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第三章 导 数(4课时)


第三章





1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求函数 y=C(C 为常数), 1 y=x,y= ,y=x2,y=x3,y= x的导数. x 4.能利用以下给出的基本初等函数的导数公 式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了 解复合函数求导法则, 能求简单复合函数(仅限于形 如 y=f(ax+b)的复合函数)的导数. ①常见的基本初等函数的导数公式: - (C)′=0(C 为常数); (xn)′=nxn 1(n∈N+); (sinx)′=cosx; (cosx)′=-sinx; (ex)′=ex; (ax)′=axlna(a>0,且 a≠1); 1 1 (lnx)′= ; (logax)′= logae(a>0,且 a≠1). x x ②常用的导数运算法则: 法则 1:[u(x)± v(x)]′=u′(x)± v′(x).

法则 2:[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). 法则 3: ?u(x)? ′ = u′(x)v(x)-u(x)v′(x) ?v(x)? v2(x) ? ? (v(x)≠0). 5.了解函数的单调性与导数的关系;能利用 导数研究函数的单调性, 会求函数的单调区间(其中 多项式函数不超过三次). 6.了解函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多 项式函数不超过三次 );会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 7.会用导数解决实际问题. 8.了解定积分的实际背景,了解定积分的基 本思想,了解定积分的概念. 9.了解微积分基本定理的含义.

§3.1

导数的概念及运算
Δy ②求平均变化率 = Δx ;
?x ?0

1.导数的概念 (1)定义 如果函数 y=f(x)的自变量 x 在 x0 处有增量 Δx, 那么函数 y 相应地有增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0),比 Δy 值 就叫函数 y=f(x)从 x0 到 x0+Δx 之间的平均变 Δx Δy f(x0+Δx)-f(x0) 化率,即 = . 如果当 Δx→0 Δx Δx Δy 时, 有极限,我们就说函数 y = f(x) 在点 x0 处 Δx ____________,并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的 导数,记作____________或 y′|x = x0 ,即 f ′(x0) = f(x0+Δx)-f(x0) Δy lim Δx= lim Δx ?x ?0 ?x ?0 (2)导函数 当 x 变化时,f′(x)便是 x 的一个函数,我们称 它为 f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时 f(x+Δx)-f(x) 也记作 y′, 即 f ′(x)=y ′= lim . Δx ?x ?0 (3)求函数 y=f(x)在点 x0 处导数的方法 ①求函数的增量 Δy= ;

③取极限,得导数 f ′(x0)= lim

Δy . Δx

2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义, 就是 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率.也就 是说,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 是 .相应的切线方程为 . 3.基本初等函数的导数公式 (1)c′= (c 为常数), α (x )′= (α∈Q*); (2)(sinx)′=____________, (cosx)′=____________; (3)(lnx)′= , (logax)′= ; (4)(ex)′=____________, (ax)′= . 4.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=__________________. (2)[f(x)g(x)]′=____________________; 当 g(x)=c(c 为常数)时,即[cf(x)]′=________. ? f(x) ? ′ = (3) ? ? ?g(x)? (g(x)≠0).

5.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u= g(x)的导数间的关系为______________.即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 自查自纠: 1.(1)可导 f′(x0) f(x0+Δx)-f(x0) (3)①f(x0+Δx)-f(x0) ② Δx 2.f′(x0) y-y0=f′(x0)(x-x0) 1 1 - 3.(1)0 αxα 1 (2)cosx -sinx (3) x xlna (4)ex axlna 4.(1)f′(x)± g′(x) (2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) cf′(x) f′(x)g(x)-f(x)g′(x) (3) [g(x)]2 5.yx′=y′u·u′x

类型一

导数的概念

已知函数 f(x) = x2 + 1. 用定义的方法 求: (1)f(x)在 x=2 处的导数; (2)f(x)在 x=a 处的导数. Δy f(2+Δx)-f(2) 解:(1)因为 = Δx Δx 2 2 (2+Δx) +1-(2 +1) = Δx =4+Δx, 当 Δx→0 时,4+Δx→4, 所以 f(x)在 x=2 处的导数是 4. Δy f(a+Δx)-f(a) (2)因为 = Δx Δx (a+Δx)2+1-(a2+1) = Δx =2a+Δx, 当 Δx→0 时,2a+Δx→2a, 所以 f(x)在 x=a 处的导数是 2a. 点拨: 利用导数定义求函数在某一点处的导数,首先 Δy 写出函数在该点处的平均变化率 ,再化简平均变 Δx Δy 化率,最后判断当 Δx→0 时, 无限趋近于哪一常 Δx 数,该常数即为所求导数,这是定义法求导数的一 般过程. 航天飞机发射后的一段时间内, 第ts 3 2 时的高度 h(t)=5t +30t +45t+4(单位:m). (1)求航天飞机在第 1 s 内的平均速度; (2)用定义方法求航天飞机在第 1 s 末的瞬时速 度. 解:(1)航天飞机在第 1 s 内的平均速度为 h(1)-h(0) 5+30+45+4-4 = =80 m/s. 1 1 (2)航天飞机第 1 s 末高度的平均变化率为 h(1+Δt)-h(1) = Δt
5(1+Δt)3+30(1+Δt)2+45(1+Δt)+4-84 Δt

函数 f(x)=a3+5a2x2 的导数 f′(x)=( ) 2 2 2 2 2 A.3a +10ax B.3a +10ax +10a x C.10a2x D.以上都不对 2 解:f′(x)=10a x.故选 C. 1 曲线 y= 在 x=e 处的切线方程为( ) lnx A.x+ey-e=0 B.ex+y-e=0 C.x-ey-2e=0 D.x+ey-2e=0 1 - x 1 1 解:y′= =- ,y′|x=e=- , e (lnx)2 x(lnx)2 1 故所求方程为 y-1=- (x-e),整理得 x+ey-2e e =0.故选 D. x2 已知曲线 y= -3lnx 的一条切线的斜率为 4 1 - ,则切点的横坐标为( ) 2 1 A.3 B.2 C.1 D. 2 x 3 x 3 1 解:y′= - ,令 - =- ,解得 x=2 或 x 2 x 2 x 2 =-3(舍去).故选 B. 1 物体的运动方程是 s=- t3+2t2-5,则物 3 体在 t=3 时的瞬时速度为 . 解:v(t)=s′(t)=-t2+4t,t=3 时,v=3,故填 3. ( 2014·新课标Ⅱ ) 设曲线 y = ax - ln(x + 1) 在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=________. 1 解:y′=a- ,根据已知,当 x=0 时,y′ x+1 =2,代入解得 a=3.故填 3.

5Δt3+45Δt2+120Δt Δt =5Δt2+45Δt+120, 当 Δt→0 时,5Δt2+45Δt+120→120, 所以航天飞机在第 1 s 末的瞬时速度为 120 m/s. =

类型二

求导运算

5? 解得 x0=± 1,故切点为? ?1,3?,(-1,1). 5 故所求切线方程为 y- =x-1 和 y-1=x+1, 3 即 3x-3y+2=0 和 x-y+2=0. 1 4 (2)∵y′=x2,且 P(2,4)在曲线 y= x3+ 上, 3 3 ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x -2), 即 4x-y-4=0. 1 4 (3)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切 3 3 1 4 3 ? 于点 A? ?x0,3x0+3?,又∵切线的斜率 k=y′|x=x0= x2 0, 1 3 4? 2 ∴切线方程为 y-? ?3x0+3?=x0(x-x0), 2 3 4 即 y=x2 0x- x0+ . 3 3 4 2 2 3 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x0 - x0+ , 3 3 2 3 2 2 即 x3 0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 2 ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2 =0. 点拨: 曲线切线方程的求法: (1)以曲线上的点(x0, f(x0))为切点的切线方程的 求解步骤: ①求出函数 f(x)的导数 f′(x); ②求切线的斜率 f′(x0); ③写出切线方程 y- f(x0)= f′(x0)(x - x0) ,并化 简. (2)如果已知点(x1, y1)不在曲线上,则设出切点 ?y0=f(x0), (x0,y0),解方程组?y1-y0 得切点(x0, =f′(x0), ? ?x1-x0 y0),进而确定切线方程. 注意:①求切线方程时,要注意判断已知点是 否满足曲线方程,即是否在曲线上.②与曲线只有 一个公共点的直线不一定是曲线的切线,曲线的切 线与曲线的公共点不一定只有一个. 已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求满足斜率为 4 的曲线的切线方程; (2)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (3)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点, 求直线 l 的方程. 解:(1)设切点坐标为(x0,y0), ∵f′(x0)=3x2 1, 0+1=4,∴x0=±

求下列函数的导数: (1)y=5x -4x+1; (2)y=xlnx; (3)y=sin(πx+φ)(其中 φ 为常数); x+3 (4)y= (x≠-2). x+2 解:(1)y′=10x-4; 1 (2)y′=lnx+x· =lnx+1; x (3)y′=cos(πx+φ)· (πx+φ)′=πcos(πx+φ); 1 1 (4)y′=?1+x+2?′=- . ? ? (x+2)2
2

点拨: 求导运算,一是熟记公式及运算法则,二是掌 握求复合函数导数的步骤,遵从“由外到内”的原 则,三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子 进行化简或变形,从而使求导运算更简单. 求下列函数的导数: (1)y=(x+1)(x+2); x (2)y= x (x≠0); e -1 (3)y=cos2x; x+3 (4)y=ln (x>-1). x+1 解:(1)y′=(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′ =x+2+x+1=2x+3; x′(ex-1)-x(ex-1)′ (2)y′= (ex-1)2 (1-x)ex-1 = ; (ex-1)2 (3)y′=-sin2x·(2x)′=-2sin2x; 1 1 (4)y′=[ln(x+3)-ln(x+1)]′= - x+3 x+1 2 =- . (x+1)(x+3)

?

类型三

导数的几何意义

1 4 已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程; (2)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (3)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 解:(1)y′=x2,设切点为(x0,y0), 故切线的斜率为 k=x2 0=1,

? ? ?x0=1, ?x0=-1, ∴? 或? ?y0=-14 ? ?y0=-18. ? ∴切线方程为 y=4x-18 或 y=4x-14. (2)∵f′(x)=3x2+1, 且(2,-6)在曲线 f(x)=x3+x-16 上, ∴在点(2, -6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. ∴切线方程为 y=13x-32. (3)解法一:设切点为(x0,y0), ∵直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x2 0+1, 2 ∴直线 l 的方程为 y=(3x0 +1)(x-x0)+x3 0+x0 -16, 又∵直线 l 过原点(0,0), 2 ∴0=(3x0 +1)(-x0)+x3 0+x0-16, 整理得 x0=-2, ∴斜率 k=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x. 解法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0, y0), y0-0 x3 0+x0-16 则斜率 k= = , x0 x0-0 2 又∵k=f′(x0)=3x0+1, 3 x0 +x0-16 ∴ =3x2 0+1,解得 x0=-2, x0 ∴k=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x.

