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函数的值域与解析式


函数的值域与解析式

第二节

函数的值域与解析式

最新考纲:1.了解求函数值域的方法,会求一些简单函数的值域;2.会求一 些简单函数的解析式.

1.函数的值域 (1)在函数 y=f(x)中,与自变量 x 的值相对应的 y 的值叫函数值,函数值的 集合叫函数的值域. (2)基本初等函数的值域 ①y

=kx+b(k≠0)的值域是 R. ?4ac-b ? ?;当 ②y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当 a>0 时,值域为? ,+∞ ? 4a ? 4ac-b ? ? ?. a<0 时,值域为?-∞, 4a ? ? k ③y=x(k≠0)的值域是{y|y∈R 且 y≠0}. ④y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是(0,+∞). ⑤y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. ⑥y=sin x,y=cos x 的值域是[-1,1].
2 2

⑦y=tan x 的值域是 R. 问题探究:函数的值域由什么决定? 提示:函数的值域由对应关系和定义域决定. 2.函数解析式的求法 (1)换元法:若已知 f[g?x?]的表达式,求 f(x)的解析式,通常是令 g(x)=t,从 中解出 x=φ(t),再将 g(x)、x 代入已知解析式求得 f(t)的解析式,即得函数 f(x) 的解析式,这种方法叫作换元法,需注意新设变量“t”的范围. (2)待定系数法:若已知函数类型,可设出所求函数的解析式,然后利用已 知条件列方程(组),再求系数.

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?1? (3)消去法:若所给解析式中含有 f(x)、f?x?或 f(x)、f(-x)等形式,可构造另 ? ? 一个方程,通过解方程组得到 f(x). (4)配凑法或赋值法:依据题目特征,能够由一般到特殊或由特殊到一般寻 求普遍规律,求出解析式.

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的解析式相同,定义域不同,值域也一定不同.( (2)同一函数的解析式是唯一确定的.( (3)函数 y= (4)函数 y= 1 的值域为(-∞,1].( x +1
2

)

) ) ) )

1-2x 的值域为{y|y≠-2}.( x+1

(5)若 f( x)=x+1,则 f(x)=x2+1,x∈R.( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ ) (5)×

2.函数 f(x)=

3 的值域为( 3x-3

A.(-∞,-1) C.(-1,+∞) [解析]

B.(-1,0)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

由 3x-3≠0,得 x≠1,所以 3x-3>-3 且 3x-3≠0.当-3<3x-3<0

3 3 时, x <-1; 当 3x-3>0 时, x >0.故 f(x)的值域为(-∞, -1)∪(0, +∞). 3 -3 3 -3 [答案] D

3.若二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则 g(x)的解析 式为( ) B.g(x)=3x2-2x D.g(x)=-3x2-2x

A.g(x)=2x2-3x C.g(x)=3x2+2x [解析]

用待定系数法,设 g(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵g(1)=1,g(-1)=5,

?a+b+c=1, 且图象过原点,∴?a-b+c=5, ?c=0,

?a=3, 解得?b=-2, ?c=0,

∴g(x)=3x2-2x,选 B.

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[答案]

B

1 ? ?log x,x≥1, 4.(2016· 西安质检(一))函数 f(x)=? 2 ? ?2x,x<1, A.[-1,2] C.(0,+∞) [解析]

的值域为(

)

B.(-∞,2) D.(-∞,-2)

1 当 x≥1 时,f(x)=log2x≤0,当 x<1 时,f(x)=2x∈(0,2),所以该函

数的值域是(-∞,0]∪(0,2)=(-∞,2),故选 B. [答案] B

?2 ? 5.已知 f? x+1?=lg x,则 f(x)=. ? ? [解析] 2 2 2 令x+1=t,则 x= ,∴f(t)=lg . t-1 t-1 2 ,x∈(1,+∞). x-1 2 ,x∈(1,+∞) x-1

∴f(x)=lg [答案] lg

考点一

求函数的值域

求函数值域的常用方法:(1)观察法;(2)换元法;(3)配方法;(4)单调性法; (5)基本不等式法;(6)分离常数法;(7)数形结合法.

(1)求函数值域,一定要注意到定义域的范围;(2)利用换元法时,要及时确 定新变量的取值范围.

