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28苏南四校2012-2013学年高三(上)12月月考数学试卷


2012-2013 学年江苏省苏南四校高三(上)12 月月考数学试卷 一、填空题 1. 分)已知集合 A={sin90°,cos180°},B={x|x +x=0},则 A∩B= (5
2

{﹣1} .

考点: 交集及其运算. 分析: 首先化简集合 A 和 B,然后根据交集的定义得出结果. 解答: 解:∵集合 A={sin90°,cos180°}={1,﹣1} 2 B={x|x +x=0}={0,﹣1} ∴A∩B={﹣1} 故答案为:{﹣1}. 点评: 此题考查了交集的定义,正确化简集合 A 和 B 是解题的关键,属于基础题. 2. 分)不等式 ax +bx+c>0 的解集是(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) (5 ,则 a:b:c= 1:3: 2 . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用一元二次不等式的解集与相应的方程的实数根之间的关系即可得出. 2 解答: 解:∵不等式 ax +bx+c>0 的解集是(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) , 2 ∴a>0,且﹣2,﹣1 是方程 ax +bx+c=0 的解,
2



,解得 b=3a,c=2a>0,

∴a:b:c=1:3:2. 故答案为 1:3:2. 点评: 熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的方程的实数根之间的关系是解题的关键. 3. 分)设复数 z=(a ﹣a)+2ai(a∈R)为纯虚数,则 a= 1 . (5 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 2 分析: 给出的复数 z=(a ﹣a)+2ai(a∈R)为纯虚数,则该复数的实部等于 0 且虚部不等于 0,然后列式计算 a 的值. 解答: 2 解:由复数 z=(a ﹣a)+2ai(a∈R)为纯虚数,则 ,解得:a=1. 故答案为 1. 点评: 本题考查了复数的基本概念, 复数为纯虚数的充要条件是实部等于 0 且虚部不等于 0, 此题是基础题.
2

4. 分)函数 y= (5

的定义域为 (

]



1

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 求已知函数的定义域,则需要根式内部的对数式大于等于 0,然后运用对数函数的单 调性去掉对数符号求解关于 x 的一次不等式即可,要注意保证对数式的真数大于 0. 解答: 解:要使原函数有意义,则 , 即 ,

因为函数

为减函数,所以,0<3x﹣1≤1,所以,



所以,原函数的定义域为 故答案为 .



点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了对数不等式的解法,解答此题的关键是熟 练对数函数的单调性,解答此题时学生易忽略真数大于 0 而导致解题出错,此题是基 础题. 5. 分) (5 (2011?江苏模拟)已知 α、β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线, 则“α⊥β”是“m⊥β”的 必要不充分 条件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与 平面之间的位置关系. 分析: 直线和平面垂直,平面和平面垂直的判定,二者的关系搞清楚, 解答: 由平面与平面垂直的判定定理知, 为平面 α 内的一条直线, 解: m 如果 m⊥β, α⊥β; 则 反过来 m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”可能有 m∥β,m∩β=p,可能有 m⊥β 三 种情况. 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 故答案为:必要不充分 点评: 考查定理的理解,分析问题时:考虑要全面,有时可以借助实物,动手动脑,简化问 题. 6. 分)200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50, (5 60]的汽车大约有 60 辆.

2

考点: 频率分布直方图. 专题: 图表型. 分析: 由已知中的频率分布直方图为 200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方 图,我们可得到样本容量,再由图中分析出时速在[50,60]的频率,即可得到该组数 据的频数,进而得到答案. 解答: 解:由已知可得样本容量为 200, 又∵数据落在区间的频率为 0.03×10=0.3 ∴时速在[50,60]的汽车大约有 200×0.3=60 故答案为 60 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方图,其中根据已知中的频率分布直方图结合频率= 矩形高×组距计算各组的频率是解答此类问题的关键. 7. 分)已知某算法的流程图如图所示,则输出的结果是 5 . (5

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 框图首先给变量 a 和 b 赋值,然后执行用 a+b 替换 c,用 b 替换 a,用 c 替换 b,再判 断 b<5 是否成立,成立则继续进入循环,不成立则输出 c 的值. 解答: 解:框图首先给变量 a、b 赋值,a=1,b=2; 然后用 a+b=1+2=3 替换 c,用 2 替换 a,用 3 替换 b,判断 3<5 成立; 执行用 a+b=2+3=5 替换 c,用 3 替换 a,用 5 替换 b,判断 5<5 不成立; 则算法结束,输出 c 的值为 5. 故答案为 5. 点评: 本题考查了程序框图,考查了循环结构,虽然框图先执行了一次循环体,实则是当型 循环, 原因是判断框中的条件满足时执行循环体, 不满足时跳出循环, 此题是基础题.

