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安徽省阜阳一中2012届高三最后一卷数学文科试题


阜阳一中 2012 冲刺高考最后一卷

数学(文科)

考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每个小题给出的四 个选项中,只有一项符合题目要求的)
1、已知 i 为虚数单位,则 (A) 第一象限 所对应的点位于复平面内点 ( 1? i (B) 第二象限 (C) 第三象限

i

) (D) 第四象限 )

2、已知集合 M ? x x ? 4 ? 0?, N ? x x ? 2n ? 1, n ? Z ?,则集合 M ? N 等于(
2

?

?

(A) {-1,1}

(B) {-1,0,1}

(C) {0,1}

(D) {-1,0}

?y ? x ? 3、已知:x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为( ) ?x ? 2 ?
A.

1 2

B 、2

C.

3 2

D、

4 3


4、设 l , m, n 为三条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l ? ? , m // ? , ? ? ? , 则 l ? m C.若 l // m, m // n, l ? ? , 则 n ? ? B.若 m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n, 则 l ? ? D. 若 m // ? , n // ? , ? // ? , 则 m // n

5、已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是( 2 ? k 2k ? 1
? ?
B. (1, ??) C. (1, 2) D. ?



A. ? , 2 ?

?1 ?2

?1 ? ,1? ?2 ?


6. 、 通过随机询问 100 名性别不同的大学生是否爱好踢毪子运动, 得到如下的列联表: (

随机变量 K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,经计算,统计量 K2 的观测值 k ? 4.762 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参照附表,得到的正确结论是 ( ) A.犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

" 7、 " m=2"是"函数f ( x) ? ?3 ? mx ? x 有两个零点 的 (
2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8、两个正数 a、b 的等差中项是 的离心率 e 等于 A.

x2 y2 5 ,一个等比中项是 6 , 且a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 2 a b
( ) D.

3 2

B.

15 2

C. 13

13 3

?? ?? x ? ??0 ? x ? 4? 的图像如图所示, A 为图像与轴 2? ?4 的交点,过点 A 的直线 l 与函数的图像交于 B、C 两点, 则 OB ? OC ? OA ? ( ) A. ?8 B. ?4 C.4 D.8
9、函数 y ? tan?

?

?

10、设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,

f’ (x)g(x) + f(x)g ’ ? 0 ,且 g(-2)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的 (x)
解集是( )

( A ) (-2,0) U (2 ? ?) (C) (-?,-2) U (2 ? ?)

( B) (-2,0) U (0 2) ( D) (-?,-2) U (0 2)

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
11、已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 12、已知等比数列 {an } 中,各项都是正数,且 a1 , 则

1 a3 , 2a2 成等差数列, 2

a9 ? a10 ? a7 ? a8



π 3π 3 13、已知 α∈(2, 2 ),tan(α-7π)=-4,则 sinα+cosα 的值为 14.阅读如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值为 .

开始

s ? 0, n ? 1

n?6
15、设函数 f(x)=x-


n? 3

1 ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒 x


s ? s ? sin

输出 s 结束

成立,则实数 m 的取值范围是________

n ? n?1

三、解答题
16、 (本小题满分 12 分)设 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知

?? ? s in? A ? ? ? co sA 6? ?
(1)求角A的大小; (2)若 a ? 2 ,求 b ? c 的最大值.

17、 (本小题满分 12 分)如图(1) ,△ ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4, E、F 分别为 AC、AB 的中点,将△ AEF 沿 EF 折起,使 A1 在平面 BCEF 上的射影 O 恰好为 。 EC 的中点,得到图(2) (Ⅰ)求证: EF ? A1C ; (Ⅱ)求三棱锥 F ? A1 BC 的体积。
C B
A1

E F
C B O

A 图(1)

E F 图(2)

18. (本小题满分 12 分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图 都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.
频率
茎 叶 5 6 7 8 9 5 8 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

组距 0.04

0.028

0.016 0.008 50 60 70 80 90 100 分数

⑴求全班人数及分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数;

⑵估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高; 至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率. 19. (本小题满分 12 分)

⑶若要从分数在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求

已知数列{an}满足:a1=1, nan ?1 =2(n 十 1)an+n(n+1)( n ? N ) , ,
*

(I)若 bn ?

an ? 1 ,试证明数列{bn}为等比数列; n

(II)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn.