再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知,要 先求出切点坐标.

1.函数 f(x)=x3+sin2x 的导数 f′(x)=( ) A.x2+cos2x B.3x2+cos2x C.x2+2cos2x D.3x2+2cos2x 解: f′(x) = 3x2 + (2x)′cos2x = 3x2 + 2cos2x. 故选 D. 2. 已知 f(x)=(x-2)(x-3), 则 f′(2)的值为( ) A.0 B.-1 C.-2 D.-3 解:∵f′(x)=(x-3)+(x-2)=2x-5,∴f′(2) =-1.故选 B. 3.曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 解:由 y′|x=1=3,得在点 P(1,12)处的切线方 程为 3x-y+9=0,令 x=0,得 y=9,故选 C. 4.若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为 ( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 4 2(x-2)(x+1) 解:∵f′(x)=2x-2- = > x x 0,x>0,∴x-2>0,解得 x>2.故选 C. 5.(2014·湖北八市高三3月调考)设 a∈R,函 - 数 f(x)=ex+a·e x 的导函数是 f′(x),且 f′(x)是奇函 数,则 a 的值为( ) 1 1 A.1 B.- C. D.-1 2 2 - x 解:因为 f′(x)=e -ae x,由奇函数的性质可得 f′(0)=1-a=0,解得 a=1.故选 A. 6.已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜 角互补,则 a 的值为( ) 27 27 A. B.-2 C.2 D.- 8 8 解:设切点坐标为(t,t3-at+a). 切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a,① 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x- t),② 将点(1, 0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1 3 3 -t), 解之得 t=0 或 t= .分别将 t=0 和 t= 代入① 2 2 27 式,得 k=-a 或 k= -a, 由它们互为相反数得 a 4 27 = .故选 A. 8 - 7. (2014·江西)若曲线 y=e x 上点 P 处的切线 平 行 于 直 线 2x + y + 1 = 0 , 则 点 P 的 坐 标 是 ________. - 解:设点 P 的坐标为(x0,y0),y′=-e x.又切 线平行于直线 2x+y+1=0,所以-e-x0=-2,可

1 . 弄清 “ 函数在一点 x0 处的导数 ”“ 导函 数”“导数”的区别与联系 (1)函数在一点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数, 不是变量; (2)函数的导函数(简称导数),是针对某一区间 内任意点 x 而言的.函数 f(x)在区间(a,b)内每一点 都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′(x0),根据函数的定 义,在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数,也 就是函数 f(x)的导函数 f′(x); (3)函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是导函 数 f′(x)在点 x=x0 处的函数值. 2. 求函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)通常有 以下两种方法 (1)利用导数的定义:即求 f(x0+Δx)-f(x0) lim 的值; Δx ?x ?0 (2)利用导函数的函数值: 先求函数 y=f(x)在开 区间(a,b)内的导函数 f′(x),再将 x0(x0∈(a,b))代 入导函数 f′(x),得 f′(x0). 3.正确区分“曲线在某点处的切线”与“过 某点的曲线的切线”的含义,前者的“某点”即切 点,后者的“某点”是否为切点则须检验. 4.求曲线在某一点处的切线方程时,可以先 求函数在该点的导数, 即曲线在该点的切线的斜率,

得 x0=-ln2, 此时 y=2, 所以点 P 的坐标为(-ln2, 2).故填(-ln2,2). 8.(2013·江西)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导, 且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 解:令 ex=t,则 x=lnt.∵f(ex)=x+ex,∴f(t) 1 =lnt+t,∴f′(t)= +1,∴f′(1)=1+1=2.故填 t 2. 9.求函数 f(x)=x3-4x+4 图象上斜率为-1 的切线的方程. 解:设切点坐标为(x0,y0), ∵f′(x0)=3x2 1. 0-4=-1,∴x0=± ∴切点为(1,1)或(-1,7). 切线方程为 x+y-2=0 或 x+y-6=0. 1 10.设函数 f(x)= x3-ax(a>0),g(x)=bx2+ 3 2b-1.若曲线 y=f(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c) 处有相同的切线,求实数 a,b 的值,并写出切线 l 的方程. 1 解:因为 f(x)= x3-ax(a>0),g(x)=bx2+2b 3 -1, 所以 f′(x)=x2-a,g′(x)=2bx. 因为曲线 y=f(x)与 y=g(x)在它们的交点(1,c) 处有相同的切线,所以 f(1)=g(1),且 f′(1)=g′(1), 1 即 -a=b+2b-1,且 1-a=2b, 3 1 1 解得 a= ,b= ,得切点坐标为(1,0). 3 3 2 切线方程为 y= (x-1),即 2x-3y-2=0. 3 a 11.已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然 e 对数的底数). (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)当 a=1 时,若直线 l:y=kx-1 与曲线 y= f(x)相切,求 l 的直线方程. a 解:(1)f′(x)=1- x,因为曲线 y=f(x)在点(1, e a f(1))处的切线平行于 x 轴,所以 f′(1)=1- =0,解 e 得 a=e. 1 1 (2)当 a=1 时,f(x)=x-1+ x,f′(x)=1- x. e e 设切点为(x0,y0),

1 ∵f(x0)=x0-1+ =kx0-1,① ex0 1 f′(x0)=1- =k,② ex0 ①+②得 x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0. 若 k=1,则②式无解,∴x0=-1,k=1-e. ∴l 的直线方程为 y=(1-e)x-1. (2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满 足下列两个条件:(1)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切;(2)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧, 则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C.下列命题正确 的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l: y=0 在点 P(0, 0)处“切过”曲线 C: 3 y=x ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲 线 C:y=(x+1)2 ③直线 l: y=x 在点 P(0, 0)处“切过”曲线 C: y=sinx ④直线 l: y=x 在点 P(0, 0)处“切过”曲线 C: y=tanx ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲 线 C:y=lnx 解:对于①,y′=(x3)′=3x2,y′|x=0=0,所 以 l:y=0 是曲线 C:y=x3 在点 P(0,0)处的切线, 画图可知曲线 C:y=x3 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,①正确; 对于②,l:x=-1 显然不是曲线 C:y=(x+1)2 在点 P(-1,0)处的切线,②错误; 对于③,y′=(sinx)′=cosx,y′|x=0=1,曲线 在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知曲线 C: y=sinx 在点 P(0,0)附近位于直线 l 的两侧,③正 确; sinx ? 1 对于④,y′=(tanx)′=? ?cosx?′=cos2x,y′|x 1 =1,曲线在点 P(0,0)处的切线为 l:y= =0= cos20 x,画图可知曲线 C:y=tanx 在点 P(0,0)附近位于 直线 l 的两侧,④正确; 1 对于⑤,y′=(lnx)′= ,y′|x=1=1,在点 P(1, x 0)处的切线为 l:y=x-1,令 h(x)=x-1-lnx(x> 1 x-1 0), 可得 h′(x)=1- = , 所以 h(x)min=h(1)=0, x x 故 x-1≥lnx,可知曲线 C:y=lnx 在点 P(1,0)附 近位于直线 l 的下方,⑤错误.故填①③④.

§3.2

导数的应用(一)
D.若 f(x)在(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b) 内不是单调函数 解:导数为 0 的点不一定是极值点(如 y=x3, 在 x=0 处),而极值点的导数一定为 0.极值是局部 概念,因此极小值可能有多个且有可能大于极大 值.极值点是单调性的转折点.故选 D. 1 已知函数 f(x)= x2-x,则 f(x)的单调增区 2 间是( ) A.(-∞,-1)和(0,+∞) B.(0,+∞) C.(-1,0)和(1,+∞) D.(1,+∞) 解:f′(x)=x-1,令 f′(x)>0,解得 x>1.故选 D. 若在区间[1,2]内有 f′(x)>0,且 f(1)=0, 则在[1,2]内有( ) A.f(x)≥0 B.f(x)≤0 C.f(x)=0 D.f(x)≥1 解:∵f′(x)>0,∴f(x)在[1,2]内单调递增. ∵f(1)=0,∴在[1,2]内 f(x)≥0.故选 A. 若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x2-4x+3, 则函 数 f(x-1)的单调递减区间是________. 解:由 f′(x)=x2-4x+3<0 得 1<x<3,所以 函数 f(x)的单调递减区间为(1,3),函数 y=f(x-1) 的图象由函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位得 到,故函数 f(x-1)的单调递减区间是(2,4).故填 (2,4). π? 函数 f(x)=x+2cosx, x∈? ?0,2?的最大值是 ________. 1 解:f′(x)=1-2sinx,令 f′(x)=0 得 sinx= ,从 2 π π ? 而 x= ,当 x∈? ?0,6?时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 6 π π? 当 x∈? ?6,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以 f(x) π π π 在 x= 处取得极大值,即最大值 + 3.故填 + 3. 6 6 6

1.函数的单调性与导数 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y =f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函 数 y=f(x)在这个区间内____________. 2.函数的极值与导数 (1)判断 f(x0)是极大值,还是极小值的方法: 一般地,当 f′(x0)=0 时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 那么 f(x0)是极大值; ② 如 果 在 x0 附 近 的 左 侧 _________ , 右 侧 _________,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤: ①求 f′(x); ②求方程_________的根; ③检查 f′(x)在上述方程根的左右对应函数值的 符号 . 如果左正右负,那么 f(x) 在这个根处取得 _________;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取 得_________. 3.函数的最值与导数 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上 必有最大值与最小值. (2) 若 函 数 f(x) 在 [a , b] 上 单 调 递 增 , 则 ____________ 为 函 数 在 [a , b] 上 的 最 小 值 , _________为函数在[a,b]上的最大值;若函数 f(x) 在[a,b]上单调递减,则_________为函数在[a,b] 上的最大值, _________为函数在[a, b]上的最小值. (3)设函数 f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与端点处的函数值______, ______比较,其中最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值. 自查自纠: 1.单调递减 2.(1)②f′(x)<0 f′(x)>0 (2)②f′(x)=0 ③极大值 极小值 3.(2)f(a) f(b) f(a) f(b) (3)②f(a) f(b)

类型一

导数法判断函数的单调性

关于函数的极值, 下列说法正确的是( ) A.导数为 0 的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值,一 个极小值

设函数 f(x) 在定义域内可导, y= f(x) 的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象可能是 ( )

解:当 x<0 时,f(x)为增函数,f′(x)>0,排 除 A, C; 当 x>0 时, f(x)先增后减, 再增, 对应 f′(x) 先正后负,再正.故选 D. 点拨: 导函数的图象在哪个区间位于 x 轴上方(下方), 说明导函数在该区间大于 0(小于 0),那么它对应的 原函数在那个区间就单调递增(单调递减). (2014·北京联考)如图是函数 y=f(x) 的导函数 y = f′(x) 的图象,则下面判断正确的是 ( )

在合并后的区间内函数单调性依然成立.如,本例 中(-∞,-1),(1,+∞)不能写成(-∞,-1)∪(1, 3 3 +∞),不妨取 x1=- ∈(-∞,-1),x2= ∈(1, 2 2 3 9 9 ? +∞),x1<x2,而 f(x1)=f? ?-2?=8,f(x2)=-8,这 时 f(x1)<f(x2)不成立. ( 2014·山东 ) 设 函 数 f(x) = ex - x2

2 ? k? ?x+lnx? (k≤0,k 为常数,e=2.71828?是自然对 数的底数),求函数 f(x)的单调区间. 解:函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞). x2ex-2xex ? 2 1? f′(x)= -k?-x2+x ? x4 xex-2ex k(x-2) (x-2)(ex-kx) = - = . x3 x2 x3 由 k≤0 可得 ex-kx>0, 所以当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数 y=f(x) 单调递减, x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数 y=f(x)单调递 增. 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区 间为(2,+∞).