8. 分)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项的和,若 a3+2a6=0,则 (5

的值是



考点: 等比数列的通项公式;等比数列的性质.
3

专题: 等差数列与等比数列. 3 分析: 由已知利用等比数列的通项公式可求 q ,然后利用等比数列的求和公式化简

=

=

=1+q ,代入即可求解

3

解答: 解:∵a3+2a6=0, ∴ = 即 q =﹣
3



=

=

=1+q =1﹣

3

故答案为: 点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题 9. 分)函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向左平移 m(m>0)个单位后,与 y=cosx﹣sinx (5 的图象重合,则实数 m 的最小值为 .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 化简两个函数的表达式为正弦函数的形式, 按照平移的方法平移, 即可得到 m 的最小 值. 解答: 解:函数 f(x)=sinx+cosx= sin(x+ ) ,y=cosx﹣sinx= sin(x+ ) , 所以函数至少向左平移 故答案为: , 个单位,即 m 的最小值为: .

点评: 本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移,考查计算能力. 10. 分)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)骰子四个面上 (5 分别标有 1,2,3,4 这四个数字,抛掷这颗正四面体骰子,观察抛掷后能看到的数字.若 连续抛掷两次,两次朝下面上的数字之积大于 6 的概率是 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题.
4

分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次,共有 4×4 种结果,满足条件的事件是两次朝下面上的数字之积大于 6,可以列举出这种事件, 共有 6 种结果,根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次,共有 4×4=16 种结果, 满足条件的事件是两次朝下面上的数字之积大于 6,可以列举出这种事件, (2,4) (3,3) (3,4) (4,3) (4,2) (4,4)共有 6 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P= 故答案为: 点评: 本题主要考查古典概型,解决古典概型问题时最有效的工具是列举,大纲中要求能通 过列举解决古典概型问题,也有一些题目需要借助于排列组合来计数. 11. 分) (5 (2011?淮南一模)我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量, 在平面直角坐标系 xOy 中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点 A(﹣3,4) ,且其 法向量为 的直线方程为 1x x+3) ( + (﹣2) y﹣4) 化简得 x﹣2y+11=0. × ( =0, 类 = ,

比上述方法,在空间坐标系 O﹣xyz 中,经过点 A(1,2,3) ,且其法向量为 的平面方程为 x+2y﹣z﹣2=0 . 考点: 归纳推理. 分析: 类比求曲线方程的方法,我们可以用坐标法,求空间坐标系中平面的方程.任取平面 内一点 P(x,y,z) ,则根据 ,即 ,将 A 点坐标及 的坐标代入易得

平面的方程. 解答: 解:根据法向量的定义,若 为平面 α 的法向量 则 ⊥α,任取平面 α 内一点 P(x,y,z) , 则 ∵PA=(1﹣x,2﹣y,3﹣z) ,

∴(x﹣1)+2(y﹣2)+(3﹣z)=0 即:x+2y﹣z﹣2=0 故答案为:x+2y﹣z﹣2=0 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物 的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .由于平面向量与空 间向量的运算性质相似,故我们可以利用求平面曲线方程的办法,构造向量,利用向 量的性质解决空间内平面方程的求解.
5

12. 分) (5 数列{an}的通项 an=n (cos

2

2

﹣sin

2

) 其前 n 项和为 Sn, S30 为 470 . , 则

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 2 2 利用二倍角公式对已知化简可得,an=n (cos 入到求和公式中可得,

﹣sin

2

)=n cos
2 2

2

,然后代

+3 cos2π+…+30 cos20π,求出

特殊角的三角函数值之后,利用平方差公式分组求和即可求解 解答: 2 2 2 2 解:∵an=n (cos ﹣sin )=n cos ∴ = = =
2 2 2 2 2 2 2

+3 cos2π+…+30 cos20π +… [1+2 ﹣2×3 )+(4 +5 ﹣6 ×2)+…+(28 +29 ﹣30 ×2)] [(1 ﹣3 )+(4 ﹣6 )+…+(28 ﹣30 )+(2 ﹣3 )+(5 ﹣6 )+…+(29 ﹣
2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

30 )] = = [﹣2(4+10+16…+58)﹣(5+11+17+…+59)] [﹣2× ]

=470 故答案为:470 点评: 本题主要考查了二倍角的余弦公式、分组求和方法的应用,解题的关键是平方差公式 的应用

13. 分)设正实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1,则 (5

的最小值为 7 .