求下列函数的值域: (1)y=x2+2x(x∈[0,3]);

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(2)y=

x-3 ; x+1

(3)y=x- 1-2x; (4)y=log3x+logx3-1. [解题指导] 切入点:函数解析式的特点;关键点:采取适当的方法,如配

方法、分离常数法、换元法、单调性法等. [解] (1)(配方法)

y=x2+2x=(x+1)2-1, y=(x+1)2-1 在[0,3]上为增函数,∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]. (2)(分离常数法) x-3 x+1-4 4 y= = =1- . x+1 x+1 x+1 因为 4 4 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1

即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}. (3)解法一:(换元法) 1-t2 令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= 2 , 1-t2 1 于是 y= 2 -t=-2(t+1)2+1,
? ? 1? 1 由于 t≥0,所以 y≤2,故函数的值域是?y?y≤2? . ? ? ?

解法二:(单调性法) 1 ?1? 函数 y=f(x)为增函数,而其定义域应满足 1-2x≥0,即 x≤2,所以 y≤f?2? ? ?
? ? 1? 1 =2,即函数的值域是?y?y≤2? . ? ? ?

(4)(基本不等式法) 函数定义域为{x|x∈R,x>0,且 x≠1}. 当 x>1 时,log3x>0, 1 于是 y=log3x+log x-1≥2 3 1 log3x· log3x-1=1;

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当 0<x<1 时,log3x<0,于是 1 ? ? 1 ?? y=log3x+log x-1=-??-log3x?+?-log x??-1≤-2-1=-3. ? ? 3 ?? 3 故函数的值域是(-∞,-3]∪[1,+∞).

(1)当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考虑用分离常数 法;(2)若与二次函数有关,可用配方法;(3)若函数解析式中含有根式,可考虑 用换元法或单调性法; (4)当函数解析式结构与均值不等式有关,可考虑用均值 不等式求解;(5)分段函数宜分段求解;(6)当函数的图象易画出时,还可借助于 图象求解. [拓展探究] (1)本例中(2)变为 y= x-3 ,x∈[1,+∞)时,其值域如何求? x+1

(2)本例中(2)变为 y= [解] (1)y=

x2+3 (x>-1)时,其值域如何求? x+1

x-3 4 =1- , x+1 x+1 4 在[1,+∞)上是增函数, x+1

∵函数 y=1- ∴y≥1- (2)y=

4 =-1,故该函数的值域为[-1,+∞). 1+1

x2+3 ?x+1?2-2?x+1?+4 = x+1 x+1 4 -2, x+1

=(x+1)+

∵x>-1,∴x+1>0, ∴(x+1)+ ∴y≥2, 故该函数的值域为[2,+∞). 考点二 求函数的解析式 4 ≥2 x+1 4 ?x+1?· =4, x+1

函数的解析式是表示函数的一种方法, 对于不是 y=f(x)的形式, 可根据题目

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的条件转化为该形式.

求函数解析式时要关注定义域.

(1)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x); (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解析 式; ?1? (3)已知 f(x)满足 2 f(x)+f? x?=3x,求 f(x). ? ? [解题指导] 切入点:函数关系式的结构特点;关键点:选择恰当的方法求

解,别忽略函数的定义域. [解] (1)设 x+1=t(t≥1),则 x=t-1.

代入 f( x+1)=x+2 x, 得 f(t)=t2-1(t≥1), ∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)设 f(x)=ax+b,由题意得, 3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 即 ax+3(a+b)-2(b-a)=2x+17, ?a=2, ∴? ?5a+b=17, ∴f(x)=2x+7. 1 (3)把题目中的 x 换成 x, 3 ?1? 得 2 f? x?+f(x)= x , ? ? ?1? ? ? x?=3x, 2 f ? x ? + f ? ? ? 联立方程? 3 ?1? ?+f?x?= , 2 f ? ? ? x ? x? 3 ①×2-②得 3 f(x)=6x-x , ① ② ?a=2, ∴? ?b=7,

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1 所以 f(x)=2x- x (x≠0).

求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法, 同时要注意函数 的定义域. 对点训练 1.已知 f(1-cos x)=sin2x,求 f(x)的解析式. [解] ∵f(1-cos x)=sin2x=1-cos2x,

设 1-cos x=t(0≤t≤2),则 cos x=1-t, ∴f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t. 故 f(x)=-x2+2x(0≤x≤2). 2.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,试求 f(x)的表 达式. [解] 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

由 f(0)=0 知 c=0,f(x)=ax2+bx. 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1, ?2a+b=b+1, 1 故有? ?a=b=2. ?a+b=1, 1 1 因此,f(x)=2x2+2x. 考点三 函数的定义域、值域及解析式的综合应用

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合, 它是函数不可缺少的部 分,函数的值域是函数值的集合,它是由函数的定义域与对应关系确定,函数解 析式是表示函数的一种方法, 对于不是 y=f(x)的形式, 可根据题目的具体条件转 化为该种形式.对于求出的解析式,一定要注意定义域的变化.

