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第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算


第一节
1.已知 λ∈R,则下列命题正确的是 A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|a

平面向量的概念及其线性运算
( C.|λa|=|λ||a| D.|λa|>0 ( ) )

→ 2.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量CD= → 1→ A.-BC+ BA 2 → 1→ B. -BC- BA 2 → 1→ → 1→ C. BC- BA D. BC+ BA 2 2

3.(2009·湖南高考)如图,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则 → → → A.AD+BE+CF=0 → → → C.AD+CE+CF=0 → → → B.BD-CF+DF=0 → → → D.BD-BE+CF=0

(

)

4.(2010·苏州模拟)若 a+b+c=0,则 a、b、c A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B.一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形 (

(

)

→ → → 5.已知 O 为△ABC 内一点,且OA+OC+2OB=0,则△AOC 与△ABC 的面积之比是

)

A.1∶2

B.1∶3

C.2∶3

D.1∶1

→ → → → 6.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足PA +PB+PC=AB 则点 P 与△ABC 的关系为 ( ) A.P 在△ABC 内部B.P 在△ABC 外部 C.P 在 AB 边所在直线上 m → → → → → 7.在△ABC 中,BD=2DC,AD=mAB +nAC,则 = n . D.P 是 AC 边的一个三等分点

→ → → → → 8.在?ABCD 中,AB =a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN= (用 a,b 表示). 9.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的 → → → → 两点 M、N,若AB =mAM,AC=nAN,则 m+n 的值为 .

→ → → 10.设 i、j 分别是平面直角坐示系 Ox,Oy 正方向上的单位向量,且OA=-2i+mj,OB=ni+j,OC=5i-j,

若点 A、B、C 在同一条直线上,且 m=2n,求实数 m、n 的值. → → → → → 11.已知 P 为△ABC 内一点,且 3AP+4BP+5CP=0,延长 AP 交 BC 于点 D,若AB =a,AC=b,用 a、b 表 → → 示向量AP、AD. 12.设 a、b 是不共线的两个非零向量,
→ → → (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C 三点共线;

(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值;
→ → → (3)设OM=ma,ON=nb,OP=α a+β b,其中 m、n、α、β 均为实数,m≠0,n≠0,若 M、P、N 三点共线,

α β 求证: + =1. m n 1.C . 2.A . 3.A . 4.A . 5.A . 6.D . m 1 7. n = . 2 1 1 8.- a+ b . 4 +4 9.2 .

10.解: AB = OB ? OA =(n+2)i+(1-m)j, BC = OC ? OB =(5-n)i+(-2)j. . + + - , - +-

r uuu

r uuu uuu r

r uuu

r uuu uuu r r uuu

r uuu
∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i+(-2)j], + + - = - +- ,

r uuu

r uuu

∵点 A、B、C 在同一条直线上,∴ AB ∥ BC ,即 AB =λ BC , 、 、 在同一条直线上,

? n + 2 = λ (5 ? n) ?m = 3 ?m = 6 ? ? ∴ ?1 ? m = ?2λ , 解得 ? 或? 3 ?n = 3 ?n = . ? m = 2n 2 ? ? uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuu r r r 11.解:∵ BP = AP ? AB = AP ? a , CP = AP ? AP ? b, . uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 又 3 AP + 4 BP + 5CP =0,∴ 3 AP + 4( AP ? a ) + 5( AP ? b ) =0, , , uuu 1 r 5 化简, 化简,得 AP =3a+12b. +
uuu r uuu r uuu 1 r 5 设 AD =t AP (t∈R),则 AD =3ta+12tb. + r uuu


r uuu

r uuu

uuur

r uuu

又设 BD =k BC (k∈R),由 BC = AC - AB =b-a,得 - ,

r uuu uuu r uuu uuu r r uuu r BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD , - 而 + uuu r ∴ AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb. + - = - +



?1 ? 3 t = 1 ? k, uuu 4 5 r 4 ? 代入① 由①②,得 ? 解得t = . 代入①,有 AD =9a+9b. + 3 ? 5 t = k. ? 12 ? uuu r uuu r uuu r 12. : 证明: AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b, BC =(a-3b)-(3a+b)=- -4b=- AB , 证明: =-2a- =- =-2 . (1)证明 ∵ 解 + - - = + , 而 - - + =- r uuu uuu r 共线, ∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B,∴A、B、C 三点共线 , 、 、 三点共线.
(2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ,使得 +kb)=λ(ka+2b)? -λk)a+(k-2λ)b=0, (8- + + 共线, ,使得(8a+ = + ? + - = ,

