? 平面 PAD ;
P

(Ⅱ)求证:平面 AFD ? 平面 PAB ; (Ⅲ)是否存在点 F ,使得直线 AF 与平面 PCD 垂直?若存在, 写出证明过程并求出线段 PF 的长;若不存在,请说明理由.
E F

(18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x ,其中 a ?R .
B

A C

D

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为1,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 A(2,0) ,离心率为 . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 B(1,0) 且斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两 点,直线 AE , AF 分别交直线 x ? 3 于 M , N 两点,线段 MN 的 中点为 P .记直线 PB 的斜率为 k ? ,求证: k ? k ? 为定值.

(20)(本小题满分 13 分) 由 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10 按任意顺序组成的没有重复数字的数组, 记 为 ? ? ( x1 , x2 ,?, x10 ) ,设 S (? ) ? ? | 2 xk ? 3xk ?1 | ,其中 x11 ? x1 .
k ?1 10

(Ⅰ)若 ? ? (10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1) ,求 S (? ) 的值; (Ⅱ)求证: S (? ) ? 55 ; (Ⅲ)求 S (? ) 的最大值. (注:对任意 a, b ? R , a ? b ? a ? b ? a ? b 都成立.)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案(文史类) 一、选择题: 题号 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A C B D D A D B 2013.4

二、填空题: 题号 (9) (10) (11) 答案
y 2 ? 8x

(12)
1 13 ; 7 14

(13)

(14)

20

2 ; 10

? 0,1?

? ?5,5?

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15)(本小题满分 13 分) 解 : ( Ⅰ )

f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?????????????????

1分
? 3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

? ? sin(? x ? ) . 6

????????????????????4

分 因 为
f ( x)













?







? ? 2 .??????????????????5 分

于是 f ( x) ? sin(2 x ? ) . 由 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ?Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 所 以 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [ k ? ? , k ? ?
k ?Z .???????????8 分
? 3 ? ] , 6 ? 2 ? 6 ? 2 ? 3 ? 6

? 6











x ?[

? ? 7? 2 x ? ?[ , ] , ?????????????10 分 6 6 6

? 0 2

, ,

所 ]




1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 . 2 6

??????????????????

?12 分 所 [ ? ,1 ].
1 2



f ( x)



? [0, ] 2















???????????????13 分

(16)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数

的方差.?????3 分 (Ⅱ)根据上面的统计数据,可得在这五天中甲城市空气质量等 级为 2 级良的频率为 , 则估计甲城市某一天的空气质量等级为 2 级良的概率为
3 .??????6 分, 5
3 5

(Ⅲ)设事件 A:从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个, 这两个城市的空气质量等级相同, 由题意可知, 从甲城市和乙 城市的监测数据中分别任取一个,共有 25 个结果,分别记为: (29,43),(29,41),(29,55),(29,58)(29, 78) (53,43),(53,41),(53,55),(53,58),(53, 78), (57,43),(57,41),(57,55),(57,58),(57, 78), (75,43),(75,41),(75,55),(75,58),(75, 78), (106,43),(106,41),(106,55),(106,58), (106,78). 其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为 1 级优的为 甲 29,乙 41,乙 43,同为 2 级良的为甲 53,甲 57,甲 75,乙 55,乙 58,乙 78. 则空气质量等级相同的为:

(29,41),(29,43), (53,55),(53,58),(53,78), (57,55),(57,58),(57,78), (75,55),(75,58),(75,78).共 11 个结果. 则 P( A) ?
11 . 25 11 . 25

所以这两个城市空气质量等级相同的概率为

????????????????? ????????13 分 (17)(本小题满分 14 分) 证明:(Ⅰ)因为 E , F 分别为侧棱 PB, PC 的中点, 所以 EF ? BC . 因为 BC ? AD ,所以 EF ? AD . 而 EF ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所
PAD .
E F P

A B

D



EF ?


C



????????????????????4 分

(Ⅱ)因为平面 ABCD ? 平面 PAC , 平面 ABCD ? 平面 PAC ? AC ,且 PA ? AC , PA ? 平面 PAC . 所以 PA ? 平面 ABCD ,又 AD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AD . 又因为 AB ? AD , PA ? AB ? A ,所以 AD ? 平面 PAB , 而 AD ? 平面 AFD , 所 以 平 面
AFD ?