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解决函数的综合问题时,一般采取“定义域优先”的原则.

(1)(2015· 山东卷 )已知函数 f(x)= ax+ b(a>0 , a≠1)的定义域和值域都是 [ - 1,0],则 a+b=. ?-x+6,x≤2, (2)(2015· 福建卷)若函数 f(x)=? , ?3+logax,x>2 (a>0,且 a≠1)的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值范围是. [解题指导] 分类讨论. [解析] (1)利用指数函数的单调性建立关于 a,b 的方程组求解.
x

切入点:指数函数、对数函数的单调性;关键点:按 a 的取值

-1 ?a +b=-1, 当 a>1 时, 函数 f(x)=a +b 在[-1,0]上为增函数, 由题意得? 0 ?a +b=0, x 无解.当 0<a<1 时,函数 f(x)=a +b 在[-1,0]上为减函数,由题意得 1 -1 ? ?a= , ?a +b=0, 3 ? 0 解得? 2 所以 a+b=-2. ?a +b=-1, ? ?b=-2, (2)当 x≤2 时,y=-x+6≥4.∵f(x)的值域为[4,+∞),

∴当 a>1 时,3+logax>3+loga2≥4,∴loga2≥1, ∴1<a≤2; 当 0<a<1 时,3+logax<3+loga2,不合题意. 故 a∈(1,2]. [答案] 3 (1)-2 (2)(1,2]

(1)对定义域、值域的综合问题,要注意定义域对函数值域的限制作用.即 在定义域内用相应方法求值域; (2)若解析式中含有参数,要注意参数对函数值 域的影响,即要考虑分类讨论; (3)解题时要注意数形结合思想的应用,即借助 图象确定函数的值域. 对点训练 1.(2016· 江西宜春期末统考)函数 y=x2-2x+3 在定义域[m,3]上的值域为

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[2,6],则 m 的取值范围是( A.(0,3] C.[-1,1] [解析]

) B.[0,3) D.[0,1]

依题意,y=(x-1)2+2,令 x2-2x+3=6 得 x=-1 或 x=3,结合

该函数的图象分析得知,m 的取值范围是[-1,1],选 C. [答案] C 2.(2016· 广东深圳第二次调研)设函数 f(x)=
x ?2 +a,x>2, ? 若 f(x)的值域为 R,则常数 a 的取值 2 ?x+a ,x≤2.

范围是(

)

A.(-∞,-1]∪[2,+∞) B.[-1,2] C.(-∞,-2]∪[1,+∞) D.[-2,1] [解析] 因为 f(x)的值域是 R, 且两段函数都是递增函数, 所以 4+a≤2+a2,

解得 a≤-1 或 a≥2,故选 A. [答案] A

3.若函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 b-a 的最小值为. [解析] 1 令 f(x)=0,得 x=1;令 f(x)=1,得 x=3或 3.因为 f(x)在(0,1)上为减

1 2 函数,在(1,+∞)上为增函数,所以 b-a 的最小值为 1-3=3. 2 [答案] 3 ———————方法规律总结———————— [方法技巧] 1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数 性质的基础,要树立函数定义域优先意识. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围.利用函 数几何意义,数形结合可求某些函数的值域. [易错点睛]

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1. 利用配方法、 判别式法、 基本不等式求值域时, 一定注意等号是否成立, 必要时注明“=”成立的条件. 2.利用换元法求函数解析式时,切记新元的范围即为函数的定义域.

课时跟踪训练(五) 一、选择题
x ?2 ,x≤0, 1.已知函数 f(x)=? 则 f(5)等于( ?f?x-3?,x>0,

)

A.32 1 C.2

B.16 1 D.32

1 [解析] f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=2-1=2,故选 C. [答案] C 2.(2016· 济南质检)函数 y= ( ) ?1 ? A.(-∞,0)∪?2,2? ? ? 1? ? C.?-∞,2?∪[2,+∞) ? ? [解析] B.(-∞,2] D.(0,+∞) 2 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是 x-1

∵x∈(-∞,1)∪[2,5),

则 x-1∈(-∞,0)∪[1,4). ∴ 2 ?1 ? ∈(-∞,0)∪?2,2?. ? ? x-1 A )

[答案]

3.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 [解析] 只有 C 不满足,

B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

∵f(2x)=2x+1,而 2f(x)=2x+2,

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∴f(2x)≠2f(x). [答案] C 4.(2016· 北京东城第一学期联考)若函数 f(sin x)=3-cos 2x,则 f(cos x)= ( ) A.3-cos 2x C.3+cos 2x B.3-sin 2x D.3+sin 2x