?8 ? λ k = 0 ? 8 = 2λ = ±2 ∴ k = 2λ = ±4. ? k ? 2λ = 0 uuur uuur (3)证明:∵M、P、N 三点共线,∴存在实数 λ,使得 MP = λ PN , 证明: 证明 、 、 三点共线, , uuuu r uuur uuu OM + λ ON r m λn a+ b. ∴ OP = = + 1+λ 1+λ + + 1+ λ
∵a 与 b 不共线,∴ ? 不共线,

m ? ?α = 1 + λ , ? ∵a、b 不共线,∴ ? 、 不共线, ?β = λn ? 1+ λ ?
α β λ 1 ∴m+n= + =1. 1+λ 1+λ + +

1.解析:当 λ<0 时,|λa|=λ|a|不成立,A 错误;|λa|应该是一个非负实数,而非向量,所以 B 不正确; .解析: 不成立, 错误; 应该是一个非负实数 而非向量, 应该是一个非负实数, 不正确; < = 不成立 当 λ=0 或 a=0 时,|λa|=0,D 错误 = = = , 错误.

答案: 答案:C 2.解析: CD = CB + BD = ? BC + .解析: 答案:A 答案: 3.解析: AD + BE + CF = .解析:

r uuu

r uuu uuu r

r uuu

1 uuur BA. 2

uuur uuu uuu r r

r r r 1 uuu 1 uuu 1 uuu AB + BC + CA 2 2 2

r r r 1 uuu uuu uuu = ( AB + BC + CA) = 0. 2
答案: 答案:A 4.解析:若 a、b、c 均为共线向量时也可以使 a+b+c=0,但是无法构成三角形或者若 a、b、c 为 .解析: 、 、 + + = , 、 、 两两夹角都为 120°,且模相等时 a+b+c=0,但也无法构成三角形 , + + = ,但也无法构成三角形. 答案: 答案:A 5.解析:设 AC 的中心点为 D .解析: 则 OA + OC = 2OD , ∴ OA + OC + 2OB = 2OD + 2OB = 0, ∴ OD = ? OB 的中点, 即点 O 为 AC 边上的中线 BD 的中点, S△AOC 1 ∴S =2. △ABC 答案: 答案:A 6.解析:∵ PA + PB + PC = AB , .解析: ∴ PA + PB + PC = PB ? PA, ∴ PC = ?2 PA = 2 AP , 边的一个三等分点. ∴P 是 AC 边的一个三等分点 答案: 答案:D 7.解:法一: . 法一:

r uuu uuu r

r uuu

r uuu uuu r

r uuu

r uuu

r uuu

r uuu

r uuu

r uuu uuu uuu r r

r uuu

r uuu uuu uuu r r

r uuu uuu r

r uuu

r uuu

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uuur uuu uuu uuu 2 uuu r r r r AD = AB + BD = AB + BC , 3 uuu 2 uuur uuu r r r r 1 uuu 2 uuu = AB + ( AC ? AB ) = AB + BC . 3 3 3
1 2 m 1 ∴m=3,n=3, n =2. = = 法二: 法二:∵ BD = 2 DC , ,∴ AD ? AB , =2( AC ? AD ).

r uuu

uuur

uuur uuu r

uuur uuu r

uuu 1 uuu 2 uuur r r 1 2 m 1 ∴ AD = AB + AC ,得 m= ,n= .∴ n = . = = ∴ 3 3 3 3 2
8.解析:由 AN = 3 NG , 得 4 AN = 3 AN =3(a+b), .解析: + ,

uuur

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uuur 3 uuuu r 1 即 AN =4(a+b),又∵ AM =a+2b, + , + , uuuu uuur uuuu 3 r r 1 1 1 ∴ MN = AN ? AM =4(a+b)-(a+2b)=-4a+4b. + - + =- +
1 1 答案: 答案:-4a+4b +

uuur 1 uuu uuur r 9.解析: AO = ( AB + AC ) .解析: 2
r m uuuu n uuur = 2 AM +2 AN ,
m n ∵M、O、N 三点共线,∴ 2 +2 =1, 、 、 三点共线, , ∴m+n=2. + = 答案: 答案:2 10.解: AB = OB ? OA =(n+2)i+(1-m)j, . + + - ,

r uuu

r uuu uuu r

r uuu uuu uuu r r BC = OC ? OB =(5-n)i+(-2)j. - +-
r uuu uuu r

uuu r

∵点 A、B、C 在同一条直线上,∴ AB ∥ BC , 、 、 在同一条直线上,

uuu r

即 AB =λ BC , ∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i+(-2)j], + + - = - +- ,

