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2015年浙江省高考数学理科卷


2015 年浙江省高考数学理科卷
一.选择题(共 8 小题) 1. (2015?浙江)已知集合 P={x|x ﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(?RP)∩Q=( A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]
2



考点: 交、并、补集的混合运算.

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分析: 求出 P 中不等式的解集确定出 P,求出 P 补集与 Q 的交集即可. 解答: 解:由 P 中不等式变形得:x(x﹣2)≥0, 解得:x≤0 或 x≥2,即 P=(﹣∞,0]∪[2,+∞) , ∴?RP=(0,2) , ∵Q=(1,2], ∴(?RP)∩Q=(1,2) , 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2. (2015?浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是(



第 1 页(共 20 页)

8cm A.

3

12cm B.

3

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积.

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分析: 判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可. 解答: 解: 由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体, 上部是底面为边长 2 的正方 形奥为 2 的正四棱锥, 所求几何体的体积为:2 + × 2× 2× 2= 故选:C. 点评: 本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.
3



3. (2015?浙江)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8 成等 比数列,则( ) B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

A.a1d>0,dS4>0

考点: 等差数列与等比数列的综合.

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分析: 由 a3,a4,a8 成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断 a1d 和 dS4 的符号. 解答: 解:设等差数列{an}的首项为 a1,则 a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,

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由 a3,a4,a8 成等比数列,得 . ∵d≠0,∴ ∴ , ,

,整理得:

= 故选:B.

<0.

点评: 本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.

4. (2015?浙江)命题“?n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是( A.?n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n C. ?n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)>n0
* * * * * *

*

*



B. ?n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n D.?n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0
* *

考点: 命题的否定.

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分析: 根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 解答: 解:命题为全称命题, 则命题的否定为:?n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0, 故选:D. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
* *

5. (2015?浙江) 如图, 设抛物线 y =4x 的焦点为 F, 不经过焦点的直线上有三个不同的点 A, B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )

2

第 3 页(共 20 页)

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系.

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分析: 根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为 解答: 解:如图所示,抛物线的准线 DE 的方程为 x=﹣1,

的关系进行求解即可.

过 A,B 分别作 AE⊥DE 于 E,交 y 轴于 N,BD⊥DE 于 E,交 y 轴于 M, 由抛物线的定义知 BF=BD,AF=AE, 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1, |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1, 则 = = = ,

故选:A

点评: 本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.

6. (2015?浙江)设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B) ,其 中 card(A)表示有限集 A 中的元素个数( )

第 4 页(共 20 页)

命题①:对任意有限集 A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题②:对任意有限集 A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C) A.命题①和命题②都成立 C. 命题①成立,命题②不成立 B. 命题①和命题②都不成立 D.命题①不成立,命题②成立

考点: 复合命题的真假.

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分析: 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可, ③借助新定义,根据集合的运算,判断即可. 解答: 解:命题①:对任意有限集 A,B,若“A≠B”,则 A∪B≠A∩B,则 card(A∪B) >card(A∩B) ,故“d(A,B)>0”成立, 若 d(A,B)>0”,则 card(A∪B)>card(A∩B) ,则 A∪B≠A∩B,故 A≠B 成立,故命 题①成立, 命题②,d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B) ,d(B,C)=card(B∪C)﹣card(B∩C) , ∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)﹣card(A∩B)+card(B∪C)﹣card(B∩C)=[card (A∪B)+card(B∪C)]﹣[card(A∩B)+card(B∩C)] ≥card(A∪C)﹣card(A∩C)=d(A,C) ,故命题②成立, 故选:A 点评: 本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元 素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系, 但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题.

7. (2015?浙江)存在函数 f(x)满足,对任意 x∈R 都有( A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x +x
2 2

) D.f(x +2x)=|x+1|
2

C.f(x +1)=|x+1|

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考点: 函数解析式的求解及常用方法.

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分析: 利用 x 取特殊值,通过函数的定义判断正误即可. 解答: 解:A.取 x=0,则 sin2x=0,∴f(0)=0; 取 x= ,则 sin2x=0,∴f(0)=1;

∴f(0)=0,和 1,不符合函数的定义; ∴不存在函数 f(x) ,对任意 x∈R 都有 f(sin2x)=sinx; B.取 x=0,则 f(0)=0; 取 x=π,则 f(0)=π +π; ∴f(0)有两个值,不符合函数的定义; ∴该选项错误; C.取 x=1,则 f(2)=2,取 x=﹣1,则 f(2)=0; 这样 f(2)有两个值,不符合函数的定义; ∴该选项错误; D.令|x+1|=t,t≥0,则 f(t ﹣1)=t; 令 t ﹣1=x,则 t= ∴ ; ,对任意 x∈R,都有 f(x +2x)=|x+1|;
2 2 2 2



即存在函数 f(x)= ∴该选项正确. 故选:D.

