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高二数学三角函数的图象与性质1


三角函数的图象与性质
(一)知识要点 1 正弦、余弦、正切函数的图像和性质 y ? sin x y ? cos x 定义域 值域 周期性 奇偶性
[?

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

R
[?1,?1]

/>R
[?1,?1]

2?

2?

R ?

奇函数

?
2

? 2k? ,

偶函数 奇函数 [?2k ? 1?? , ? ? ? ? ; ? ? ? k? , ? k? ? 2 2k? ] ? 2 ? 上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 (k?Z ) 上 为 增 函 数 (k?Z )

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

?

2 3? ? 2k? ] 2

? 2k? ,

上为减函 数 k?Z ) (

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

y=cosx
o
3? 2 ? ? 2 2? 5? 3? 2 7? 2 4?

y
? -? - 2 -2? -3? 2

1 -1
y

x

-5? -3? 2 -4? -7? 2

1 o -1
? 2

3? ? 2 2? 5? 2

7? 3? 2 4?

x

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图像和性质 y

x

(1)定义域 (3)周期性 (5)单调性 (二)学习要点 1 会求三角函数的定义域 2 会求三角函数的值域

(2)值域 (4)奇偶性

3 会求三角函数的周期 :定义法,公式法,图像法。如 y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? . 4 会判断三角函数奇偶性 5 会求三角函数单调区间 6 对 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 函数的要求 (1)五点法作简图 (2)会写 y ? sin x 变为 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的步骤 (3)会求 y ? A sin(? x ? ? ) 的解析式 (4)知道 y ? A cos(? x ? ? ) , y ? A tan(? x ? ? ) 的简单性质 7 知道三角函数图像的对称中心,对称轴 8 能解决以三角函数为模型的应用问题 (三)例题讲解 例 1 求函数 y ? ? tan(2 x ?

3? ) 的定义域,周期和单调区间。 4

例 2 已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

)

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间; (6)若 x ? [0,

3? ] ,求 f ( x) 的取值范围; 4

(7)求函数 f ( x ) 的对称轴与对称中心; (8)若 f ( x ? ? ) 为奇函数, ? ? [0, 2? ) ,求 ? ;若 f ( x ? ? ) 为偶函数, ? ? [0, 2? ) ,求 ? 。

例 3.1) ( 将函数 y ?

1 ? 1 sin(2 x ? ) 的图象向______平移_______个单位得到函数 y ? sin 2 x 的 2 4 2

图象(只要求写出一个值) (2)要得到 y ?

1 ? ? ? cos(2 x ? ) 的图象,可以把函数 y ? sin( x ? ) cos( x ? ) 的图象向______ 2 4 6 6
2

平移_______个单位(只要求写出一个值). 例 4.设 x ? R ,函数 f ( x) ? cos (? x ? ? ) ? 且 f( )?

?

1 ? (? ? 0, o ? ? ? ) ,已知 f ( x) 的最小正周期为 ? , 2 2

8

1 . (1)求 ? 和 ? 的值; 4

(2)求的单调增区间.

例 5.如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b (1)求这段时间的最大温差 y 温度/0C (2)写出这段曲线的函数解析式
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30 20 10 时间/h 6 10 14

o
(四)练习题 一、选择题 1.将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象向左平移 象所对应函数的解析式是 A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ?

x

? 个单位,平移后的图象如图所示,则平移后的图 6
?
6 ) )

?

?
3

6

) )

B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2 x ?

?
3

2.设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? 正确的是 A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 3.函数 y=1+cosx 的图象 (A)关于 x 轴对称 (C)关于原点对称

sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论 sin x
B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值 (B)关于 y 轴对称 (D)关于直线 x=

4.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ?

? ?
3
,

? 对称 2

4

]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于

A.

2 3

B.

3 2

C.2

D.3

5.设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最 小值
? ,则 f (x) 的最小正周期是 4

A.2π

B. π

C.

? 2

D. )

? 4

6.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a=( (A)0 (B)1 (C)-1

(D)±1

x ? 7 为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点 3 6

(A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移

? ? ?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3 6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

(D)向右平移 8.已知函数 f ( x) ? (A) ??1,1?

?
6

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是 2 2

(B) ? ?

? ?

2 ? ,1? 2 ?

(C) ? ?1,

? ?

2? ? 2 ?


(D) ? ?1, ?

? ?

2? ? 2 ?

9.函数 y ?| sin( x ? 3) | 的最小正周期是( A.