20.(本小题满分 13 分) 如图,在△ABC 中,|AB|=|AC|=

7 ,|BC|=2,以 B、C 为焦点的椭圆恰好过 AC 的中点 P. 2
2 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 过椭圆的右顶点作直线 l 与圆 E: (x-1) +y =2 相交于 M、 N 两点,试探究点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1∶3 的两段弧吗? 若能,求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (a ? R) . (1)讨论函数 f (x) 的单调性; (2)若函数 y ? f (x) 的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45 ,对于任意的 t ? ?1,2?,
0

函数 g ( x) ? x ? x ? f ( x) ? ? 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围; 2? ?
3 2 '

?

m?

阜阳一中 2012 冲刺高考最后一卷
一、 选择题 1~5 A ABCC 二、填空题
11、

数学(文科)答案

6~10

AADDD

?1

12、 3 ? 2 2

13、 ?

1 5

14、0

15、m<-1

16、解法一: (1)由已知有

sin A ? cos

?
6

? cos A ? sin

?
6

? cos A ,????????????2 分

故 sin A ? 3 cos A , tan A ? 3 .????????????4 分 又 0 ? A ? ? ,所以 A ? (2)由正弦定理得

?
3

.????????????6 分

b?

a ? sin B 4 a ? sin C 4 ? sin B, c ? ? sin C ,????????8 分 sin A sin A 3 3

故b ? c ?

4 3

?sin B ? sin C ? .????????????9 分

2? 2? 3 3 ? 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin ? ? B ? ? sin B ? sin ? cos B ? cos ? sin B ? sin B ? cos B 3 3 2 2 ? 3 ?

?? ? ? 3 sin ? B ? ? .????????????10 分 6? ?
所以 b ? c ? 4 sin(B ? ∴当 B ?

?
6

).

因为 0 ? B ?

2? ? ? 5? ,所以 ? B ? ? . 6 6 6 3

?
6

?

?
2

即B?

?
3

时, sin? B ?

? ?

??

? 取最大值1 , b ? c 取最大值4. ????12 分 6?

解法二: (1)同解法一. (2)由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得,

4 ? b2 ? c2 ? bc ,????????????8 分
所以 4 ? (b ? c) ? 3bc ,即 (b ? c)2 ? 3(
2

b?c 2 ) ? 4 ,???????????10 分 2

(b ? c)2 ? 16 ,故 b ? c ? 4 .
所以,当且仅当 b ? c ,即 ?ABC 为正三角形时,b ? c 取得最大值4. ????12 分 17.(I)证明:在 ?ABC 中, EF 是等腰直角 ?ABC 的中位线,EF//BC? EF ? AC 在四棱锥 A? ? BCEF 中, EF ? A E , EF ? EC , EC ? A1E ? E , 1

? EF ? 平面

A1 EC ,

又 A1C ? 平面 A1 EC , ? EF ? A1C

????????????6 分

(Ⅱ)解:在直角梯形 EFBC 中,

EC ? 2, BC ? 4 ,? S ?FBC ?

1 BC ? EC ? 4 2

又? A1O 垂直平分 EC ,? A1O ?

A1 E 2 ? EO 2 ? 3

?三棱锥 F ? A1BC 的体积为:
1 1 4 3 VF ? A1BC ? VA1 ? FBC ? S?FBC ? A1O ? ? 4 ? 3 ? 3 3 3
2 ? 25 . 0.08

??????????12 分

18.⑴由茎叶图知,分数在 ?50 , 60 ? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ?10 ? 0.08 , 全班人数为

所以分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 ?????????3 分 ⑵分数在 ?50 , 60 ? 之间的总分为 56 ? 58 ? 114 ; 分数在 ? 70 , 80 ? 之间的总分数为 分数在 ? 60 , 70 ? 之间的总分为 60 ? 7 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 6 ? 8 ? 9 ? 456 ;

70 ?10 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 747 ; 分数在 ?80 , 90 ? 之间的总分约为 85 ? 4 ? 340 ;
分数在 [90 , 100] 之间的总分数为 95 ? 98 ? 193 ; 所以,该班的平均分数为
114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 ? 74 . 25