A.在(-2,1)上 f(x)是增函数 B.在(1,3)上 f(x)是减函数 C.当 x=2 时,f(x)取极大值 D.当 x=4 时,f(x)取极大值 解: 由 y=f′(x)的图象可得 y=f(x)的大致图象如 图.

类型三

导数法研究函数的极值问题
1 已知函数 f(x)= x3+cx 在 x=1 处取得 2

由图可知,A,B,D 均错.故选 C.

类型二

导数法研究函数的单调性

已知函数 f(x)=x3-ax,f′(1)=0. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 解:(1)f′(x)=3x2-a,由 f′(1)=3-a=0,得 a =3. (2)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3. 令 f′(x)>0,得 x<-1 或 x>1. 所以 f(x)的单调递增区间是 (-∞,-1),(1, +∞),单调递减区间是[-1,1]. 点拨: ①用导数求函数的单调区间,突破口是讨论导 数的符号. ②注意: 区间的端点可以属于单调区间, 也可以不属于单调区间,对结论没有影响.如,本 例中[-1, 1]也可以写成(-1, 1). ③写单调区间时, 一般不要使用符号“∪”,可以用“, ” “和”分开 各区间,原因是各单调区间用“∪”连接的条件是

极值. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的极值. 3 解: (1)f′(x)= x2+c, 当 x=1 时, f(x)取得极值, 2 3 3 则 f′(1)=0,即 +c=0,得 c=- . 2 2 1 3 3 故 f(x)= x - x. 2 2 3 2 3 3 2 3 (2)f′(x)= x - = (x -1)= (x-1)(x+1), 2 2 2 2 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 1. x,f′(x),f(x)的变化情况如下表: (-∞, - (-1, (1,+ x 1 -1 1) 1) ∞) f′(x) 0 0 + - + 极 极 ↗ ↗ f(x) 大 ↘ 小 值 值 因此,f(x)的极大值为 f(-1)=1,极小值为 f(1) =-1. 点拨:

找函数的极值点,即先找导数的零点,但并不 是说导数为零的点就是极值点(如 y=x3),还要保证 该零点为变号零点. 设 f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中 a∈R, 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2. (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 6 解:(1)f′(x)=2a(x-5)+ , x 1 依题意,f′(1)=6-8a=2,得 a= . 2 1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6lnx(x>0), 2 6 (x-2)(x-3) f′(x)=x-5+ = . x x 令 f′(x)=0,得 x=2 或 3. x,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 2 3 (0,2) (2,3) (3, +∞) f′(x) 0 0 + - + 极 极 ↗ ↗ f(x) 大 ↘ 小 值 值 故 f(x)的单调增区间为(0,2)和(3,+∞), 单调减区间为(2,3). 9 f(x)的极大值 f(2)= +6ln2,极小值 f(3)=2+ 2 6ln3.

5? 所以 f(x)在? ?-∞,-3?,(-1,+∞)上单调递 5 ? 增,在? ?-3,-1?上单调递减. 5? 4 4 ∵h? ?-3?=27,h(1)=12,12>27, ∴f(x)+g(x)在(-∞,1]上的最大值为 12. 点拨: 函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个 最小值,如果存在最大或最小值,最大值一般是在 端点或极大值点取得,最小值一般是在端点或极小 值点取得. 已知函数 f(x)=2x3+ax2+bx+1,若 1 函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=- 对称,且 f′(1) 2 =0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)在区间[-2, 2]上的最大值和最小 值. 解:(1)f′(x)=6x2+2ax+b, a 函数 y=f′(x)的图象的对称轴为 x=- . 6 a 1 ∵- =- ,∴a=3. 6 2 ∵f′(1)=0,∴6+2a+b=0,得 b=-12.故 a =3,b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2). x,f′(x),f(x)的变化情况如下表: (-∞, - (-2, (1,+ x 1 -2 2) 1) ∞) f′(x) 0 0 + - + 极 极 ↗ ↗ f(x) 大 ↘ 小 值 值 ∵f(-2)=21,f(2)=5,21>5,f(1)=-6. ∴所以 f(x)在[-2,2]上的最大值为 21,最小 值为-6.

类型四

导数法研究函数的最值问题

已知函数 f(x)=ax2+2,g(x)=x3+bx. 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处 具有公共切线. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)+g(x)的单调区间, 并求其在区间 (-∞,1]上的最大值. 解:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b, ∵f(1)=g(1),f′(1)=g′(1), ∴a+2=1+b,且 2a=3+b,解得 a=4,b= 5. (2)设 h(x)=f(x)+g(x)=x3+4x2+5x+2, 则 h′(x)=3x2+8x+5=(3x+5)(x+1). x,h′(x),h(x)的变化情况如下表: 5 5 (-1,+ - ,-1) x - -1 (-∞,-5 3) 3 ( 3 ∞) h′(x 0 0 + - + ) 极 极 ↗ ↗ h(x) 大 ↘ 小 值 值

类型五

实际应用问题(优化问题)

请你设计一个包装盒,如图所示, ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线 折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好 形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F 在 AB 上, 是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点, 设 AE =FB=x(cm). (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,x 应取何值?

(2)若厂商要求包装盒容积 V(cm3)最大,x 应取 何值?

解:(1)根据题意有 S = 602 - 4x2 - (60 - 2x)2 = 240x - 8x2 , 0 < x < 30, S′=240-16x,令 S′=0,得 x=15. 当 0<x<15 时,S′>0,S 递增; 当 15<x<30 时,S′<0,S 递减. 所以 x=15 cm 时包装盒侧面积 S 最大. (2)根据题意有 2 V=( 2x)2· (60-2x)=2 2x2(30-x),0<x 2 <30, V′=6 2x(20-x), 当 0<x<20 时,V′>0,V 递增; 当 20<x<30 时,V′<0,V 递减. 所以 x=20 cm 时包装盒容积 V 最大. 点拨: 本题主要考查学生的空间想象能力、 阅读能力、 运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型 的能力,属于中档题.注意用导数求解实际问题中 的最大(小)值时,如果函数在区间只有一个极值点, 那么依据实际意义,该极值点也就是最值点. 用长为 15 cm, 宽为 8 cm 的长方形铁 皮做一个无盖的容器,先在四角分别裁去一个边长 为 x cm 的小正方形,然后把四边翻转 90° 角,再焊 接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容 积最大?

1.用导数判断单调性 用导数判断函数的单调性时,首先应确定函数 的定义域,然后在函数的定义域内,通过讨论导数 的符号,来判断函数的单调区间.在对函数划分单 调区间时,除了必须确定使导数等于 0 的点外,还 要注意定义区间内的间断点. 2.极值与最值的区别 (1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情 况,刻画的是函数的局部性质;“最值”是个整体 概念,是整个区间上的最大值或最小值,具有绝对 性. (2)从个数上看,一个连续函数在闭区间内的最 值一定存在且是唯一的,而极值可以同时存在若干 个或不存在, 且极大(小)值并不一定比极小(大)值大 (小). (3)从位置上看,极值只能在定义域内部取得, 而最值却可以在区间的端点处取得;有极值未必有 最值,有最值未必有极值;极值有可能成为最值, 连续函数的最值只要不在端点处必定是极值. 3.实际问题中的最值 在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极 值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最 小值即可,不必再与端点的函数值比较.

1. (2014·新课标Ⅱ)函数 f(x)在 x=x0 处导数存 在. 若 p: f′(x0)=0, q: x=x0 是 f(x)的极值点, 则( ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件, 也不是 q 的必要条 件 解:由条件知由 q 可推出 p,而由 p 推不出 q. 故选 C.

解:依题意,0<x<4, 容 积 V = (15 - 2x)· (8 - 2x)· x = 4x3 - 46x2 + 120x, V′=12x2-92x+120=4(3x-5)(x-6). 5 令 V′=0,得 x= 或 6(舍去). 3 5 当 0<x< 时,V′>0,V 递增; 3 5 当 <x<4 时,V′<0,V 递减. 3 5 所以高 x= cm 时容器的容积最大. 3

2.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图 象如图所示,则 y=f(x)的图象有可能是( )

解:当 x<0 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 0<x<1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减.故选 C. 3. 函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解:f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 2 4.设函数 f(x)= +lnx,则( ) x 1 A. x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B. x= 为 f(x)的极小值点 2 C. x=2 为 f(x)的极大值点 D. x=2 为 f(x)的极小值点 x-2 解: f′(x)= 2 , 令 f′(x)=0, 得 x=2.当 x<2 时, x f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x>2 时,f′(x)>0,f(x) 为增函数,所以 x=2 为 f(x)的极小值点,故选 D. 5.函数 f(x)=x3-3x2+m 在区间[-1,1]上的 最大值是 2,则常数 m=( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 解:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2(舍去), 当-1≤x<0 时,f′(x)>0; 当 0<x≤1 时,f′(x)<0. 所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 m,m=2. 故选 C. 6. 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图 所示,则下列判断正确的是( )

解:圆柱的体积为 V=πr2h=16π?r2h=16,圆 32π 柱 的 表 面 积 S = 2πrh + 2πr2 = + 2πr2 = r 16 2? 2π? ? r +r ?, 16 ? 由 S′=2π·? ?- r2 +2r?=0,得 r=2.因此 r 2 (0,2) (2,+∞) S′ S - ↘ 0 + 极小值,也是最 ↗ 小值 ∴当底面半径 r=2 时,圆柱的表面积最小.故 填 2. x a 3 9.(2014·重庆)已知函数 f(x)= + -lnx- , 4 x 2 其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂 1 直于直线 y= x. 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 1 a 1 解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- ,由 f(x)在 4 x x 1 3 点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 知 f′(1)=- 2 4 5 -a=-2,解得 a= . 4 x 5 3 (2)由(1)知 f(x)= + -lnx- , 4 4x 2 2 x -4x-5 则 f′(x)= . 4x2 令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5. 因为 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故 舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)上 为减函数; 当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(5,+ ∞)上为增函数. 由此知函数 f(x)在 x=5 时取得极小值 f(5)=- ln5. 10.已知函数 f(x)=x2+alnx,a≠0. (1)若 x=1 是函数 f(x)的极值点, 求实数 a 的值; (2)讨论 f(x)的单调性. a 解:f′(x)=2x+ ,x>0. x (1)因为 f′(1)=0,所以 2+a=0,得 a=-2, 经检验,当 a=-2 时,x=1 是函数 f(x)的极值 点. (2)①若 a>0,则 f′(x)>0 恒成立,f(x)在(0,+ ∞)上单调递增. a ②若 a<0,令 f′(x)=0,得 x= - , 2 a 当 x∈?0, - ?时, f′(x)<0, f(x)单调递减; 2? ?