点评: 本题考查函数的定义的应用, 基本知识的考查, 但是思考问题解决问题的方法比较 难.

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8. (2015?浙江)如图,已知△ABC,D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将△ACD 折成△A′CD,所 成二面角 A′﹣CD﹣B 的平面角为 α,则( )

∠A′DB≤α A.

∠A′DB≥α B.

C.

∠A′CB≤α

D.

∠A′CB≥α

考点: 二面角的平面角及求法.

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分析: 解:画出图形,分 AC=BC,AC≠BC 两种情况讨论即可. 解答: 解:①当 AC=BC 时,∠A′DB=α; ②当 AC≠BC 时,如图,点 A′投影在 OE 上, α=∠A′OE,连结 AA′, 易得∠ADA′<∠AOA′, ∴∠A′DB>∠A′OE,即∠A′DB>α 综上所述,∠A′DB≥α, 故选:B.

点评: 本题考查空间角的大小比较,注意解题方法的积累,属于中档题.

二.填空题(共 7 小题)
第 7 页(共 20 页)

9. (2015?浙江)双曲线

=1 的焦距是 2

,渐近线方程是

y=±

x .

考点: 双曲线的简单性质.

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分析: 确定双曲线中的几何量,即可求出焦距、渐近线方程. 解答: 解:双曲线 ∴焦距是 2c=2 故答案为:2 =1 中,a= ,b=1,c= x. ,

,渐近线方程是 y=± ;y=± x.

点评: 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.

10. (2015?浙江)已知函数 f(x)=

,则 f(f(﹣3) )=

0 ,f(x)

的最小值是



考点: 函数的值.

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分析: 根据已知函数可先求 f(﹣3)=1,然后代入可求 f(f(﹣3) ) ;由于 x≥1 时,f(x) = ,当 x<1 时,f(x)=lg(x +1) ,分别求出每段函数的取值范围,即可求解
2

解答: 解:∵f(x)=



∴f(﹣3)=lg10=1, 则 f(f(﹣3) )=f(1)=0, 当 x≥1 时,f(x)=
2

,即最小值



当 x<1 时,f(x)=lg(x +1)<lg2 无最小值, 故 f(x)的最小值是 故答案为:0; .
第 8 页(共 20 页)



点评: 本题主要考查了分段函数的函数值的求解,属于基础试题.

11. (2015?浙江)函数 f(x)=sin x+sinxcosx+1 的最小正周期是 π ,单调递减区间是 [kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) .

2

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 分析: 由三角函数公式化简可得 f(x)= 式 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ sin(2x﹣

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)+ ,易得最小正周期,解不等

可得函数的单调递减区间.
2

解答: 解:化简可得 f(x)=sin x+sinxcosx+1 = (1﹣cos2x)+ sin2x+1 = sin(2x﹣ )+ , =π, 可得 kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) ≤x≤kπ+ ,

∴原函数的最小正周期为 T= 由 2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+

∴函数的单调递减区间为[kπ+ 故答案为:π;[kπ+ ,kπ+

](k∈Z)

点评: 本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.

12. (2015?浙江)若 a=log43,则 2 +2﹣ =

a

a



考点: 对数的运算性质.
a

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分析: 直接把 a 代入 2 +2﹣ ,然后利用对数的运算性质得答案. 解答: 解:∵a=log43,可知 4 =3, 即2 =
a a a

a


a

所以 2 +2﹣ =

+

=


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故答案为:



点评: 本题考查对数的运算性质,是基础的计算题.

13. (2015?浙江)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点 M,N 分 别是 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是 .

考点: 异面直线及其所成的角.

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分析: 连结 ND,取 ND 的中点为:E,连结 ME 说明异面直线 AN,CM 所成的角就是∠ EMC 通过解三角形,求解即可. 解答: 解:连结 ND,取 ND 的中点为:E,连结 ME,则 ME∥AN,异面直线 AN,CM 所成的角就是∠EMC, ∵AN=2 ∴ME= , =EN,MC=2 , = , = .

又∵EN⊥NC,∴EC=

∴cos∠EMC= 故答案为: .

=

点评: 本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
第 10 页(共 20 页)

14. (2015?浙江)若实数 x,y 满足 x +y ≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 3 .

2

2

考点: 函数的最值及其几何意义.