[解析] f(sin x)=3-cos 2x=2+2sin2x, 所以 f(cos x)=2+2cos2x=3+cos 2x. [答案] C 5.(2015· 河北唐山期中)下列函数中,值域是(0,+∞)的是( A.y= 1 5-x+1 B.y= ?1?x ?2? -1 ? ? )

?1? C.y=?3?1-x ? ? [解析]

D.y= 1-2x

A 项,因为 5-x+1>1,所以函数值域为(0,1);B,D 项的函数值域

为[0,+∞);C 项,因为 1-x∈R,根据指数函数的性质可知函数的值域为 (0, +∞),故选 C. [答案] C 6.已知函数 f(x)= 4 -1 的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则 |x|+2 ) B.4 个 D.6 个 当 x≥0 时,函数 f(x)= 4 4 -1,令 f(x)=0 即 -1=0,解得 x x+2 x+2

满足条件的整数数对(a,b)共有( A.3 个 C.5 个 [解析]

=2;令 f(x)=1 即

4 -1=1,解得 x=0,易知函数在 x>0 时为减函数,又由此 x+2

函数为偶函数,得到 x<0 时的图象是由 x>0 时的图象关于 y 轴对称得来的,所以 函数的图象可画为如图,根据图象可知满足条件的整数数对有(-2,0),(-2,1), (-2,2),(0,2),(-1,2),共 5 个,故选 C.

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[答案] C
2 ?1+x? x +1 1 ?= 2 + ,则 f(x)=( 7.(2015· 湖南衡阳六校联考)已知 f? x x ? x ?

)

A.(x+1)2 C.x2-x+1

B.(x-1)2 D.x2+x+1

2 x+1 ?1+x? x +1 1 ?x+1?2 x+1 ?= 2 + =? ?- [解析] f? +1, 令 x =t, 得 f(t)=t2-t+1, x x x x x ? ? ? ?

即 f(x)=x2-x+1. [答案] C 8.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若存在实数 a 使 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( ) B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3]

[解析] f(a)的值域为(-1, +∞), 由-b2+4b-3>-1 解得 2- 2<b<2+ 2. [答案] B sin x 的值域是( 2-cos x )

9.(2015· 浙江十二校二联)函数 f(x)= ? 3 3? A.?- , ? 3? ? 3 C.[-2,2] [解析] 解法一: 令 y=

B.[-1,1] D.[- 3, 3] sin x , 则有 y(2-cos x)=sin x, sin x+ycos x=2y, 2-cos x

y ? sin x ? 1 y ? 1+y2· =cos θ, =sin θ,于是 2+ 2cos x?=2y,再令 2 1+y ? 1+y ? 1+y 1+y2 有 1+y2(sin xcos θ+cos xsin θ)=2y,sin(x+θ)= 2y ,又|sin(x+θ)|≤1,因此 1+y2

? 2y ? 3 3 sin x 2 2 2 1 有? ≤y≤ 3 ,即函数 f(x)= 的 2?≤1,(2y) ≤y +1,y ≤ ,故- 3 3 1 + y 2 - cos x ? ?

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? 3 3? 值域是?- , ?,故选 A. 3 3 ? ? 解法二:可以看成过 A(2,0),B(cos x,-sin x)两点直线的斜率,B 点在单位 圆上运动.如图:

3 3 ? 3 3? 易求得 k1=- 3 ,k2= 3 .∴y∈?- , ?. 3? ? 3 [答案] A

2 ?x ,|x|≥1, 10. (2015· 浙江温州十校联考)设函数 g(x)是二次函数, f(x)=? 若 ?x,|x|<1,

函数 f[g(x)]的值域是[0,+∞),则函数 g(x)的值域是( A.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.(-∞,-1]∪[0,+∞) [解析]

)

B.[0,+∞) D.[1,+∞)

2 ?x ,|x|≥1, 由 f(x)=? 知|x|≥1 时,f(x)≥1;|x|<1 时,-1<f(x)<1. ?x,|x|<1,

4ac-b2 4ac-b2 而 g(x)是二次函数,则 g(x)≥ 4a 或 g(x)≤ 4a ,只有 g(x)的值域是[0,+ ∞)时,满足条件,故选 B. [答案] B

二、填空题 11.(2015· 合肥模拟)函数 y= 1-x 的值域为. 2x+5

[解析]

1-x y= = 2x+5

1 7 -2?2x+5?+2 2x+5

7 2 1 =-2+ . 2x+5

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函数的值域与解析式

7 2 1 ∵ ≠0,∴y≠-2, 2x+5
? 1-x 1? ∴函数 y= 的值域为?y|y≠-2?. 2x+5 ? ?