频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高为

4 ? 10 ? 0.016 .????????7 分 25 ⑶将 ?80 , 90 ? 之间的 4 个分数编号为 1 , 2 , 3 , 4 , ?90 , 100? 之间的 2 个分数编号为
5 , 6 ,在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5? , ?1 , 6 ? ? 2 , 3? , ? 2 , 4 ? , ? 2 , 5 ? , ? 2 , 6 ? ,

? 3 , 4 ? , ? 3 , 5? , ? 3 , 6 ? ? 4 , 5? , ? 4 , 6 ? ? 5 , 6 ? 共 15 个, 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个,
故至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率是 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) nan ?1 ? 2(n ? 1)a n ? n(n ? 1) ?
9 ? 0.6 15

?????????12 分

a n?1 2a n ? ?1, n ?1 n

???2 分



an ?1 2a a ? 1 ? n ? 2 ? 2( n ? 1) ,即 bn ?1 ? 2bn , n ?1 n n
???5 分

又b1 ? 2 , 所以?b n ? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b n ? 2 ?
n

an ? 1 ? 2n ? an ? n(2n ? 1), n

???7 分

∴ Sn ? 1? (2 ? 1) ? 2 ? (22 ? 1) ? 3 ? (23 ? 1) ? K ? n(2n ? 1)

? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? K ? n ? 2n ? (1 ? 2 ? 3 ? K ? n)

? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? K ? n ? 2n ?
令 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? K ? n ? 2 ,
2 3 n

n(n ? 1) . 2

???9 分

则 2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? K ? n ? 2
2 3 4
2 3

n ?1


n ?1

两式相减得: ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? K ? 2 ? n ? 2
n

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 , 1? 2
???11 分

Tn ? 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 .
∴ S n ? (n ? 1) ? 2
n ?1

?2?

n(n ? 1) . 2

???12 分

20. 解: (Ⅰ)∵|AB|=|AC|=

7 ,|BC|=2, 2
2 2

∴|BO|=|OC|=1,|OA|= | AC | - | OC | =

49 3 5 ?1 = ??2 分 4 2

∴B(-1,0),C(1,0),A(0,

3 5 1 3 5 ),∴P( , ) 2 4 2

依椭圆的定义有:2a=|PB|+|PC|= ( ? 1) ? (
2

1 2

3 5 7 9 7 - 0) 2 + = + =4,??4 分 4 4 4 4

∴a=2,又 c=1,∴b =a -c =3

2

2

2

x2 y2 ? ∴椭圆的标准方程为 =1??6 分 4 3

(求出点 P 的坐标后,直接设椭圆的标准方程,将 P 点的坐标代入即可求出椭圆方程, 也可以给满分。 ) (Ⅱ)椭圆的右顶点 A ? 1(2,0),圆 E 圆心为 E(1, 0),半径 r= 2 .??7 分 假设点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1∶3 两段弧,则∠MEN=90°,??8 分 圆心 E(1,0)到直线 l 的距离 d=

2 r=1,当直线 l 斜率不存在时,l 的方程为 x=2,此时圆 2

心 E(1,0)到直线 l 的距离 d=1 符合)当直线 l 斜率存在时, l 的方程为 y=k(x-2), kx-y-2k=0, ( , 设 即 ∴圆心 E(1,0)到直线 l 的距离 d=

|k| k2 ?1

=1,无解.??11 分

综上:点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1∶3 的两段弧,此时 l 方程为 x=2.??13 分
f ' ( x) ? a(1 ? x) ( x ? 0) x ,

21、 (1)

????????2 分

当 a ? 0 时,f(x)的单调增区间为 (0,1] ,减区间为 [1,??) ;当 a ? 0 时,f(x)的单调增区间为

[1,??) ,减区间为 (0,1] ;当 a=0 时,f(x)不是单调函数
a f ' ( 2) ? ? ? 1 2 得 a ? ?2 , (2)

????????6 分

f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3
? 3x 2 ? (m ? 4) x ? 2 ∵ g(x)
在区间(t,3)上总不是

m g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x g ' ( x) 2 ∴ ,∴

? g ' (t ) ? 0 g ' (0) ? ?2 ∴ ?g ' (3) ? 0 ? 单调函数,且
????????10 分
? g '(1) ? 0 ? ? g '(2) ? 0 ? g '(3) ? 0 恒成立,所以, ? ,

由题意知:对于任意的

t ? ?1,2? , g ' (t ) 0 <

?


37 <m<? 9 3

????????14 分


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