A.a<0,b<0,c<0 B.a>0,b>0,c<0 C.a>0,b<0,c>0 D.a>0,b>0,c>0 解: 因为 x>0 时, f(x)>0 恒成立, 所以 a>0; f′(x) 2 =3ax +2bx+c=0 的两个根 x1、x2 均小于零, 所以 2b c x1+x2=- <0,则 b>0;x1x2= >0,则 c>0,所 3a 3a 以 a,b,c 同为正.故选 D. 7.函数 f(x)=x3+2xf′(-1),则函数 f(x)在区间 [-2,3]上的值域是____________. 解:f′(x)=3x2+2f′(-1),令 x=-1,则 f′(-1) =3+2f′(-1), 得 f′(-1)=-3, 因此 f(x)=x3-6x, f′ (x) = 3x2- 6= 3(x+ 2)(x - 2) ,∵ f( - 2)= 4, f(- 2)=4 2,f( 2)=-4 2,f(3)=9,∴f(x)在区 间[-2,3]上的值域为[-4 2,9].故填[-4 2, 9]. 8.已知圆柱的体积为 16π cm3,则当底面半径 r=________cm 时,圆柱的表面积最小.

当 x∈?

?

a ? f′(x)>0, f(x)单调递 - ,+∞ 时, 2 ?

2 ? 当 x∈? ?3,2?时,S′<0,S 是 x 的减函数. 2 ∴x= 时,S 取到最大值,此时 3 8 32 |PM|=2+x= ,|PN|=4-x2= , 3 9 8 32 256 2 Smax= × = ≈9.5(km ). 3 9 27 32 答: 把工业园区规划成长(PN)为 km, 宽(PM) 9 8 km 时, 矩形工业园区的用地面积最大, 最大用 3 地面积约为 9.5 km2. ( 2014·全国Ⅱ ) 已知函数 f(x) = x3 - 3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx -2 只有一个交点. 解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a. 曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax +2. 2 由题设得- =-2,所以 a=1. a (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知 1-k>0. 当 x≤0 时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x) 单调递增, g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4, 则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单 调递减,在(2,+∞)上单调递增, 所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0, 所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上,g(x)=0 在 R 有唯一实根, 即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点. 为

增. 11 . ( 2014·天门、仙桃、潜江高三期末 ) 某地 政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非 农业用地 AOCB 规划建成一个矩形的高科技工业园 区. 已知 AB⊥BC, OA∥BC, AB=BC=2AO=4 km, 曲线段 OC 是以点 O 为顶点且开口向上的抛物线的 一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在 AB,BC 上,且一个顶点 P 落在曲线段 OC 上,问应如何规 划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最 大的用地面积(精确到 0.1 km2).

解:以 O 为原点,AO 所在直线为 x 轴建立直 角坐标系(如图).

依题意可设抛物线的方程为 x2=2py,且 C(2,4). 1 ∴22=2p· 4,∴p= . 2 故曲线段 OC 的方程为 y=x2(0≤x≤2). 设 P(x,x2)(0≤x<2), 则|PM|=2+x,|PN|=4-x2. ∴工业园区的用地面积 S=|PM|· |PN|=(2+x)(4-x2) =-x3-2x2+4x+8. 2 ∴S′=-3x2-4x+4,令 S′=0?x1= ,x2= 3 -2(舍去), 2? 当 x∈? ?0,3?时,S′>0,S 是 x 的增函数;

§3.3

导数的应用(二)
2 . 最小值 最大值 (1) 单调性 (2) 单调性 极值点 3.(1)时间 (2)长度 (3)时间 (4)时间 (5)时间 (6)产量 4.< > = =

1. 当 f′(x)在某个区间内个别点处为零, 在其余 点处均为正(或负)时,f(x)在这个区间上仍旧是单调 递增(或递减)的,例如:在(-∞,+∞)上,f(x)=x3, 当 x=0 时,f′(x)=_________,当 x≠0 时,f′(x) >0,而 f(x)=x3 显然在(-∞,+∞)上是单调递增函 数. 2.可导函数求最值的方法 f′(x)=0?x=x1,x2,?,xn,x∈[a,b]. 直接比较 f(a) , f(b) , f(x1) ,?, f(xn) ,找出 __________和____________即可.在此基础上还应 注意: (1)结合____________可减少比较次数. (2)含参数的函数求最值可用: ①按____________分类; ②按____________分类. 3.实际问题中的导数,常见的有以下几种情 形: (1)加速度是速度关于________的导数; (2)线密度是质量关于________的导数; (3)功率是功关于________的导数; (4)瞬时电流是电荷量关于________的导数; (5) 水 流 的 瞬 时 速 度 是 流 过 的 水 量 关 于 ________的导数; (6)边际成本是成本关于________的导数. 4.N 型曲线与直线 y=k 的位置关系问题

如图,方程 f(x)=0 有三个根 x1,x2,x3 时,极 大值 f(a)>0 且极小值 f(b)<0. 曲线 y=f(x)与直线 y=k(k 是常数)有一个交点 时,见图中的直线①或直线②,极大值 f(a)______k 或极小值 f(b)______k; 曲线 y=f(x)与直线 y=k(k 是常数)有两个交点 时,见图中的直线③或直线④,极大值 f(a)______k 或极小值 f(b)______k; 曲线 y=f(x)与直线 y=k(k 是常数)有三个交点 时,见图中的直线⑤. 以上这些问题,常见于求参数的取值范围、讨 论不等关系等形式的题目. 自查自纠: 1.0

1 函数 y=4x2+ 的单调增区间为( ) x 1 ? A.(0,+∞) B.? ?2,+∞? 1? C.(-∞,-1) D.? ?-∞,-2? 1 1 解:y′=8x- 2,令 y′>0,解得 x> , x 2 1 1 ,+∞?上递增.故选 B. ∴函数 y=4x2+ 在? ? x ?2 3 函数 f(x)=ax +x+1 在 x=-1 处有极值, 则 a 的值为( ) 1 1 A.1 B.0 C.- D.- 3 2 解:f′(x)=3ax2+1,∵f′(-1)=3a+1=0,∴ 1 a=- .故选 C. 3 已知函数 f(x)=ax3+bx+c(a,b,c∈R), 若 f′(1)=2,则 f′(-1)=( ) A.0 B.3 C.-1 D.2 解:f′(x)=3ax2+b,f′(-1)=f′(1)=2.故选 D. 已知 f(x)=sinx+2x,x∈R,且 f(2a)<f(a- 1),则 a 的取值范围是________. 解:∵f′(x)=cosx+2>0 恒成立,∴f(x)在 R 上 单调递增.∵f(2a)<f(a-1),∴2a<a-1,得 a< -1.故填(-∞,-1). 若函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a<0)在区间(1, 2)是增函数,则 a 的取值范围是________. 解:f′(x)=3ax2+6x+3,当 a<0 时,f(x)在区 间(1,2)是增函数,当且仅当 f′(1)≥0 且 f′(2)≥0, 5 ? 5 解得- ≤a<0.故填? ?-4,0?. 4

类型一

函数单调性的进一步讨论
已知实数 a>0,函数 f(x)=a(x-2)2+

2lnx. (1)当 a=1 时,讨论函数 f(x)的单调性;

(2)若 f(x)在区间[1,4]上是增函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x2-4x+4+2lnx, 2 2 2(x-1) f′(x)=2x-4+ = , x x ∵x>0,∴f′(x)≥0, ∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 2 2 2ax -4ax+2 (2)∵f′(x)=2ax-4a+ = , x x 又 f(x)在区间[1,4]上是增函数, 2ax2-4ax+2 ∴f′(x)= ≥0 对 x∈[1, 4]恒成立, x 即 2ax2-4ax+2≥0 对 x∈[1,4]恒成立, 令 g(x)=2ax2-4ax+2, 则 g(x)=2a(x-1)2+2-2a, ∵a>0,∴g(x)在[1,4]上单调递增, 只要使 g(x)min=g(1)=2-2a≥0 即可,∴0< a≤1. 点拨: 函数 f(x)在限定区间是单调函数,求参数范围 的问题,可以转化为恒成立问题求解. 设函数 f(x)=xekx(k≠0). (1)若 k>0,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求 k 的取值范围. 解:(1)f′(x)=(1+kx)ekx. 1 若 k>0,令 f′(x)>0,得 x>- , k 1 ? 所以函数 f(x)的单调递增区间是? ?-k,+∞?, 1? 单调递减区间是? ?-∞,-k?. (2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递增, ∴f′(x)=(1+kx)ekx≥0 在(-1,1)内恒成立, ∴1+kx≥0 在(-1,1)内恒成立, ? (-1)≥0, ?1+k· 即? 解得-1≤k≤1. ?1+k· 1≥0, ? 因为 k≠0,所以 k 的取值范围是[-1,0)∪(0, 1].

∴所求切线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2 =0. a x-a (2)f′(x)=1- = ,x>0. x x 若 a≤0,则 f′(x)>0 恒成立,f(x)不存在极值. 若 a>0,则 x,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x a (0,a) (a,+∞) f′(x) 0 - + 极小 ↗ f(x) ↘ 值 所以 f(x)的极小值 f(a)=a-alna. 点拨: 本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极 值的一般步骤.分类与整合思想是解这类题目常用 的数学思想方法,注意:①分类标准统一,层次分 明;②不重不漏. 已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解:(1)f′(x)=(x-k+1)ex, 令 f′(x)=0,得 x=k-1. f(x)与 f′(x)的变化情况如下: x (-∞, k-1) k-1 (k-1, +∞ ) f′(x) 0 - + -ek f(x) ↘ ↗ -1 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单 调递增区间是(k-1,+∞), (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1] 上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1, 1]上单调递增,所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 - f(k-1)=-ek 1; 当 k-1≥1,即 k≥2 时,函数 f(x)在[0,1]上单 调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1- k)e.