考 平均值不等式. 点: 专 不等式的解法及应用. 题: 分 把式子 中的 1 换成已知条件(x+y)+(y+z)=1,化简后再利用基本不 析: 等式即可. 解 解:∵正实数 x,y,z 满足 x+2y+z=1, 答: ∴ = =1+

6

=7,当且仅当

,x+y+y+z=1,即



时,取等号. ∴则 的最小值为 7.

故答案为 7. 点 适当变形应用基本不等式是解题的关键. 评: 14. 分)对任意 x∈R,函数 f(x)的导数存在,若 f′(x)>f(x)且 a>0 则 e ?f(0) (5 a 与 f(a)的大小关系为:e ?f(0) < f(a) (用≤,≥,<,>之一填空) . 考点: 导数的几何意义;不等关系与不等式. 专题: 函数的性质及应用. ﹣ 分析: f′(x)>f(x)可得 f'(x)﹣f(x)>0,而由 e x[f′(x)﹣f(x)]>0 可判断 由 函数 e f(x)是单调递增函数,结合 a>0 可求. 解答: 解:∵f′(x)>f(x) ,∴f′(x)﹣f(x)>0, 又∵e >0,∴e [f′(x)﹣f(x)]>0 ﹣x ﹣x ∴e f′(x)﹣e f(x)>0 ﹣x ﹣x ﹣x ﹣x ﹣x 而[e f(x)]′=(e )′f(x)+e f′(x)=﹣e f(x)+e f′(x)>0 ﹣x ∴函数 F(x)=e f(x)是单调递增函数,又∵a>0 ﹣a ﹣0 所以 F(a)>F(0) ,即 e f(a)>e f(0)=f(0) a 变形可得:e f(0)<f(a) , 故答案为:< ﹣x 点评: 本题考查导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性,观察和利用 e f(x)的导 函数的形式是解决问题的关键,属基础题. 二、解答题 15. (14 分)已知向量 (1)当 时,求 的值; )? ,求 f(x)的单调增区间; c=2asin(A+B) ,对于 .
﹣x ﹣x ﹣x

a

(2)设函数 f(x)=(

(3)已知在锐角△ ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, (2)中的函数 f(x) ,求 f(B+ )的取值范围.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: (1)利用向量共线的条件,可得 3sinx=﹣cosx,代入,即可得到结论; (2)利用向量数量积公式化简函数,结合正弦函数的单调增区间,可得 f(x)的单
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调增区间; (3)求出 A 的值,确定 B 的范围,化简函数,可得函数的值域. 解答: 解: (1)∵向量 , ∴3sinx=﹣cosx, ∴ (2)函数 f(x)=( = 由 + sin2x﹣2= ≤ ≤ =﹣ ; )? =(sinx+cosx,2)?(sinx,﹣1)=sin x+sinxcosx﹣2 sin( ,可得 , )﹣ ≤x≤ ](k∈Z) ;
2

∴f(x)的单调增区间为[ (3)∵ c=2asin(A+B) , ∴ sinC=2sinAsinC, ∴sinA= ∵A∈(0,π) ,∴A= ∵△ABC 为锐角三角形,∴ f(B+ ∵ ∴0<sin2B≤1 ∴﹣ <f(B+ )≤ ﹣ . )= sin[2(B+ ,∴ )﹣

]﹣ =

sin2B﹣

点评: 本题考查向量知识的运用,考查三角函数的化简,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 16. (14 分) 已知函数 f (x) =ax +bx ﹣3x (a, b∈R) 在点 (1,(1) 处的切线方程为 y+2=0. f ) (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤c,求实数 c 的最小值. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由题意可得 ,解得即可. (2)利用导数求出此区间上的极大值和极小值,再求出区间端点出的函数值,进而
8
3 2

求出该区间的最大值和最小值,则对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max ﹣f(x)min|≤c,求出即可. ′ 2 解答: (1)∵函数 f(x)=ax3+bx2﹣3x(a,b∈R) 解: ,∴f (x)=3ax +2bx﹣3. 3 2 ∵函数 f(x)=ax +bx ﹣3x(a,b∈R)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+2=0,∴ 切点为(1,﹣2) . ∴
3