1 2

π 2

B. π

C. 2π

D. 4π

10.函数 f ? x ? ? tan ? x ?

? ?

??

? 的单调增区间为 4?
B. k? , ? k ? 1? ? , k ? Z

A. ? k? ?

? ?

?
2

, k? ?

??

?,k ? Z 2?

?

?

C. ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? , k ? Z 4 4?

D. ? k? ?

? ?

?
4

, k? ?

3? 4

? ?,k ? Z ?

11.下列函数中,图象的一部分如右图所示的是

(A) y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(C) y ? cos ? 4 x ?

? ?

??
? 3?

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

12.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、b 为常数,a ? 0 , x ? R )在 x ? 则函数 y ? f (

?
4

处取得最小值,

3? ? x) 是( 4

) B.偶函数且它的图象关于点 (

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 (

3? ,0) 对称 2

3? ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

13 设 ?,? ? ? ? , ? ,那么“ ? ? ? ”是“ tan ? ? tan ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 14.函数 y= B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? π π? ? 2 2?



1 2 sin2+4sin x,x ? R 的值域是 2
(B) [-

(A) [-

1 3 , ] 2 2

3 1 , ] 2 2

(C) ? [

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

(D) ? [

2 1 2 1 ? , ? ] 2 2 2 2

二、填空题 15. y ? sin( ? x ?

?
4

) 在 x ? [0, 2? ] 的增区间是

16.满足 2 ? 2cos x ? 0( x ? R) 的 x 的集合是 17. y ? 8sin( ?

x 4

?
8

) 的振幅,初相,相位分别是

18. tan x ? 1 ,且 x 是直线的倾斜角,则 x? 19.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? __。

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值是__ , ? 3 4? ?

? ? 20.若 f ( x) ? a sin(x ? ) ? 3 sin(x ? ) 是偶函数,则 a= . 4 4 21.如图,一个半径为 10 米的水轮按逆时针方向每分钟转 4 圈记 水轮上的点 P 到水面的距离为 d 米(P 在水面下则 d 为负数) ,则 d (米)与时间 t (秒)之间满足关系式:

d ? A sin ??t ? ? ? ? k ? A ? 0, ? ? 0 ? , ?

?
2

?? ?

?
2

,且当 P 点

从水面上浮现时开始计算时间,有以下四个结论: (1) A ? 10 ; ? 2 ? ? ?

2? ? ; ? 3? ? ? ; 15 6

? 4? k ? 5 ,则其中所有正确结论的序号是
三.解答题 22 设函数 y ? 3cos(2 x ?



?
3

)

(1)用“五点法”作出在一个周期内的简图; (2)写出它可由 y ? cos x 的图像经怎样的变化得到。

23 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图像关于直线 x ? ?

?
6

对称,求 a 的值。

24 已知 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? a ( a ? R 是常数 (1)若 f ( x ) 的定义域为 R ,求 f ( x ) 的单调增区间; (2)若 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值。

25 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 低点为 (8, ?4) 。求函数解析式。

?
2

) 在同一个周期上的最高点为 (2, 2) , 最

26 已知某海滨浴场的海浪高度 y(米) 是时间 t( 0 ? t ? 24 , 单位小时) 的函数, 记作:y ? f (t ) 下表是某日各时的浪高数据:

t 时 y 米

0 1. 5

3 1. 0

6 0. 5

9 1. 0

12 1. 5

15 1

18 0. 5

21 0.9 9

24 1. 5

经长期观测, y ? f (t ) 的曲线可近似地看成是函数 y ? A cos ?t ? b 。 (1)根据以上数据,求函数的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放。由(1)的结论,判断一天内的 上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

27 已知函数 f(x)=A sin 2 (? x ? ? ) (A>0, ? >0,0< ? < 邻两对称轴间的距离为 2,并过点(1,2). (1)求 ? ; (2)计算 f(1)+f(2)+? +f(2 008).