类型二

极值与最值的进一步讨论
福建 ) 已 知 函 数 f(x) = x - ( 2013·

类型三

方程根的讨论

alnx(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1)) 处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 解:(1)∵当 a=2 时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1 2 - .∴f(1)=1,f′(1)=-1. x

已知函数 f(x)=ex,x∈R. (1)求 f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)证明:曲线 y=f(x)与直线 y=ex 有唯一公共 点. 解:(1)∵f′(0)=e0=1,f(0)=1, ∴切线方程为 y-1=1· (x-0),即 x-y+1=0. x (2)证法一:设 g(x)=e -ex,

曲线 y=ex 与 y=ex 的公共点的个数等于函数 g(x)=ex-ex 零点的个数. ∵g′(x)=ex-e,令 g′(x)=0,得 x=1, ∴g(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单 调递增, ∴g(x)的最小值 g(1)=e1-e=0, g(x)=ex-ex≥0(仅当 x=1 时,等号成立). ∴曲线 y=f(x)与直线 y=ex 有唯一公共点. x 1? x 证法二:? ?由于方程e =ex等价于ex=e?. x 设 h(x)= x,分析方法类似证法一. e 点拨: 本题通过作差或作商构造出新的函数,求出新 函数的单调区间、极值点、区间端点处的函数值、 特殊点(如图象与 x 轴,y 轴交点),来判断交点的个 数,这是函数与方程思想的体现. 1 若 a> , 则方程 lnx-ax=0 的实根的 e 个数为( ) A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.无穷多个

g(x)≥g(0)=1-0-1=0. ∴ex≥1+x,即 f(x)≥1+x. (2)设 h(x)=(1-x)ex-x-1,x∈[0,1]. ∵h′(x)=-xex-1<0,∴h(x)在[0,1]上是减 函数, h(x)≤h(0)=1-0-1=0. ∴(1-x)ex-x-1≤0, 即(1-x)f(x)≤1+x. 点拨: ①用导数证明不等式问题的关键在于构造函 数; ②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法; ③本题通过作差构造函数,分析其单调性、最值, 得出函数值恒大于或小于 0,使问题得证. x (2013·江西模拟)设函数 f(x)= , 1+x 1 g(x)=lnx+ .求证:当 0<x≤1 时,f(x)≥g(x). 2 x 1 证明:设 h(x)= -lnx- ,0<x≤1. 2 1+x 1+x-x 1 1 1 ∵ h ′ (x) = 2- = 2- = x (1+x) x (1+x) -x2-x-1 <0, (1+x)2x ∴h(x)在(0,1]上单调递减. 1 1 ∵h(1)= -0- =0, 2 2 h(x)≥0(仅当 x=1 时,等号成立). ∴当 0<x≤1 时,f(x)≥g(x).

lnx 解法一:由于方程 lnx-ax=0 等价于 =a. x lnx 设 f(x)= . x 1 ·x-lnx x 1-lnx ∵f′(x)= = 2 , x2 x 令 f′(x)=0,得 x=e, ∴f(x)在(0,e)上单调递增;在(e,+∞)上单调 递减. 1 ∴f(x)的最大值 f(e)= , e lnx 1 f(x)= ≤ (仅当 x=e 时,等号成立). x e 1 ∵a> ,∴原方程无实根. e 解法二:设 g(x)=lnx-ax,分析单调性、极值 可得结论. 故选 A.

1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函 数,然后用导数证明. 2.求参数范围问题的常用方法:(1)分离变量; (2)运用最值. 3.方程根的问题:可化为研究相应函数的图 象,而图象又归结为极值点和单调区间的讨论. 4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函 数,转化为利用导数研究函数的单调性或求最值, 从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构 造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.

类型四

导数法证明不等式
4 1.函数 f(x)= x3-x2 的单调减区间是( 3 1 ? A.? B.(-∞,0) ?2,+∞? 1 1 ,+∞? D.?0, ? C.(-∞,0),? 2 ? ? ? 2? 2 解:f′(x)=4x -2x=2x(2x-1), )

已知函数 f(x)=ex,当 x∈[0,1]时, 求证: (1)f(x)≥1+x; (2)(1-x)f(x)≤1+x. 证明:(1)设 g(x)=ex-x-1,x∈[0,1]. ∵g′(x)=ex-1≥0,∴g(x)在[0,1]上是增函 数,

1 令 f′(x)<0,得 0<x< . 2 1? 所以 f(x)的单调减区间是? ?0,2?.故选 D. 2.函数 f(x)=x(1-x)n 的部分图象如图所示, 1 f(x)在 x= 处取极值,则 n 的值为( ) 3

A.1 B.-1 C.2 D.-2 - 解:f′(x)=(1-x)n-nx(1-x)n 1=(1-x-nx)(1 n-1 -x) , 1 ∵x= 为 f(x)的极值点, 3 n-1 1? ?1-1-n?·?2? =0, ∴f′? = 0 ,得 ?3? ? 3 3? ?3? ∴n=2.故选 C. 3.函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 处有极 值 10,则 a,b 的值为( ) A.a=3,b=-3,或 a=-4,b=11 B.a=-4,b=1,或 a=-4,b=11 C.a=-1,b=5 D.以上都不正确 解 : f′(x) = 3x2 - 2ax - b , 依 题 意 有 ? ?f′(1)=0,
? ?f(1)=10, ? ? ?a=-4, ?3-2a-b=0, ? 即 ? 解 得 ? 或 2 ? ? ?1-a-b+a =10. ?b=11, ? ?a=3, ? ? ?b=-3.

当 a=3 且 b=-3 时,f′(x)=3x2-6x+3≥0, ? ?a=-4, 函数 f(x)无极值点,故符合题意的只有? 故 ? ?b=11. 选 D. 4.(2014·河北模拟)若函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(-∞,1) 1 0, ? C.(0,+∞) D.? ? 2? 解:f′(x)=3x2-6b,∵f(x)在(0,1)内有极小值, ∴b>0, 令 3x2-6b=0 得 x=± 2b, 1 从而只要 0< 2b<1,得 0<b< .故选 D. 2 2 5.若函数 f(x)=2x -lnx 在其定义域的一个子 区间(k-1, k+1)内不是单调函数, 则实数 k 的取值 范围是( ) 3 ? ?3 ? A.? ?1,2? B.?2,+∞? 1? ?1 ? C.? ?0,2? D.?2,+∞?

1 (2x-1)(2x+1) 解: ∵f′(x) = 4x- = (x > x x 1? 1 ? 0), ∴当 x∈? f(x)单调递减; 当 x∈? ?0,2?时, ?2,+∞? 1 0≤k-1< , 2 时,f(x)单调递增.由题意知 解得 1 k+1> , 2 3 1≤k< .故选 A. 2 6.(2014·湖南)若 0<x1<x2<1,则( ) A.ex2-ex1>lnx2-lnx1 B.ex2-ex1<lnx2-lnx1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 ex 解: 设函数 f(x)=ex-lnx 且 g(x)= , 求导可得 x x (x-1)e 1 f′(x)=ex- ,g′(x)= ,因为 x∈(0,1), x x2 所以 g′(x) <0, 数形结合知函数 f(x)在(0,1)内不是 单调函数,函数 g(x)在(0,1)上单调递减,则 g(x1) ex1 ex2 >g(x2)? > ?x2ex1>x1ex2.故选 C. x1 x2 7.已知函数 f(x)=mx2+lnx-2x 在定义域内是 增函数,则实数 m 的取值范围为____________. 1 解:f′(x)=2mx+ -2,根据题意得 f′(x)≥0 在 x 1 1 (0,+∞)上恒成立, 有 m≥ - 2,x∈(0, +∞). 令 x 2x 1 1 g(x)= - 2,x∈(0,+∞),易求得 g(x)max=g(1) x 2x 1 1 1 ? = ,∴m≥ .故填? ?2,+∞?. 2 2 8.定义在 R 上的函数 f(x),其导函数 f′(x)满足 f′(x)>1,且 f(2)=3,则关于 x 的不等式 f(x)<x+1 的解集为_____________. 解:由 f′(x)>1 得 f′(x)-1>0,即[f(x)-x]′>0, 故函数 g(x)=f(x)-x 单调递增,不等式 f(x)<x+1, 即 f(x)-x<1=f(2)-2,即 g(x)<g(2),所以 x<2. 故填(-∞,2). 2 9 . (2013·辽宁) 证明:当 x∈[0 ,1]时, x 2 ≤sinx≤x. 2 2 证明: 记 F(x)=sinx- x, 则 F′(x)=cosx- . 2 2 π? 当 x∈? ?0,4?时,F′(x)>0,F(x)单调递增; π ? 当 x∈? ?4,1?时,F′(x)<0,F(x)单调递减. 又 F(0)=0,F(1)>0,所以当 x∈[0,1]时, 2 F(x)≥0,即 sinx≥ x. 2 记 H(x)=sinx-x,则 H′(x)=cosx-1. 当 x∈[0,1]时,H′(x)≤0,H(x)单调递减. 所以 H(x)≤H(0)=0,即 sinx≤x.

? ? ?