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分析: 根据所给 x,y 的范围,可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y,再讨论直线 2x+y﹣2=0 将圆 x +y =1 分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值. 解答: 解:由 x +y ≤1,可得 6﹣x﹣3y>0,即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y, 如图直线 2x+y﹣2=0 将圆 x +y =1 分成两部分, 在直线的上方(含直线) ,即有 2x+y﹣2≥0,即|2+y﹣2|=2x+y﹣2, 此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=x﹣2y+4, 利用线性规划可得在 A( , )处取得最小值 3; 在直线的下方(含直线) ,即有 2x+y﹣2≤0, 即|2+y﹣2|=﹣(2x+y﹣2) , 此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣(2x+y﹣2)+(6﹣x﹣3y)=8﹣3x﹣4y, 利用线性规划可得在 A( , )处取得最小值 3. 综上可得,当 x= ,y= 时,|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为 3. 故答案为:3.
2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查直线和圆的位置关系, 主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法, 属 于中档题.
第 11 页(共 20 页)

15. (2015?浙江)已知

是空间单位向量,

,若空间向量 满足

,且对于任意 x,y∈R, ,则 x0= y0= 2 , |= 2 . 1 ,

考点: 空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算. 分析: 由题意和数量积的运算可得< 0,0) ,由已知可解 =( , ? >=

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,不妨设
2

=( ,
2

,0) ,

=(1,
2 2

,t) ,可得| ﹣(
2

| =(x+
2 2

) + (y﹣2) +t ,

由题意可得当 x=x0=1,y=y0=2 时, (x+ 得 |. ? =| || |cos< =( , n=2, ?

) + (y﹣2) +t 取最小值 1,由模长公式可

解答: 解:∵ ∴< ? >=

>=cos<

?

>= ,

,不妨设 = m+

,0) ,

=(1,0,0) , =(m,n,t) , ,∴ =( , ,t) ,

则由题意可知 ∵ ﹣( ∴| ﹣(
2 2

=m= ,解得 m= ,n= ,t) , ) +t
2 2 2 2

)=( ﹣ x﹣y, | =( ﹣ x﹣y) +(
2 2 2 2

=x +xy+y ﹣4x﹣5y+t +7=(x+ 由题意当 x=x0=1,y=y0=2 时, (x+ 此时 t =1,故
2

) + (y﹣2) +t , ) + (y﹣2) +t 取最小值 1, =2
2 2 2

|=

故答案为:1;2;2 点评: 本题考查空间向量的数量积,涉及向量的模长公式,属中档题.

三.解答题(共 5 小题)

第 12 页(共 20 页)

16. (2015?浙江)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= ﹣a = c . (1)求 tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值.
2 2

,b

2

考点: 余弦定理.

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分析: (1) 由余弦定理可得: a= (2)由 解答: 解: (1) ∵A= ﹣c , 又 b ﹣a = c .∴ ∴a =b ﹣
2 2 2 2 2 2

, 已知 b ﹣a = c . 可得 ,即可得出 tanC= × =3,可得 c,即可得出 b. , ∴b ﹣a =
2 2

2

2

2

, .

.利用余弦定理可得 cosC.可得 sinC= = , ∴由余弦定理可得:

bc

bc﹣c = c .∴ ,即 a= .

2

2

b= c.可得



=

∴cosC=

=

=



∵C∈(0,π) , ∴sinC= ∴tanC= (2)∵ 解得 c=2 ∴ . =3. =2. = × =3, = .

点评: 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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17. (2015?浙江)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BAC=90° ,AB=AC=2,A1A=4, A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中点. (1)证明:A1D⊥平面 A1BC; (2)求二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.

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分析: (1)以 BC 中点 O 为坐标原点,以 OB、OA、OA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建 系,通过 ? = ? =0 及线面垂直的判定定理即得结论;

(2)所求值即为平面 A1BD 的法向量与平面 B1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相 反数,计算即可. 解答: (1)证明:如图,以 BC 中点 O 为坐标原点,以 OB、OA、OA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建系. 则 BC= AC=2 ,A1O= ) ,B ( = , ,0,0) , ,﹣ ) , =(0,0, ) , , ) ,

易知 A1(0,0, A(0,

,0,0) ,C(﹣ , ) ,B1( ,﹣ ,

,0) ,D(0,﹣ ,0) ,

=(0,﹣ =(﹣ ∵ ?

=(﹣ =(﹣2

,0,0) ,

,0,0) ,

=0,∴A1D⊥OA1,
第 14 页(共 20 页)

又∵

?

=0,∴A1D⊥BC,

又∵OA1∩BC=O,∴A1D⊥平面 A1BC; (2)解:设平面 A1BD 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,0,1) , ,

取 z=1,得 =(

设平面 B1BD 的法向量为 =(x,y,z) , 由 ,得 ,1) , = = , ,

取 z=1,得 =(0, ∴cos< , >=

又∵该二面角为钝角, ∴二面角 A1﹣BD﹣B1 的平面角的余弦值为﹣ .

点评: 本题考查空间中线面垂直的判定定理, 考查求二面角的三角函数值, 注意解题方法 的积累,属于中档题.