[答案]

? 1? ?y|y≠- ? 2? ?

12.若函数 y=log2(ax2+2x+1)的值域为 R,则 a 的取值范围为. [解析] 设 f(x)=ax2+2x+1, 由题意知, f(x)取遍所有的正实数. 当 a=0 时,

?a>0, f(x)=2x+1 符合条件; 当 a≠0 时, 则? 解得 0<a≤1.所以 0≤a≤1. ?Δ=4-4a≥0, [答案] [0,1] 13. 定义在区间(-1,1)上的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1), 则函数 f(x) 的解析式为. [解析] 对任意的 x∈(-1,1),有-x∈(-1,1),因为 2f(x)-f(-x)=lg(x+1) ②, 联立①②整理得 3f(x)=2lg(x

①, 用-x 代替 x, 则 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1)

2 1 +1)+lg(1-x),所以 f(x)=3lg(x+1)+3lg(1-x)(-1<x<1). 2 1 [答案] f(x)=3lg(x+1)+3lg(1-x)(-1<x<1) 三、解答题 14.求下列函数的值域: (1)y= 1-x2 ; 1+x2

(2)y= -2x2+x+3; 1 (3)y=x+ x +1; (4)y=x+ 4-x2. [解] (1)y= 1-x2 -1-x2+2 2 =-1+ . 2= 2 1+x 1+x 1+x2

2 2 由 1+x2≥1,得 0< ≤2,所以-1<-1+ ≤1. 1+x2 1+x2 故函数的值域为(-1,1].

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函数的值域与解析式

(2)y= -2x2+x+3=

1 25 -2?x-2?2+ 8 .

5 2 ? 1? 25 25 由 0≤-2?x-2?2+ 8 ≤ 8 ,得 0≤y≤ 4 . ? ? 5 2 故函数的值域为[0, 4 ]. 1 (3)当 x>0 时,x+ x≥2,当且仅当 x=1 时取等号, 1 所以 x+x +1≥3; 1? 1 1 ? 当 x<0 时,x+ x =-?-x+ x?≤-2,当且仅当 x=-1 时取等号,所以 x+ x ? ? +1≤-1. 故函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞). (4)设 x=2cos θ(0≤θ≤π),则 y=x+ 4-x2 π =2cos θ+ 4-4cos2θ=2cosθ+2sin θ=2 2sin(θ+4) π π 5π 2 π 由 0≤θ≤π,得4≤θ+4≤ 4 ,所以- 2 ≤sin(θ+4)≤1, -2≤y≤2 2,故函数的值域为[-2,2 2]. 15.已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)= 2bx (a≠0), f(1)=1,且使 f(x)=2x 成立 ax-1

的实数 x 只有一个,求函数 f(x)的解析式. [解] 2bx 由 f(x)= (a≠0), f(1)=1,得 a=2b+1① ax-1

2bx 又 f(x)=2x 只有一个解,即 =2x 只有一个解,也就是 2ax2-2(1+b)x ax-1 2x =0(a≠0)只有一个解,所以 b=-1,代入①中得 a=-1,所以 f(x)= . x+1 16.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a、b 是常数,且 a≠0)满足条件:f(2)=0, 且方程 f(x)=x 有两个相等实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m、 n(m<n), 使 f(x)的定义域和值域分别为[m, n]和[2m,2n]? 如存在,求出 m、n 的值;如不存在,说明理由.

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[解]

(1)方程 f(x)=x,即 ax2+bx=x,

亦即 ax2+(b-1)x=0, 由方程有两个相等实根,得 Δ=(b-1)2-4a×0=0, ∴b=1.① 由 f(2)=0,得 4a+2b=0,② 1 1 由①、②得,a=-2,b=1,故 f(x)=-2x2+x. (2)假设存在实数 m、n 满足条件,由(1)知, 1 1 1 1 f(x)=- x2+x=- (x-1)2+ ≤ , 2 2 2 2 1 1 则 2n≤2,即 n≤4. 1 1 ∵f(x)=-2(x-1)2+2的对称轴为 x=1, 1 ∴当 n≤4时,f(x)在[m,n]上为增函数. ?f?m?=2m, 于是有? ?f?n?=2n, ?m=-2或m=0, ∴? ?n=-2或n=0. ?m=-2, 1 又 m<n≤4,∴? ?n=0. 故存在实数 m=-2,n=0, 使 f(x)的定义域为[m,n],值域为[2m,2n]. 1 2 - ? ? 2m +m=2m, 即? 1 2 ? ?-2n +n=2n,

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