2 x≤sinx≤x,x∈[0,1]. 2 a(x-1) 10.已知函数 f(x)=lnx- ,a∈R. x+1 (1)若 x=2 是函数 f(x)的极值点, 求曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)在(0, +∞)上为单调增函数, 求a 的取值范围. 1 a(x+1)-a(x-1) 解:(1)f′(x)= - x (x+1)2 (x+1)2-2ax x2+(2-2a)x+1 = = . x(x+1)2 x(x+1)2 9 由题意知 f′(2)=0,代入得 a= ,经检验,符 4 合题意. 1 从而切线斜率 k=f′(1)=- ,切点为(1,0), 8 故切线方程为 x+8y-1=0. x2+(2-2a)x+1 (2)f′(x)= . x(x+1)2 因为 f(x)在(0,+∞)上为单调增函数, 所以 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立. 即 x2+(2-2a)x+1≥0 在(0,+∞)上恒成立. 当 x∈(0,+∞)时,由 x2+(2-2a)x+1≥0, 1 得 2a-2≤x+ . x 1 设 g(x)=x+ ,x∈(0,+∞). x 1 1 g(x)=x+ ≥2 x· =2. x x 1 所以当且仅当 x= ,即 x=1 时,g(x)有最小值 x 2. 所以 2a-2≤2,所以 a≤2.故 a 的取值范围是 (-∞,2]. 5 11.已知函数 f(x)=x3+ x2+ax+b(a,b 为常 2 数),其图象是曲线 C. (1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)设函数 f(x)的导函数为 f′(x),若存在唯一的 实数 x0,使得 f(x0)=x0 与 f′(x0)=0 同时成立,求实 数 b 的取值范围. 解:(1)当 a=-2 时, f′(x)=3x2+5x-2=(3x-1)(x+2). 1 令 f′(x)<0, 解得-2<x< , 所以 f(x)的单调递 3 1 -2, ?. 减区间为? 3? ? (2)f′(x)=3x2+5x+a,由题意知 综上,

3x +5x0+a=0, ? ? 0 ?3 5 2 ? ?x0+2x0+ax0+b=x0, 5 2 消去 a,得 2x3 0+ x0+x0-b=0 有唯一解. 2 5 令 g(x)=2x3+ x2+x,则 2 2 g′(x)=6x +5x+1=(2x+1)(3x+1), 1? ? 1 ? 所以 g(x)在区间? ?-∞,-2?,?-3,+∞?上是 1 1? 增函数,在? ?-2,-3?上是减函数, 1? 1 ? 1? 7 又 g? ?-2?=-8,g?-3?=-54, 7? 故实数 b 的取值范围是? ?-∞,-54? ∪ ?-1,+∞?. ? 8 ? (2014·新课标Ⅰ)设函数 f(x)=aexlnx x -1 be + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x y=e(x-1)+2. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)>1. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), a b - b - f′(x)=aexlnx+ ex- 2ex 1+ ex 1. x x x 由切线方程可得 f(1)=2,f′(1)=e,故 a=1, b=2. 2 - (2)由(1)知,f(x)=exlnx+ ex 1, x 2 - 从而 f(x)>1 等价于 xlnx>xe x- . e 设函数 g(x)=xlnx,则 g′(x)=1+lnx. 1 0, ?时,g′(x)<0; 所以当 x∈? ? e? 1 ? 当 x∈? ? e,+∞?时,g′(x)>0. 1? ?1 ? 故 g(x)在? ?0,e?上单调递减,在?e,+∞?上单 1? 调递增,从而 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g? ? e ?= 1 - . e 2 - - 设函数 h(x)=xe x- ,则 h′(x)=e x(1-x). e 所以当 x∈(0,1)时,h′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0. 故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调 递减, 1 从而 h(x)在(0,+∞)上的最大值为 h(1)=- . e 综上,当 x>0 时,g(x)>h(x),即 f(x)>1.

2

§3.4

定积分与微积分基本定理

1.定积分的定义 (1)如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 用分点将 区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间上任 n b?a f (? i ) . 取一点ξ i(i=1, 2, ?, n)作和式 当 n i ?1 n→∞时,上述和式无限接近于某个常数,这个常数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a , b] 上 的 定 积 分 , 记 作 n b?a f (? i ) .其中 __________,即?bf(x)dx= lim n ?a n?? i ?1

?

一般情况下,定积分?bf(x)dx 的几何意义是介

?a

?

f(x)称为__________,x 称为__________,f(x)dx 称 为__________, [a, b]为__________, a 为积分下限, b 为积分上限, “∫”称为积分号. (2) 用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法 求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似 代替、求和、__________________________. 2.定积分的性质 (1)?bkf(x)dx=____________(k 为常数);

于 x 轴、 曲线 y=f(x)以及直线 x=a, x=b 之间的曲 边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在 x 轴下方 的面积等于该区间上积分值的相反数. (4) 若 f(x) 是 偶 函 数 , 则 ?a f(x)dx =

? -a

____________(其中 a>0);若 f(x)是奇函数,则?a

?-a

?a ?a

(2)?b[f1(x)± f2(x)]dx=____________________; (3) ?b f(x)dx = _______________________( 其中

?a

a<c<b). 3.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且 F′(x)=f(x) ,那么?bf(x)dx=____________,

f(x)dx=____________(其中 a>0). 5.定积分在物理中的简单应用 (1)作变速直线运动的物体(速度函数为 V(t), 速 度方向不变)在时间区间[a,b]上所经过的路程 S= ____________. (2)在变力 F=F(x)的作用下,物体沿力 F 的方 向作直线运动,并且由 x=a 运动到 x=b(a<b),则 力 F 对物体所作的功 W=____________. (3)在变力 F=F(x)的作用下,物体沿与力 F 的 方向成 θ 角的方向作直线运动, 并且由 x=a 运动到 x = b(a < b) , 则 力 F 对 物 体 所 作 的 功 W = ____________. 自查自纠: 1.(1)?bf(x)dx 被积函数 积分变量 被积式

?a

这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布 尼兹公式.常常把 F(b)-F(a)记作__________,即 b ? f(x)dx=__________=__________.

?a

?a

4.定积分在几何中的简单应用 (1)当函数 f(x)在区间[a, b]上恒为正时, 由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)所围成的曲 边梯形(图甲中阴影部分)的面积 S=____________.

积分区间 (2)分割 取极限 2.(1)k?bf(x)dx (2)?bf1(x)dx±?bf2(x)dx

?a

?a

?a

(3)? f(x)dx+? f(x)dx 3.F(b)-F(a) F(x)|b F(b)-F(a) a 4.(1)?bf(x)dx (2)-?bf(x)dx

?a

c

?c

b

F(x)|b a 0

?a

?a

(3)? [f(x)-g(x)]dx (4)2?af(x)dx

?a

b

?0

5.(1)?bV(t)dt (2)?bF(x)dx (3)?bF(x)cosθdx (2)当函数 f(x)在区间[a, b]上恒为负时, 由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)围成的曲边 梯形(图乙中阴影部分)的面积 S=____________. (3)当 x∈[a,b]有 f(x)>g(x)>0 时,由直线 x= a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x),y=g(x)围成的 曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积 S= ____________.

?a

?a

?a

定积分?13xdx 的值为( 3 A.3 B.1 C. 2

?0

)

1 D. 2

3 3 解:?13xdx= x2|1 0= .故选 C. 2 2 ?
0

?1,0≤x<1, ? 已知函数 f(x)=? 则?2f(x)dx ? 2 , 1 ≤ x ≤ 2. ?0 ?

x2 x3 2 7 5 2 3 = |2 1- |1+lnx|1= - +ln2=ln2- . 2 3 2 3 6 x 0 0 0 x (3)? (cosx+e )dx=? cosxdx+? e dx

?-π

?-π

?-π

=(

) A.0 B.1 C .2 D.3 2 解:?2f(x)dx=?11dx+?22dx=x|1 0+2x|1=(1-

1 x 0 =sinx|0 -π+e |-π=1- π. e 点拨: 求定积分的步骤:①把被积函数变为幂函数、 正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、 积、商;②利用定积分的性质把所求的定积分化为 若干个定积分的和与差;③分别用求导公式找到 F(x),使得 F′(x)=f(x);④利用牛顿一莱布尼兹公式 求出各个定积分的值;⑤计算所求定积分的值. 计算下列定积分: (1)?2x(x+1)dx;

?0

?0

?1

0)+(4-2)=3.故选 D. 由曲线 y=x,y=x2 围成的封闭图形的面积 为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 12

?0 ?1 ?0
1

?y=x, ? 解:由? 2 得两条曲线的交点为(0,0),(1, ? ?y=x

1? x (2)?2? ?e +x?dx; (3)?π(1-cosx)dx. 解: (1) ?2 x(x + 1)dx = ?2 (x2 + x)dx = ?2 x2dx +

1 2 1 3? 1 1 x - x |0= .故选 A. 1).∴S=?1(x-x )dx=? 2 3 ? ? 6 ?
2 0

1 定积分?e dx 的值为________. ?x
1

?0

?0

?0

1 解:?e dx=lnx|e 1=lne-ln1=1.故填 1. ?x
1

以初速度 40 m/s 垂直向上抛一物体,t s 时 刻的速度(单位:m/s)为 v=40-10t,则此物体上升 的最大高度为________ m. 解:令 v=40-10t=0 得 t=4.因此最大高度为 2 4 4 ? (40-10t)dt=(40t-5t ) |0=80(m).故填 80.

xdx= x |0+ x |0 ? 3 2 ?0 1 3 ? ?1 2 ? =? ?3×2 -0?+?2×2 -0? = 14 . 3
1 1 1

2

32

1

22

1 1 2 ex+ ?dx=?2exdx+?2 dx=ex|2 (2)?2? 1+lnx|1 x ? ? x ? ? ? =e2-e+ln2. (3) ?π (1 - cosx)dx = ?π 1dx - ?π cosxdx = x| π 0- sinx|π 0=π.

?0

?0

?0

?0

类型一

计算简单函数的定积分

类型二

计算分段函数的定积分
求?2 |x+1|dx.

计算下列定积分: (1)? (x +2x+1)dx; ?
2 1 2 1 2

?-2

1 x-x2+ ?dx; (2)? ? x? ? ? (3)?0 (cosx+ex)dx. 解: (1) ?2 (x2 + 2x + 1)dx = ?2 x2dx + ?2 2xdx + 1dx= |1+x |1+x|1= . ? 3 3 ?1 1 1 x-x2+ ?dx=?2xdx-?2x2dx+?2 dx (2)?2? x ? ? ? ? ? ?x
1 1 1 1 2

?-π
x
3

? ?-x-1,-2≤x<-1, 解:∵|x+1|=? ?x+1,-1≤x≤2. ? ∴?2 |x+1|dx=?-1(-x-1)dx+?2 (x+1)dx

? -2

?-2

?-1

?1

?1

?1

1 1 ?1 2 ?2 - x2-x?|- =? -2+ 2 ? ? ?2x +x?|-1=5. 点拨: 对分段函数 f(x)求定积分, 关键是找到分段点 c b 后利用定积分性质? f(x)dx=?c f(x)dx+?bf(x)dx 求

2

22

2

19

?a

?a

?c

解.

求函数 f(x) =?

? ?2x+1,|x|≤2, ?1+x ,2<x≤4 ?
2

在区

间[-2,4]上的定积分. 解:?4 f(x)dx=?2 (2x+1)dx+?4(1+x2)dx

?-2

?-2

?2

? 1 3? 4 74. =(x2+x) |2 -2+ x+ x |2= ? 3 ? 3

如图阴影部分,由于 l 与 C 围成的图形关于 y x2 2 ? 1- ? 轴对称,所以所求面积 S=2? ? 4 ? dx = ? 1 3? 2 ? 8? 8 2? ?x-12x ?|0=2?2-12?=3.故选 C.
0

类型三 利用定积分求平面图形 的面积
求抛物线 y2=2x 与直线 y=4-x 围成 的平面图形的面积. 解:如图所示,所求面积 S=SA+SB,

类型四

定积分在物理中的简单应用

一质点在直线上从时刻 t=0 开始以速 度 v(t)=t2-4t+3(m/s)做减速运动,求质点初次减 速到 0 时经过的路程. 解:由 v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3)=0,得 t =1 或 3(舍去).所以路程 13 4 t -2t2+3t?|1 s=?1(t2-4t+3)dt=? = 0 ?3 ? 3(m). ?
0

2 ? ?y =2x, 解方程组? 得交点坐标为(2,2),(8, ?y=4-x, ?