PAB .????????????????????8 分

(Ⅲ)存在点 F ,使得直线 AF 与平面 PCD 垂直. 在棱 PC 上显然存在点 F ,使得 AF ? PC . 由已知, AB ? AD , BC ? AD , AB ? BC ? 1 , AD ? 2 . 由平面几何知识可得 CD ? AC . 由(Ⅱ)知, PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD , 因为 PA ? AC ? A ,所以 CD ? 平面 PAC . 而 AF ? 平面 PAC ,所以 CD ? AF . 又因为 CD ? PC ? C ,所以 AF ? 平面 PCD . 在 ?PAC 中, PA ? 2, AC ? 2, ?PAC ? 90? , 可求得, PC ? 6, PF ?
2 6 . 3

可 见 直 线 AF 与 平 面 PCD能 够 垂 直 , 此 时 线 段 PF 的 长 为
2 6 .?????14 分 3

(18)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x 可知,函数定义域为 ? x x ? 0? , 且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? .由题意, f ?(2) ? 4 ? (a ? 2) ? ? 1 , 解 得
a x a 2

a ? 2 .???????????????????????????

??4 分
(2 x ? a)( x ? 1) ( x ? 0) . x a 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? . 2 a 0 (1) a ? 0 时, ? 0 , f ?( x) ? , x ? 1 ;令 f ?( x) ? 0 , 0 ? x ? 1 . 当 令 得 得 2

(Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ? ?

a x

则函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) , 单调递增区间为 (1, ??) . (2)当 0 ? ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? 1 . 则函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ??) . 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? 1 . 则函数 f ( x) 的单调递减区间为 ( ,1) .
a (3)当 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x) 的单调 2
a 2
a 2

a 2

a 2

a 2

递增区间为 (0, ??) . (4)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? , 则函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , ??) . 令 f ?( x) ? 0 ,得1 ? x ? . 则
a (1, ) . 2 a 2
a 2

a 2

a 2





f ( x)

















??????????????13 分

(19)(本小题满分 14 分)
?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? c 3 解:(Ⅰ)依题得 ? ? , 解得 a2 ? 4 , b2 ? 1 . ? 2 ?a ? a ? 2. ?




x2 ? y2 ? 1. 4





C









???????????????????4 分

(Ⅱ)根据已知可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?
? y ? k ( x ? 1), 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 . x2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 ?

设 E ( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 4 . , x1 x2 ? 2 4k 2 ? 1 4k ? 1
y1 y2 ( x ? 2), y ? ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2

直线 AE , AF 的方程分别为: y ? 令 x ? 3, 则 M (3,

y1 y 1 y y ), N (3, 2 ) ,所以 P(3, ( 1 ? 2 )) . x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 ? 2 x2 ? 2

所以 k ? k ? ? ?

k k ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? 2) 4 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

k 2 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 4 ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

8k 2 ? 8 ? 24k 2 ? 16k 2 ? 4 k 4k 2 ? 1 ? ? 2 4 4k ? 4 ? 16k 2 ? 16k 2 ? 4 4k 2 ? 1
2

?

k 2 ?4 1 ? 2 ?? . 4 4k 4

????????????????

????14 分

(20)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) S (? ) ? ? | 2 xk ? 3xk ?1 | ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 28 ? 57 .???
k ?1 10

3分 (Ⅱ)证明:由 a ? b ? a ? b 及其推广可得,
S (? ) ? 2 x1 ? 3x2 ? 2 x2 ? 3x3 ? ? ? 2 x10 ? 3x11 ? 2( x1 ? x2 ? ? ? x10 ) ? 3( x2 ? x3 ? ? ? x11 )

= x1 ? x2 ? ? ? x10 ?

10(1 ? 10) ? 55 . 2

???????????7 分

(Ⅲ) 10,9,8,7,6,5, 4,3, 2,1的 2 倍与 3 倍共 20 个数如下:
20,18,16,14,12,10,8,6, 4, 2, 30, 27, 24, 21,18,15,12,9,6,3

其中最大数之和与最小数之和的差为 203 ? 72 ? 131, 所以 S (? ) ? 131 , 对于? 0 ? (1,5, 6, 7, 2,8,3,9, 4,10) , S (? 0 ) ? 131 , 所
131.



S (? )











????????????????????13 分 注:使得 S (? ) 取得最大值的有序数组中,只要保证数字 1,2, 3,4 互不相邻,数字 7,8,9,10 也互不相邻,而数字 5 和 6 既不在 7,8,9,10 之一的后面,又不在 1,2,3,4 之一的前 面都符合要求.


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