? n + 2 = λ (5 ? n) ?m = 3 ?m = 6 ? ? , 解得 ? ∴ ?1 ? m = ?2λ 或? 3 ?n = 3 ?n = . ? m = 2n 2 ? ? uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuu r r r 11.解:∵ BP = AP ? AB = AP ? a , CP = AP ? AP ? b, . uuu r uuu r uuu r 又 3 AP + 4 BP + 5CP =0, , uuu r uuu r uuu r ∴ 3 AP + 4( AP ? a ) + 5( AP ? b ) =0, , uuu 1 r 5 化简, 化简,得 AP =3a+12b. +
r uuu r uuu
① 设 AD =t AP (t∈R), ∈ ,

uuu 1 r 5 则 AD =3ta+12tb. + r uuu

r uuu

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r uuu

又设 BD =k BC (k∈R),由 BC = AC - AB =b-a,得 - ,

r uuu uuu r uuu uuu r r uuu r BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD , - 而 + uuu r ∴ AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb. + - = - +



?1 ? 3 t = 1 ? k, 4 ? 解 得t = . 由①②,得 ? 3 ? 5 t = k. ? 12 ?

uuu 4 5 r 代入① 代入①,有 AD =9a+9b. + uuu r
12.解:(1)证明:∵ AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b, . 证明: 证明 + - - = + ,

r uuu
r uuu

r uuu

=-2a- =- =-2 而 BC =(a-3b)-(3a+b)=- -4b=- AB , - - + =-

r uuu

共线, ∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B, , ∴A、B、C 三点共线 、 、 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ,使得 +kb)=λ(ka+2b)? -λk)a+(k-2λ)b=0, (8- + + 共线, ,使得(8a+ = + ? + - = , 不共线, ∵a 与 b 不共线,

?8 ? λ k = 0 ? 8 = 2λ = ±2 ∴ k = 2λ = ±4. ? ? k ? 2λ = 0
(3)证明:∵M、P、N 三点共线,∴存在实数 λ,使得 MP = λ PN , 证明: 证明 、 、 三点共线, ,

uuur

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uuuu r uuur r uuu OM + λ ON m λn a+ b. ∴ OP = = + 1+λ 1+λ + + 1+ λ

m ? ?α = 1 + λ , ? ∵a、b 不共线,∴ ? 、 不共线, ?β = λn ? 1+ λ ?
α β λ 1 ∴m+n= + =1. 1+λ 1+λ + +

第四章

第一节

平面向量的概念及其线性运算 课下练兵场
命 题 报 告

难度及题号 知识点 平面向量的有关概念 向量的线性运算 共线向量 一、选择题 1.已知 λ∈R,则下列命题正确的是 已知 A.|λa|=λ|a| = B.|λa|=|λ|a =

容易题 (题号 题号) 题号 1 2、3 、 8、9 、

中等题 (题号 题号) 题号 11 5、7 、 10

稍难题 (题号 题号) 题号

6、12 、

( C.|λa|=|λ||a| = D.|λa|>0 >

)

解析: 不成立, 错误; 应该是一个非负实数 而非向量, 应该是一个非负实数, 不正确; 解析:当 λ<0 时,|λa|=λ|a|不成立,A 错误;|λa|应该是一个非负实数,而非向量,所以 B 不正确; < = 不成立 当 λ=0 或 a=0 时,|λa|=0,D 错误 = = = , 错误. 答案:C 答案:

r uuu
2.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量 CD = 如图所示, 的中点, 如图所示

A. ? BC + C. BC ?

r uuu

r 1 uuu BA 2

B. ? BC +

r uuu

r 1 uuu BA 2

r uuu 1 uuu r r 1 uuu BA D BC + BA 2 2 uuu uuu uuu r r r uuu 1 uuur r 解析: 解析: CD = CB + BD = ? BC + BA. 2
答案: 答案:A 3.(2009·湖南高考 如图,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则( 湖南高考)如图, 、 、 分别是△ 、 、 的中点, 湖南高考 如图 A. AD + BE + CF = 0 B. BD ? CF + DF = 0 C. AD + CE + CF = 0 D. BD ? BE ? FC = 0 解析: 解析: AD + BE + CF = )

uuu r

r uuu uuu uuu r r

r uuu uuu uuur r r uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu r r

uuur uuu uuu r r

r r r 1 uuu 1 uuu 1 uuu AB + BC + CA 2 2 2

r r r 1 uuu uuu uuu = ( AB + BC + CA) = 0. 2
答案: 答案:A 4.(2010·苏州模拟 若 a+b+c=0,则 a、b、c 苏州模拟)若 + + = , 苏州模拟 、 、 A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B.一定不可能构成三角形 一定不可能构成三角形 C.都是非零向量时能构成三角形 都是非零向量时能构成三角形 D.一定可构成三角形 一定可构成三角形 解析: 解析:若 a、b、c 均为共线向量时也可以使 a+b+c=0,但是无法构成三角形或者若 a、b、c 为两两 、 、 + + = , 、 、 夹角都为 120°,且模相等时 a+b+c=0,但也无法构成三角形 , + + = ,但也无法构成三角形. 答案: 答案:A 5.已知 O 为△ABC 内一点,且 OA + OC + 2OB = 0, 则△AOC 与△ABC 的面积之比是 已知 内一点, 的面积之比是( A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.1∶1 ( )

r uuu uuu r

r uuu

)