-4). A 部分:由于抛物线的上半支方程为 y= 2x, 下半支方程为 y=- 2x,所以:
1

点拨: 物体沿直线朝一个方向运动的路程问题,只需 对速度求定积分,积分的上、下限分别是计时结束 和开始的时间. 设有一长为 25 cm 的弹簧, 若加以 100 N 的力,则弹簧伸长到 30 cm,那么将弹簧由 25 cm 拉长到 40 cm(在弹性限度内)克服弹力所作的功为 ________J. 解:设弹簧伸长 x cm,F(x)表示加在弹簧上的 力,则 F(x)=kx(k 是比例系数).依题意,100=5k, k=20. 故弹簧由 x=0 cm 到 x=15 cm 所作的功为: W=?1520xdx=10x2|15 cm)=22.5(J). 0 =2250(N·

SA=? [ 2x-(- 2x)]dx=2 2? x dx

?0

2

2 16 =2 2· x |0= . 3 3 8 B 部分:SB=? [4-x-(- 2x)]dx

3 22

?0

2 2

?2

1 2 2 3 ? 8 38 =?4x- x2+ x2 | = . 2 3 ?2 3 ? 16 38 于是 S= + =18. 3 3 点拨: 用定积分求面积的基本方法:求出交点,结合 图形求面积.应注意:对于有交叉的图形,需要分 段处理;对于具有对称性的图形,要利用对称性, 使问题简化. (2013·北京)直线 l 过抛物线 C:x2 =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形 的面积等于( ) 4 8 16 2 A. B.2 C. D. 3 3 3 ?x2=4y, ? 解:由已知得 l:y=1,解方程组? 得 ?y=1, ? 交点坐标为(-2,1),(2,1).

?0

故填 22.5.

1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到 满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x),可利用求导运算与求 原函数运算互为逆运算的关系,由基本初等函数求 导 公 式 及 导数 的 四 则运算 法 则 从 反方 向 上 求出 F(x). 2.利用定积分求曲线围成图形的面积,关键 是画出图形, 结合图形确定积分区间以及被积函数, 从而得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定 理求出积分值. 3.利用定积分解决简单的物理问题,关键是 要掌握定积分的物理意义,结合物理学中的相关内 容,将物理问题转化为定积分来解决.

1 1 3 对于③, ? f(x)g(x)dx=? x dx=0,∴③是一组正

?-1

?-1

1.?1(ex+2x)dx 等于(

?0

)

交函数.故选 C. 6 . ( 2014·江西 ) 若 f(x) = x2 + 2 ?1 f(x)dx ,则

A.1 B.e-1 C.e D.e+1 1 解:原式=(ex+x2) |0 =e,故选 C. 1 2.? |x|dx 等于( )

?0

f(x)dx=( ? ?0

1

)

?-2

3 5 A.-1 B.1 C. D. 2 2 解:?1 |x|dx=?0 (-x)dx+?1xdx

1 1 A.-1 B.- C. D.1 3 3 1 解:? f(x)dx 为常数,不妨设 a=?1f(x)dx. 则 f(x)=x2+2a,

?0

?0

?-2

?-2

?0

1 1 =- x2|0 + x2|1 2 -2 2 0 1 5 =2+ = .故选 D. 2 2 1 1 3.由直线 x= ,x=2,曲线 y= 及 x 轴所围 2 x 成图形的面积为( ) 15 17 1 A. B. C. ln2 D.2ln2 4 4 2 1 解:因为所围图形在 x 轴的上方,所以 S=∫21 x 2 1 dx=lnx|21=ln2-ln =2ln2.故选 D. 2 2 4. 从平衡位置开始, 如果 1 N 能拉长弹簧 1 cm, 为了将弹簧拉长 6 cm,需作功( ) A.0.18 J B.0.26 J C.0.12 J D.0.28 J 解:设 F(x)=kx,又 F(0.01)=1,∴k=100, 1 W= ?0.06 100xdx = 100× x2|0.06 = 0.18 J , 故选 2 0 ?
0

1 3 ?1 ∴a=?1(x2+2a)dx=? ?3x +2ax?|0, 1 1 ∴a= +2a,∴a=- .故选 B. 3 3 T 7.(2013·湖南)若? x2dx=9,则常数 T 的值

?0

?0

为________.
0

1 T T3 解:?Tx2dx= x3|0 = =9,解得 T=3.故填 3. 3 3 ? 1 8.?e dx+?2 ?x ?
1 1

4-x2dx=____________. 4-x2dx

-2

1 2 解:?e dx=lnx|e 1=lne-ln1=1,? ?x ?
2

-2

的几何意义表示 y= 4-x 对应的上半圆的面积, 1 有?2 4-x2dx= ×π×22=2π. 2 ?
-2

1 ∴?e dx+?2 ?x ?
1

4-x2dx=2π+1.故填 2π+1.

A. 5.若函数 f(x),g(x)满足?1 f(x)g(x)dx=0,则

?-1

称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数,给 出三组函数: 1 1 ①f(x)=sin x,g(x)=cos x; 2 2 ②f(x)=x+1,g(x)=x-1; ③f(x)=x,g(x)=x2. 其中为区间 [ - 1 , 1] 上的正交函数的组数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 1 解:对于 ①,?1 f(x)g(x)dx =?1 sin xcos xdx 2 2 ? ?
-1 -1

9.求抛物线 y2=x 与直线 x-2y-3=0 所围成 的平面图形的面积 S. ?y2=x, ? 解: 由? 得抛物线与直线的交点为 ? ?x-2y-3=0 P(1,-1),Q(9,3)(如图).

-2

y3 y2+3y- ?|3 ∴S=?3 [(2y+3)-y2]dy=? 3 ? -1 ?

?-1

1 1 =?1 sinxdx=- [cos1-cos(-1)]=0,∴①是一 2 2 ?
-1

组正交函数;对于 ②,?1 f(x)g(x)dx=?1 (x+1)(x

?-1

?-1

-1)dx=? (x -1)dx≠0, ∴②不是一组正交函数;

?-1

1

2

1? 32 =(9+9-9)-? ?1-3+3?= 3 . (注:此题可依照例 3 求解.) 10.有一动点 P,在时间 t 时的速度为 v(t)=8t -2t2(m/s).求从 t=0 到 t=4 时,点 P 经过的路程. 解:由 v(t)=8t-2t2=2t(4-t), 可知当 0≤t≤4 时,v(t)≥0. 2 64 4t2- t3?|4 因此,路程 S=?4(8t-2t2)dt=? 0= 3 ? ? 3 ?
0

(m). 11. 在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线

1 使之与曲线以及 x 轴所围图形的面积为 .试求切点 12 A 的坐标及过切点 A 的切线方程. 解:如图所示,

计算下列定积分的值: (1)?

(2)?2 |x2-x|dx.

?-1 ?-1

1

1-x2dx;

解:(1)被积函数 y= 1-x2,即 x2+y2=1,y ≥0.根据定积分的几何意义,所围成的图形如图所 π 示,?1 1-x2dx= . 2 ?
-1

设切点 A(x0,y0),由 y′=2x,得过点 A 的切 线方程为 y-y0=2x0(x-x0),即 y=2x0x-x2 0. x x0 0 ? 令 y=0,得 x= ,即 C? ? 2 ,0?. 2 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的 面积为 S, x0 1 x0 1 3 S 曲边△AOB= = x0, x 2 dx =3x3 0 3 0 x 1 1 1 0 x - ?·x2= x3. S△ABC= |BC|·|AB|= ? 2 2? 0 2 ? 0 4 0 1 3 1 3 1 3 1 ∴S= x0 - x0= x0= . 3 4 12 12 ∴x0=1,从而切点 A(1,1),切线方程为 y=2x -1.

(2)?2 |x2-x|dx

?-1
3

?

=?0 (x2-x)dx+?1(x-x2)dx+?2(x2-x)dx
2 x x ?0 x x ?x -x ?|2 - |-1+? - ?|1 =? + 0 ?3 2? ?2 3? ?3 2? 1

? -1

2

2

?0

3

3

?1

5 1 5 11 = + + = . 6 6 6 6

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的. 1.函数 y=xex 的导数 f′(x)等于( ) x x A.(1+x)e B.xe C.ex D.2xex x x 解:f′(x)=x′·e +x· (e )′=(1+x)ex.故选 A. 1 1? 2.过抛物线 y=x2 上一点 P? ?2,4?的切线的斜 率是( ) 3 A. B.1 C. 3 D.不存在 3 1 1 解:y′=2x,y′|x= =2× =1,所求斜率为 2 2 1.故选 B. 3. 已知函数 f(x)=lnx-x, 则函数 f(x)的单调减 区间是( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(-∞,0),(1,+∞) D.(1,+∞) 1-x 1 解:f′(x)= -1= ,x>0. x x 令 f′(x)<0,解得 x∈(1,+∞),故选 D. 4. (2014·南京学情调研)曲线 y=x+sinx 在点 (0,0)处的切线方程是( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.2x-y=0 D.2x+y=0 解:y′=1+cosx,当 x=0 时,切线的斜率 k= 2,故曲线 y=x+sinx 在点(0,0)处的切线方程是 y -0=2(x-0),即 2x-y=0.故选 C. 1 5.(2014·湖北八校第二次联考)已知 f(x)= x2 4 π ? +sin? ?2+x?,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象 是( )

π? 1 = -cosx 知 g(x)在? 排除 C.故选 ?0,3?上单调递减, 2 A. 6.定积分?4π(16-x2)dx 的值等于( )

?0

A.半径为 4 的球的体积 B.半径为 4 的四分之一球的体积 C.半径为 4 的半球的体积 D.半径为 4 的球的表面积 x3 128π 16x- ?π|4 解:?4π(16-x2)dx=? ,等于 0= 3 ? ? 3 ?
0

1 1 解: f(x)= x2 + cosx,∴ f′(x) = x - sinx ,令 4 2 g(x)=f′(x),则 g(x)为奇函数,排除 B,D;由 g′(x)

半径为 4 的半球的体积,故选 C. x-a 7.已知 x=2 是函数 f(x)= 2 的一个极值点, x 则 a 的值为( ) 4 2 A.2 B. C. D.1 3 3 x2-2x(x-a) -x2+2ax 解 : f′(x) = = = 4 x x4 -x+2a , x3 ∵f′(2)=0,∴-2+2a=0,a=1.故选 D. 8.已知函数 f(x)在 R 上可导,且 f(x)=x2+ 2xf′(2),则 f(-1)与 f(1)的大小关系为( ) A.f(-1)=f(1) B.f(-1)>f(1) C.f(-1)<f(1) D.以上答案都不对 解:∵f′(x)=2x+2f′(2), ∴f′(2)=4+2f′(2),得 f′(2)=-4, ∴f(x)=x2-8x, ∴f(-1)=9,f(1)=-7,f(-1)>f(1).故选 B. 9. 设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0), 则 f(x)在 R 上为增函数的充要条件是( ) A.b2-4ac≥0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0 解:f′(x)=3ax2+2bx+c,∵a>0,∴3a>0, 又∵f(x)在 R 上为增函数, ∴f′(x)≥0 恒成立, ∴Δ = (2b)2 - 4×3ac≤0,即 b2- 3ac≤0.故选 D. 10. (2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t) = 7 - 3t + 25 (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止,在此 1+t 期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) 11 A.1+25ln5 B.8+25ln 3 C.4+25ln5 D.4+50ln2

25 解:令 v(t)=7-3t+ =0, 1+t 8 解得 t=4,t=- (舍去), 3 在此期间汽车继续行驶的时间为 4 s,距离为 S 25 3 =?4v(t)dt=?4(7-3t+ )dt=[7t- t2+25ln(1+ 2 1+t ? ? 3 2 t)]|4 0=7×4- ×4 +25ln(1+4)=4+25ln5.故选
0 0

解: 由 y=f(x)的图象可得 y=f′(x)的大致图象如 图.