18. (2015?浙江)已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R) ,记 M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣ 1,1]上的最大值. (1)证明:当|a|≥2 时,M(a,b)≥2;
第 15 页(共 20 页)

2

(2)当 a,b 满足 M(a,b)≤2 时,求|a|+|b|的最大值.

考点: 二次函数在闭区间上的最值.

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分析: (1)明确二次函数的对称轴,区间的端点值,由 a 的范围明确函数的单调性,结 合已知以及三角不等式变形所求得到证明; (2)讨论 a=b=0 以及分析 M(a,b)≤2 得到﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1,进一步求出|a|+|b| 的求值. 解答: 解: (1)由已知可得 f(1)=1+a+b,f(﹣1)=1﹣a+b,对称轴为 x=﹣ , 因为|a|≥2,所以 或 ≥1,

所以函数 f(x)在[﹣1,1]上单调, 所以 M(a,b)=max{|f(1) ,|f(﹣1)|}=max{|1+a+b|,|1﹣a+b|}, 所以 M(a,b)≥ (|1+a+b|+|1﹣a+b|)≥ |(1+a+b)﹣(1﹣a+b)|≥ |2a|≥2; (2)当 a=b=0 时,|a|+|b|=0 又|a|+|b|≥0,所以 0 为最小值,符合题意; 又对任意 x∈[﹣1,1].有﹣2≤x +ax+b≤2 得到﹣3≤a+b≤1 且﹣3≤b﹣a≤1,易知|a|+|b|=max{|a ﹣b|,|a+b|}=3,在 b=﹣1,a=2 时符合题意, 所以|a|+|b|的最大值为 3. 点评: 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法;解答本题的关键是正确理解 M(a,b) 是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值,以及利用三角不等式变形.
2

19. (2015?浙江)已知椭圆 (1)求实数 m 的取值范围;

上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称.

(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

第 16 页(共 20 页)

考点: 直线与圆锥曲线的关系.

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分析: (1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n,代入椭圆方程可得(m +2)y
2

2

2

﹣2mny+n ﹣2=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .可得△>0,设线段 AB 的中点 P(x0,y0) , 利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P, 代入直线 y=mx+ , 可得 即可解出. (2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n,可得 S△OAB= 即可得出. 解答: 解: (1)由题意,可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n,代入椭圆方程 可得(m +2)y ﹣2mny+n ﹣2=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由题意,△=4m n ﹣4(m +2) (n ﹣2)=8(m ﹣n +2)>0, 设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,则 由于点 P 在直线 y=mx+ 上,∴ ∴ 解得 m
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

, 代入△>0,

,再利用均值不等式



.x0=﹣m× =
2

+n=



+ ,

,代入△>0,可得 3m +4m ﹣4>0, ,∴ 或m .

(2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n, ∴S△OAB= = |n|? = ,

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由均值不等式可得:n (m ﹣n +2)

2

2

2

=



∴S△AOB ,

=

,当且仅当 n =m ﹣n +2,即 2n =m +2,又∵

2

2

2

2

2

,解得

m=

当且仅当 m=

时,S△AOB 取得最大值为



点评: 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可 得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公 式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

20. (2015?浙江)已知数列{an}满足 a1= 且 an+1=an﹣an (n∈N ) (1)证明:1≤ ≤2(n∈N ) ;
*

2

*

(2)设数列{an }的前 n 项和为 Sn,证明

2

(n∈N ) .

*

考点: 数列的求和;数列与不等式的综合.
*

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分析: (1)通过题意易得 0<an≤ (n∈N ) ,利用 an﹣an+1=

可得

≥1,利用

=

=

≤2,即得结论; (n≥2) ,从

(2)通过

=an﹣an+1 累加得 Sn= ﹣an+1,利用数学归纳法可证明

≥an≥







,化简即得结论.
*

解答: 证明: (1)由题意可知:0<an≤ (n∈N ) ,

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又∵a2=a1﹣

=

,∴

= =2,

又∵an﹣an+1=

,∴an>an+1,∴

≥1,



=

=

≤2,

∴1≤

≤2(n∈N ) ; =an﹣an+1, + +…+ =a﹣1﹣an,…, =a1﹣an+1= ﹣an+1, =a1﹣a2,

*

(2)由已知, 累加,得 Sn=

易知当 n=1 时,要证式子显然成立;

当 n≥2 时, 下面证明:

= ≥an≥

. (n≥2) . + , ,

易知当 n=2 时成立,假设当 n=k 时也成立,则 ak+1=﹣ 由二次函数单调性知:an+1≥﹣ + = ≥

an+1≤﹣

+ =









≤ ≥an≥

,即当 n=k+1 时仍然成立, ,

故对 n≥2,均有



=




*

=





(n∈N ) .

第 19 页(共 20 页)

点评: 本题是一道数列与不等式的综合题, 考查数学归纳法, 对表达式的灵活变形是解决 本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.

第 20 页(共 20 页)


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