? 函数,且 y=f(x)的最大值为 2,其图象相 2

三角函数的图象与性质答案 例 1. 定义域 x ? 例 2 .(1) R 合 为 {x | x ?

k? 5? ? k? ? k? 5? ? ? , ? ) ,周期 ,单调减区间 ( 2 8 2 2 8 2 8
(2) [?2 , 2] (3) T ? ? (4) f (x) 的最大值为 2,此时 x 的取值集

3? ? k? , k ? Z } ; f (x) 的 最 小 值 为 -2 , 此 时 x 的 取 值 集 合 为 8 ? ? 3? {x | x ? ? ? k? , k ? Z } ; 5 ) f (x) 的 增 区 间 [? ? k? , ? k? ] ; f (x) 的 减 区 间 ( 8 8 8 3? 7? 3? k? [ ? k? , ? k? ] 。 ? , k ? Z ;对称中心 (6)[? 2 , 2] (7) f (x) 的对称轴为 x ? 8 8 8 2 ? 5? 9? 3? ? k? 13? ( ? ,0), k ? Z 。 当 ? ? , (8) 或 , 或 , 或 , f ( x ? ? ) 为奇函数; ? ? 当 , 8 8 8 8 8 2 8 7? 11? 15? 或 ,或 ,或 , f ( x ? ? ) 为偶函数。 8 8 8 7? ? 例 3. (1)向左平移 个单位; (2)向左平移 个单位。 24 8 ? 13? ? , k? ? ](k ? Z ) 例 4. (1) ? ? 1 ? ? (2) [k? ? 24 24 24
例 5.解 (1)由图示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃); (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象
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1 2? ? =14-6,解得ω= , ? 2 ? 8 1 1 ? 由图示 A= (30-10)=10,b= (30+10)=20,这时 y=10sin( x+φ)+20,将 x=6,y=10 代入上式 2 2 8 3 可取φ= π 4 3 ? 综上所求的解析式为 y=10sin( x+ π)+20,x∈[6,14] 4 8

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一、选择题 1. 解:将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象向左平移

7? ? 3? ? ? )? y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知, ? ( , 12 6 2 6 所以 ? ? 2 ,因此选 C。
2.解:令 t ? sin x, t ? (0,1] ,

? 个单位,平移后的图象所对应的函数为 6

则函数 f ? x ? ?

sin x ? a a (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,又 a ? 0 ,所以 sin x t

a y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B。 t
3. 解:函数 y=1+cos 是偶函数,故选 B 4. 解:函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则ωx 的取值范围是 , ? 3 4? ?

3 ?? ? ?? 3? ? ?? ?? ? ≤? 或 ≥ , ∴ ? ,∴ ? 的最小值等于 ,选 B. ? , ? 3 4 ? 2 3 2 4 2 ? ?
5. 解析:设点 P 是函数 f ( x) ? sin?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的 距离的最小值

? ,∴ 最小正周期为π,选 B. 4

6.解法 1 由题意可知, f ( x) ? ? f (? x) 得 a=0 解法 2:函数的定义域为 R,又 f(x)为奇函数,故其图象必过原点即 f(0)=0,所以得 a=0, 解法 3 由 f(x)是奇函数图象法函数画出 f ?x? ? sin x ? a , x ? R 的图象选 A 7.先将 y ? 2 sin x, x ? R 的图象向左平移 得到函数 y ? 2sin( x ?

?
6

? 个单位长度, 6

), x ? R 的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵 x ? ? ), x ? R 的图像,选择 C。 3 6

坐标不变)得到函数 y ? 2 sin( 8. 解: f ( x) ?

?cos x(sin x ? cos x) 1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? ? 2 2 ?sin x(sin x ? cos x)

即等价于 {sin x,cos x}min ,故选择答案 C。 9. 解: y ? sin( x ? 3) 的 T ?

1 2

2? ? 4? ,选 C 1 2

10. 解:函数 f ? x ? ? tan ? x ?

? ?

??

? 的单调增区间满足 k? ? ? x ? ? k? ? , 4? 2 4 2

?

?

?

∴ 单调增区间为 ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? , k ? Z ,选 C. 4 4?

1 ? ? ? ? ? ,所以函数的最小 T= 4 12 6 4 ? 正周期为π,函数应为 y= sin 2x 向左平移了 个单位,即 6 ? ? ? ? ? y ? sin 2( x ? ) = sin(2 x ? ) ? cos(? ? 2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,选 6 3 2 3 6
11. 解析:从图象看出, D. 12. 解: 函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (a 、b 为常数, a ? 0, x ? R) , ∴ f ( x) ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) 的 周期为 2π,若函数在 x ?

?

4 3? 3? 3? 3? y ? f ( ? x ) = sin( ? x ? ) ? sin x ,所以 y ? f ( ? x ) 是奇函数且它的图象关于点 4 4 4 4

处 取 得 最 小 值 , 不 妨 设 f ( x) ? sin( x ?

3? ) ,则函数 4

(? ,0) 对称,选 D.
13. 解析:在开区间 ( ?