C. 2 11. 设函数 f(x)在 R 上可导, 其导函数为 f′(x), 且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x) 的图象可能是( )

f′(x)>0?x>1 或 x<-1; f′(x)<0?-1<x<1. 而 x2-2x-3>0 的解为 x>3 或 x<-1; x2-2x-3<0 的解为-1<x<3. ∴原不等式的解为 x>3 或 x<-1 或-1<x< 1. 故填(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞). 15.已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其 1 ? 中 A(0, 0), B? C(1, 0), 函数 y=xf(x)(0≤x≤1) ?2,5?, 的图象与 x 轴围成的图形的面积为________. 1 10x,0≤x≤ , 2 解: 根据题意得 f(x)= 1 -10x+10, <x≤1, 2 1 10x2,0≤x≤ , 2 从而得到 y=xf(x)= 1 -10x2+10x, <x≤1, 2 所以函数 y=xf(x)与 x 轴围成的图形面积为

解:因为函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,可 得 f′(-2)=0,且当 x∈(a,-2)(a<-2)时,f(x)单调 递减, 即 f′(x)<0; 当 x∈(-2, b)(-2<b<0)时, f(x) 单调递增, 即 f′(x)>0.所以函数 y=xf′(x)在 x∈(a, - 2)内的函数值为正, 在区间(-2, b)内的函数值为负, 由排除法可得只有选项 C 符合,故选 C. 12.(2014·南通一模)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=x+b 是曲线 y=alnx 的切线,则当 a >0 时,实数 b 的最小值是( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 a 解:设切点坐标为(x0,alnx0),因为 y′= ,所 x a 以切线斜率 =1,x0=a,又(a,alna)在直线 y=x x0 +b 上,从而 alna=a+b,所以 b=alna-a(a>0), b′=lna,令 lna=0 得 a=1,b=alna-a 在(0,1) 上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,所以当 a=1 时,bmin=-1.故选 B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 13.函数 y=lnx 的图象在(1,0)点处的切线方 程是__________________. 1 解:∵y′= ,∴y′|x=1=1. x ∴曲线在(1,0)点处的切线方程是 y-0=1· (x -1),即 x-y-1=0.故填 x-y-1=0. 14.(2014·抚顺联考)已知 R 上可导函数 f(x) 的图象如图所示, 则不等式(x2-2x-3)f′(x)>0 的解 集为________.

? ? ? ? ? ?

S= =

?

1 1 2 10 x 2 dx + 1 (?10x 2 0 2

?

? 10x)dx

10 10 3 1 5 5 5x2- x3?|11= .故填 . x |20+? 3 ? ? 3 4 4 2

16.(2014·新课标Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3-3x2 +1,若 f(x)存在惟一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的 取值范围是__________________. 解:当 a=0 时,f(x)=-3x2+1,有 2 个零点, 不合题意. 因此 a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2), 2 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x= . a 2 若 a>0,易判断 x=0 为 f(x)极大值点,x= 为 a f(x)极小值点,而 f(0)=1>0,从而 f(x)必有小于零 的零点,不合题意. 2 因此 a<0,易判断 x=0 为 f(x)极大值点,x= a 2 ? 为 f(x)极小值点,而 f(0)=1>0,从而只要 f? ?a?>0 即可. 2? 由 f? ?a?>0 及 a<0 解得 a<-2. 故填(-∞,-2).

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. x2+a 17.(10 分)函数 f(x)= (a∈R). x+1 1 (1)若 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 ,求实 2 数 a 的值; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求实数 a 的值. 2x(x+1)-x2-a x2+2x-a 解:(1)f′(x)= = , (x+1)2 (x+1)2 1 若 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 , 2 3-a 1 1 则 f′(1)= .所以 f′(1)= = ,得 a=1. 2 4 2 (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值, 3-a 则 f′(1)=0,即 =0,得 a=3,经检验,合 4 题意. 18.(12 分)已知函数 y=x3+3ax2+3bx+c 在 x =2 处有极值,且其图象在 x=1 处的切线斜率为-3. (1)求函数的单调区间; (2)求函数的极大值与极小值的差. 解:(1)∵y′=3x2+6ax+3b, 由题意得 y′|x=2=12+12a+3b=0, y′|x=1=3+6a+3b=-3, 解得 a=-1,b=0,所以 y=x3-3x2+c,y′ =3x2-6x. 令 y′>0,得 x<0 或 x>2, ∴函数的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 单调递减区间是(0,2). (2)由(1)可知函数在 x=0 处取得极大值 c, 在 x=2 处取得极小值 c-4, ∴函数的极大值与极小值的差为 c-(c-4)=4. 19.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ax-lnx,a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x2+x-lnx,x>0, 1 x- ?(x+1) 2? 1 ? 2? f′(x)=2x+1- = ,x>0. x x 1? ∵当 x∈? ?0,2?时,f′(x)≤0, 1 ? 当 x∈? ?2,+∞?时,f′(x)>0, 1? ∴f(x)的单调递减区间为? ?0,2?, 1 ? 单调递增区间为? ?2,+∞?. 2 1 2x +ax-1 (2)f′(x)=2x+a- = ≤0 在[1,2]上 x x 恒成立,

? ?h(1)≤0, 令 h(x) = 2x2 + ax - 1 , 由 ? 得 ?h(2)≤0, ? a≤-1, ? ? 7 ? 7 得 a≤-2. ?a≤-2, ? 20. (12 分)(2013·全国新课标Ⅱ)已知函数 f(x) x =e -ln(x+m),x=0 是 f(x)的极值点. (1)求 m 的值; (2)讨论 f(x)的单调性. 1 解:(1)f′(x)=ex- , x+m 1 ∵f′(0)=0,∴1- =0,得 m=1. m (2)f(x)=ex-ln(x+1),x>-1. ex(x+1)-1 1 f′(x)=ex- = . x+1 x+1 设 g(x)=ex(x+1)-1,x>-1. 由(1)知 f′(0)=0,得 g(0)=0. 因为 g′(x)=(x+2)ex>0, 所以 g(x)在(-1,+∞)上单调递增. 当 x∈(-1,0)时,g(x)<0,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0. 因此 f(x)在 (- 1,0)上单调递减,在 (0,+∞) 上单调递增. 21.(12 分)某景区为提高经济效益,现对景区 进行升级改造,经过市场调查,旅游收入增加 y 万 101 元与投入 x(x≥10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+ x 50 x -bln ,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 10 万元;当 x=20 万元时,y=35.7 万元.(参考数据: ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6). (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点升级改造后利润增加的最大值(利 润增加值=旅游收入增加值-投入). 解:(1)由条件 101 a×102+ ×10-bln1=19.2, 50

? ? 101 ?a×20 + 50 ×20-bln2=35.7.
2

1 解得 a=- ,b=1. 100 x2 101 x 则 f(x)=- + x-ln (x≥10). 100 50 10 x2 51 x (2) 设 T(x) = f(x) - x = - + x - ln 100 50 10 (x≥10). -x 51 1 (x-1)(x-50) 则 T′(x)= + - =- . 50 50 x 50x 令 T′(x)=0,得 x=1(舍)或 x=50. T(x)在[10,50)上是增函数;在(50,+∞)上是 减函数, ∴x=50 为 T(x)的极大值点.

即该景点改造升级后利润 T(x)的最大值为 T(50) =24.4 万元. 22.(12 分)(2014·北京)已知函数 f(x)=xcosx π 0, ?. -sinx,x∈? ? 2? (1)求证:f(x)≤0; π? sinx (2)若 a< <b 对 x∈? ?0,2?恒成立,求 a 的 x 最大值与 b 的最小值. 解:(1)证明:由 f(x)=xcosx-sinx 得 f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx. π? 因为在区间? 所以 f(x) ?0,2?上 f′(x)=-xsinx<0, π? 在区间? ?0,2?上单调递减. 从而 f(x)≤f(0)=0. sinx (2)当 x>0 时, “ >a”等价于“sinx-ax> x sinx 0”;“ <b”等价于“sinx-bx<0”. x 令 g(x)=sinx-cx,则 g′(x)=cosx-c. π? 当 c≤0 时,g(x)>0 对任意 x∈? ?0,2?恒成立. π? 当 c≥1 时,因为对任意 x∈? ?0,2?,g′(x)= π? cosx-c<0,所以 g(x)在区间? ?0,2?上单调递减. π? 从而 g(x)<g(0)=0 对任意 x∈? ?0,2?恒成立. π? 当 0<c<1 时, 存在唯一的 x0∈? ?0,2?使得 g′(x0) =cosx0-c=0. π? g(x)与 g′(x)在区间? ?0,2?上的情况如下: ?x0,π? x x0 (0,x0) 2? ? 0 g′(x) + - g(x) ? ? 因为 g(x)在区间[0,x0]上是增函数,所以 g(x0) π? >g(0)=0.进一步, “g(x)>0 对任意 x∈? ?0,2?恒成 π? π 2 立”,当且仅当 g? ?2?=1-2c≥0,即 0<c≤π. 2 综上所述,当且仅当 c≤ 时,g(x)>0 对任意 π π? x∈? ?0,2?恒成立;当且仅当 c≥1 时,g(x)<0 对任 π? 意 x∈? ?0,2?恒成立. π? sinx 所以,若 a< <b 对任意 x∈? ?0,2?恒成立, x 2 则 a 的最大值为 ,b 的最小值为 1. π


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