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高中数学人教A版必修2同步练习:3.3.2两点间的距离公式


第三章
一、选择题

3.3

3.3.2

1.一条平行于 x 轴的线段长是 5 个单位,它的一个端点是 A(2,1),则它的另一个端点 B 的坐标是( ) B.(2,-3)或(2,7) D.(2,-3)或(2,5)

A.(-3,1)或(7,1) C.(-3,1)或(5,1) [答案]

A

[解析] ∵AB∥x 轴,∴设 B(a,1),又|AB|=5,∴a=-3 或 7. 2.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于( A.5 C.2 5 [答案] C [解析] 设 A(x,0)、B(0,y),由中点公式得 x=4,y=-2,则由两点间的距离公式得|AB| = ?0-4?2+?-2-0?2= 20=2 5. 3.△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-4,-4)、B(2,2)、C(4,-2),则三角形 AB 边上 的中线长为( A. 26 C. 29 [答案] A [解析] AB 的中点 D 的坐标为 D(-1,-1). ∴|CD|= ?-1-4?2+?-1-?-2??2= 26; 故选 A. 4.已知三点 A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C [解析] |AB|= ?3-0?2+?2-5?2=3 2, |BC|= ?0-4?2+?5-6?2= 17, |AC|= ?3-4?2+?2-6?2= 17, ∴|AC|=|BC|≠|AB|, 且|AB|2≠|AC|2+|BC|2. ∴△ABC 是等腰三角形,不是直角三角形,也不是等边三角形. 5.两直线 3ax-y-2=0 和(2a-1)x+5ay-1=0 分别过定点 A、B,则|AB|等于( ) B.等边三角形 D.等腰直角三角形 ) ) B. 65 D. 13 B.4 2 D.2 10 )

A.

89 5

17 B. 5 11 D. 5

13 C. 5 [答案] C 2 [解析] 易得 A(0,-2),B(-1, ). 5

6.在直线 2x-3y+5=0 上求点 P,使 P 点到 A(2,3)距离为 13,则 P 点坐标是( A.(5,5) C.(5,5)或(-1,1) [答案] C 2x+5 [解析] 设点 P(x,y),则 y= , 3 2x+5 由|PA|= 13得(x-2)2+( -3)2=13, 3 即(x-2)2=9,解得 x=-1 或 x=5, 当 x=-1 时,y=1, 当 x=5 时,y=5,∴P(-1,1)或(5,5). 二、填空题 7.已知点 M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2 5,则实数 m=________. [答案] 1 或 3 [解析] 由题意得 ?m-5?2+?-1-m?2=2 5,解得 m=1 或 m=3. 8.已知 A(1,-1),B(a,3),C(4,5),且|AB|=|BC|,则 a=________. [答案] [解析] 1 2 ?a-1?2+?3+1?2= ?4-a?2+?5-3?2, B.(-1,1) D.(5,5)或(1,-1)

)

1 解得 a= . 2 9.已知点 A(4,12),在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 13,则点 P 的坐标为________. [答案] (9,0)或(-1,0) [解析] 设 P(a,0),则 ?a-4?2+122=13, 解得 a=9 或 a=-1,∴点 P 的坐标为(9,0)或(-1,0). 三、解答题 10.求证:等腰梯形的对角线相等. [证明] 已知:等腰梯形 ABCD. 求证:AC=BD.

证明:以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系.

设 A(-a,0)、D(b,c),由等腰梯形的性质知 B(a,0),C(-b,c). 则|AC|= ?-b+a?2+?c-0?2= ?a-b?2+c2, |BD|= ?b-a?2+?0-c?2= ?a-b?2+c2, ∴|AC|=|BD|. 即:等腰梯形的对角线相等. 11. 已知直线 l1: 2x+y-6=0 和 A(1, -1), 过点 A 作直线 l2 与已知直线交于点 B 且|AB| =5,求直线 l2 的方程. [解析] 当直线 l2 的斜率存在时,设其为 k,则 l2:y+1=k?x-1?? ? ??(k+2)x=k+7, ? 又由2x+y-6=0 ? k+7 k+7 4k-2 而 k≠-2,故解得 x= ,所以 B( , ), k+2 k+2 k+2 又由|AB|=5,利用两点间距离公式得 k+7 4k-2 3 ? -1?2+? +1?2=5?k=- , 4 k+2 k+2 此时 l2 的方程为 3x+4y+1=0. 而当 l2 的斜率不存在时,l2 的方程为 x=1. 此时点 B 坐标为(1,4),则|AB|=|4-(-1)|=5,也满足条件综上,l2 的方程为 3x+4y+1 =0 或 x=1. 12.如下图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长 AD= 5 m, 宽 AB=3 m, 其中一条小路定为 AC, 另一条小路过点 D, 问是否在 BC 上存在一点 M, 使得两条小路 AC 与 DM 相互垂直?若存在,则求出小路 DM 的长.

[分析] 建立适当的坐标系,转几何问题为代数运算. [解析] 以 B 为坐标原点, BC、 BA 所在直线为 x、 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.

因为 AD=5 m,AB=3 m, 所以 C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点 M 的坐标为(x,0),因为 AC⊥DM, 所以 kAC· kDM=-1, 即 3-0 3-0 · =-1. 0-5 5-x

所以 x=3.2,即 BM=3.2, 即点 M 的坐标为(3.2,0)时,两条小路 AC 与 DM 相互垂直. 故在 BC 上存在一点 M(3.2,0)满足题意. 3 由两点间距离公式得 DM= ?5-3.2?2+?3-0?2= 34. 5


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