? ?

, ) 中,函数 y ? tan x 为单调增函数,所以设 ? , ? ? ( ? , ), 那么 2 2 2 2

? ?

"? ? ? " 是 "tan ? ? tan ? " 的充分必要条件,选 C.
14. 解析: y ?

1 1 1 1 2 ? ?? 1 sin 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? ? sin? 2 x ? ? ? ,故选择 C。 2 2 2 2 2 4? 2 ?

本题是求有关三角函数的值域的一种通法,即将函数化为 y ? A sin ??x ? ? ? ? b 或 y ? A cos??x ? ? ? ? b 的模式。 二、填空题 15. [0, ? ] ? [ ? , 2? ] 17. 8,

3 4

?

?
8

7 4
,

16. {x | 2k? ? 18.

?
4

? x ? 2 k? ?

x ? ? 4 8

? 3 [0, ] ? [ ? , 2? ) 4 4

5? ,k ? Z } 4

19. 解:函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最小值是 ?2 ,则ωx 的取值范围是 , ? 3 4? ?

3 ?? ? ?? 3? ? ?? ?? ? ? ? 3 , 4 ? , ∴ ? 3 ≤ ? 2 或 4 ≥ 2 ,∴ ? 的最小值等于 2 . ? ?
20.解析: f ( x) ? a sin( x ?

? ? 2 2 2 2 ) ? 3sin( x ? ) ? a( sin x ? cos x) ? 3( sin x ? cos x) 是偶 4 4 2 2 2 2

函数,取 a=-3,可得 f ( x) ? ?3 2 cos x 为偶函数。 21.(1) (2) (4)

三.解答题 22(2) y ? cos x 左移

1 ? ? ? 个单位得 y ? cos( x ? ) 横坐标变为 倍得 y ? cos(2 x ? ) 2 3 3 3

纵坐标变为 3 倍得 y ? 3cos(2 x ?

?
3

)

23 a ? ?

3 3

24(1) [k? ? 25 y ? 3sin(

?

?

, k? ? ](k ? Z ) 3 6

?

(2) a ? 1

x ? ) ?1 6 6

?

26 (1)由表知 T ? 12 ,? ? ? 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5

2? ? ? T 6
所以 A=0.5,b=1,? A ?

由 t=3,y=1.0,得 b=1.0

?y ?

1 ? cos t ? 1 2 6

1 2

(2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放.

1 ? ? ? ? ? ? cos t ? 1 ? 1 ,? cos t ? 0 ? 2k? ? ? t ? 2k? ? 2 6 6 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3 因为 0 ? t ? 24 ,故 k 分别为 0,1,2,得 0 ? t ? 3 或 9 ? t ? 15 或 21 ? t ? 24
所以在规定时间内,有 6 个小时可供冲浪者运动,即上午 9:00 至下午 15:00.

A A ? cos(2? x ? 2? ). 2 2 A A ? y ? f ( x) 的最大值为 2, A ? 0 .? ? ? 2, A ? 2. 2 2 1 2? ? ) ? 2, ? ? . 又? 其图象相邻两对称轴间的距离为 2, ? ? 0 ,? ( 2 2? 4 2 2 ? ? ? f ( x) ? ? cos( x ? 2? ) ? 1 ? cos( x ? 2? ) . 2 2 2 2
27. 解: (I) y ? A sin (? x ? ? ) ?
2

? y ? f ( x) 过 (1, 2) 点,? cos( ? 2? ) ? ?1. 2
?

?

?

2

? 2? ? 2k? ? ? , k ? Z , ? 2? ? 2k? ?

?

又? 0 ? ? ?

?
2

, ?? ?

?
4

2

, k ? Z , ?? ? k? ?

?
4

,k ? Z,

.

(II)解法一:? ? ?

?
4

,? y ? 1 ? cos(

?

x ? ) ? 1 ? sin x. 2 2 2

?

?

? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 .
又? y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,

? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.
解法二:? f ( x) ? 2sin (
2

?

f (2) ? f (4) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 (? ? ? ) ? 2, ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 4. 2
又 y ? f ( x) 的周期为 4, 2008 ? 4 ? 502 ,? f (1) ? f (2) ? ??? ? f (2008) ? 4 ? 502 ? 2008.

?

? 3? x ? ? ) ? f (1) ? f (3) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 2, 4 4 4


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高二数学三角函数的图象与性质1
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100测评网高二数学《1.4 三角函数的图像与性质》一课一练1
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