,即

,解得



∴f(x)=x ﹣3x. ′ (2)令 f (x)=0,解得 x=±1,列表如下: 由表格可知:当 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极大值,且 f(﹣1)=2;当 x=1 时,函 数 f(x)取得极小值,且 f(1)=﹣2. 又 f(﹣2)═﹣2,f(2)=2. ∴f(x)=x ﹣3x 在区间[﹣2,2]上的最大值和最小值分别为 2,﹣2. ∴对于区间[﹣2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|f(x)max﹣f(x)min|=|2﹣(﹣2)|=4≤c. 即 c 得最小值为 4.
3

点评: 熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键. 17. (14 分) (2008?杨浦区二模)建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60° (如图) ,考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为 平方米,为了使 堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和) 要最小. (1)求外周长的最小值,此时防洪堤高 h 为多少米? (2)如防洪堤的高限制在 的范围内,外周长最小为多少米?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 综合题;转化思想. 分析: (1)利用梯形的面积公式将梯形的上底、下底用 h 表示;将梯形周长用 h 表示;利 用基本不等式求出周长的最小值. (2)利用函数单调性的定义判断出函数的单调性;利用函数的单调性求出周长的最 小值.
9

解答: 解: (1)

,AD=BC+2×hcot60°=BC+ ,解得 . = 时等号成立. 外周长的最小值为 ,设 = ,



设外周长为 l,则 当 (2) 则 ∴ , 即

; 米, 此时堤高 h 为 米.

,l 是 h 的增函数, (米)(当 h=3 时取得最小值) . .

点评: 将实际问题转化为函数模型、 利用基本不等式求函数的最值注意需满足: 一正、 二定、 三相等; 利用函数单调性的定义判断函数的单调性、利用函数的单调性求函数的最值. 18. (16 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件: ①当 x∈R 时,f(x)的最小值为 0,且 f(x﹣1)=f(﹣x﹣1)恒成立; ②当 x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立. (I)求 f(1)的值; (Ⅱ)求 f(x)的解析式; (Ⅲ)求最大的实数 m(m>1) ,使得存在实数 t,只要当 x∈[1,m]时,就有 f(x+t)≤x 成 立. 考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由当 x∈(0,5)时,都有 x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立可得 f(1)=1; (2)由 f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x)可得二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对 称轴为 x=﹣1,于是 b=2a,再由 f(x)min=f(﹣1)=0,可得 c=a,从而可求得函数 f (x)的解析式; (3)可由 f(1+t)≤1,求得:﹣4≤t≤0,再利用平移的知识求得最大的实数 m. 解答: (1)∵x∈(0,5)时,都有 x≤f(x)≤2|x﹣1|+1 恒成立, 解: ∴1≤f(1)≤2|1﹣1|+1=1, ∴f(1)=1; (2)∵f(﹣1+x)=f(﹣1﹣x) , 2 ∴f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴﹣ =﹣1,b=2a.
2 2

∵当 x∈R 时,函数的最小值为 0, 2 ∴a>0,f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为 x=﹣1, ∴f(x)min=f(﹣1)=0, ∴a=c.
10

∴f(x)=ax +2ax+a.又 f(1)=1, ∴a=c= ,b= . ∴f(x)= x + x+ = (x+1) . (3)∵当 x∈[1,m]时,就有 f(x+t)≤x 成立, ∴f(1+t)≤1,即 (1+t+1) ≤1,解得:﹣4≤t≤0. 而 y=f(x+t)=f[x﹣(﹣t)]是函数 y=f(x)向右平移(﹣t)个单位得到的, 显然,f(x)向右平移的越多,直线 y=x 与二次曲线 y=f(x+t)的右交点的横坐标越 大, ∴当 t=﹣4,﹣t=4 时直线 y=x 与二次曲线 y=f(x+t)的右交点的横坐标最大. ∴ (m+1﹣4) ≤m, ∴1≤m≤9, ∴mmax=9. 点评: 本题考查二次函数的性质,难点在于(3)中 m 的确定,着重考查二次函数的性质与 函数图象的平移,属于难题. 19. (16 分) (2010?盐城一模)已知⊙O:x +y =1 和点 M(4,2) . (Ⅰ)过点 M 向⊙O 引切线 l,求直线 l 的方程; (Ⅱ)求以点 M 为圆心,且被直线 y=2x﹣1 截得的弦长为 4 的⊙M 的方程; (Ⅲ)设 P 为(Ⅱ)中⊙M 上任一点,过点 P 向⊙O 引切线,切点为 Q.试探究:平面内 是否存在一定点 R,使得 请说明理由. 为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,
2 2 2 2 2 2

2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)找出圆的圆心坐标和半径,设切线方程的斜率为 k,由 M 的坐标和 k 写出切线 l 的方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线 l 的距离 d 让 d 等于半径 r 得到关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值,写出直线 l 的方程即可; (Ⅱ)根据点到直线的距离公式求出 M 到已知直线的距离 d,然后利用勾股定理即可 求出圆 M 的半径,根据圆心和半径写出圆的标准方程即可; (Ⅲ)假设存在这样的 R 点,设出 R 的坐标,并设出 P 的坐标,根据圆的切线垂直 于过切点的半径得到三角形 OPQ 为直角三角形, 根据勾股定理表示出 PQ 的长, 然后
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利用两点间的距离公式表示出 PR 的长,设 PQ 与 PR 之比等于 λ,把 PQ 和 PR 的式 子代入后两边平方化简得到一个关系式记作(*) ,又因为 P 在⊙M 上,所以把 P 的坐 标当然到⊙M 的方程中,化简后代入到(*)中,根据多项式对应项的系数相等即可 求出 R 的坐标和 λ 的值. 解答: (Ⅰ)由⊙O:x2+y2=1 得到圆心 O(0,0)半径 r=1, 解: 设切线 l 方程为 y﹣2=k(x﹣4) , 易得 ,解得 ,

∴切线 l 方程为 (Ⅱ)圆心 M 到直线 y=2x﹣1 的距离 d= 设圆的半径为 r,则
2 2

; = , ,

∴⊙M 的方程为(x﹣4) +(y﹣2) =9; (Ⅲ)假设存在这样的点 R(a,b) ,点 P 的坐标为(x,y) ,相应的定值为 λ, 根据题意可得 ,


2 2 2 2 2


2 2

即 x +y ﹣1=λ (x +y ﹣2ax﹣2by+a +b ) , (*) 2 2 又点 P 在圆上∴(x﹣4) +(y﹣2) =9, 2 2 即 x +y =8x+4y﹣11,代入(*)式得: 2 2 2 8x+4y﹣12=λ [(8﹣2a)x+(4﹣2b)y+(a +b ﹣11)],

若系数对应相等,则等式恒成立,∴



解得 ∴可以找到这样的定点 R,使得 为定值.



如点 R 的坐标为(2,1)时,比值为

;点 R 的坐标为

时,比值为



点评: 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系, 灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距 离公式化简求值,会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程,是一道综合题. 20. (16 分)设数列{an}满足:an(n∈N*)是整数,且 an+1﹣an 是关于 x 的方程 x +(an+1 ﹣2)x﹣2an+1=0 的根. (1)若 a1=4 且 n≥2 时,4≤an≤8 求数列{an}的前 100 项和 S100; * (2)若 a1=﹣8,a6=1 且 an<an+1(n∈N )求数列{an}的通项公式.
2

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考点: 数列递推式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 2 分析: (1)利用 an+1﹣an 是关于 x 的方程 x +(an+1﹣2)x﹣2an+1=0 的根,可得 an+1=an+2, 或 an+1= an,结合 a1=4 且 n≥2 时,4≤an≤8,即可得到结论; (2)根据条件,确定数列{an}的前 6 项是﹣8,﹣6,﹣4,﹣2,﹣1,1,且 n>4 时, an+1=an+2,从而可得数列{an}的通项公式. 解答: (1)∵an+1﹣an 是关于 x 的方程 x2+(an+1﹣2)x﹣2an+1=0 的根 解: 2 ∴(an+1﹣an) +(an+1﹣2) n+1﹣an)﹣2an+1=0 (a ∴(an+1﹣an﹣2) n+1﹣an)=0 (2a ∴an+1=an+2,或 an+1= an, ∵a1=4 且 n≥2 时,4≤an≤8, ∴数列{an}为:4,6,8,4,6,8,…, ∴数列{an}的前 100 项和 S100=33(4+6+8)+4=598; * (2)若 a1=﹣8 且 an<an+1(n∈N ) ∵an+1=an+2,或 an+1= an, ∴数列{an}的前 6 项是:﹣8,﹣6,﹣4,﹣2,0,2 或﹣8,﹣6,﹣4,﹣2,﹣1,1 或:﹣8,﹣6,﹣3,﹣1,1,3 或﹣8,﹣6,﹣2,0,2,4 或﹣8,﹣6,﹣2,﹣1, 1,3 ∵a6=1,∴数列{an}的前 6 项是﹣8,﹣6,﹣4,﹣2,﹣1,1,且 n>4 时,an+1=an+2, ∴数列{an}的通项公式是 ;

点评: 本题考查数列的通项与求和,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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