解析: 解析:设 AC 的中心点为 D 则 OA + OC = 2OD , ∴ OA + OC + 2OB = 2OD + 2OB = 0, ∴ OD = ? OB 的中点, 即点 O 为 AC 边上的中线 BD 的中点, S△AOC 1 ∴S =2. △ABC 答案: 答案:A

r uuu uuu r

r uuu

r uuu uuu r

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6.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA + PB + PC = AB , 则点 P 与△ABC 的关系 已知△ 已知 、 、 为 A.P 在△ABC 内部 C.P 在 AB 边所在直线上 B.P 在△ABC 外部 D.P 是 AC 边的一个三等分点 ( )

uuu uuu uuu r r r

uuu r

r uuu uuu uuu uuu r r r 解析: 解析:∵ PA + PB + PC = AB , uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r uuu r uuu r uuu r ∴ PA + PB + PC = PB ? PA, ∴ PC = ?2 PA = 2 AP ,
边的一个三等分点. ∴P 是 AC 边的一个三等分点 答案: 答案:D 二、填空题

uuur uuu uuur uuu r r uuu r m 7.在△ABC 中, BD = 2DC , AD =m AB +n AC ,则 n = 在
解:法一: 法一:

.

uuur uuu uuu uuu 2 uuu r r r r AD = AB + BD = AB + BC , 3 uuu 2 uuur uuu r r r r 1 uuu 2 uuu = AB + ( AC ? AB ) = AB + BC . 3 3 3
1 2 m 1 ∴m=3,n=3, n =2. = = 法二: 法二:∵ BD = 2 DC , ,∴ AD ? AB , =2( AC ? AD ).

r uuu

uuur

uuur uuu r

uuur uuu r

uuu 1 uuu 2 uuur r r 1 2 m 1 ∴ AD =3 AB +3 AC ,得 m=3,n=3.∴ n =2. = = ∴
8.在? 在 ABCD 中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MN = 的中点, , , 示). 解析: 解析:由 AN = 3 NG , 得 4 AN = 3 AN =3(a+b), + ,

r uuu

r uuu

uuur

uuur

r uuuu

(用 a,b 表 用 ,

uuur

uuur

uuur

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uuur 3 uuuu r 1 + , + , 即 AN = (a+b),又∵ AM =a+ b, 4 2 uuuu uuur uuuu 3 r r 1 1 1 ∴ MN = AN ? AM = (a+b)-(a+ b)=- a+ b. + - + =- + 4 2 4 4
1 1 答案:- a+ b 答案: + 4 4

r uuu
9.如图, △ABC 中, O 是 BC 的中点 过点 O 的直线分别交直线 AB、 于不同的两点 M、 , AB 如图, 的中点.过点 AC N, 如图 在 点 、 、 若

r uuuu

uuur

uuur
.

=m AM , AC =n AN ,则 m+n 的值为 +

uuur 1 uuu uuur r 解析: 解析: AO =2( AB + AC )
r m uuuu n uuur = 2 AM +2 AN ,
m n , ∵M、O、N 三点共线,∴ 2 +2 =1, 、 、 三点共线,

∴m+n=2. + = 答案: 答案:2 三、解答题

r uuu
=5i-j,若点 A、B、C 在同一条直线上,且 m=2n,求实数 m、n 的值 -, 、 、 在同一条直线上, = , 、 的值. 解: AB = OB ? OA =(n+2)i+(1-m)j, + + - ,

r uuu

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=- + , +, 10.设 i、j 分别是平面直角坐示系 Ox,Oy 正方向上的单位向量,且 OA =-2i+mj, OB =ni+j, OC 设 、 , 正方向上的单位向量, 单位向量

r uuu

r uuu uuu r

r uuu uuu uuu r r BC = OC ? OB =(5-n)i+(-2)j. - +-
r uuu r uuu

r uuu

∵点 A、B、C 在同一条直线上,∴ AB ∥ BC , 、 、 在同一条直线上,

r uuu

即 AB =λ BC , ∴(n+2)i+(1-m)j=λ[(5-n)i+(-2)j], + + - = - +- ,

? n + 2 = λ (5 ? n) ?m = 3 ?m = 6 ? ? , 解得 ? ∴ ?1 ? m = ?2λ 或? 3 ?n = 3 ?n = . ? m = 2n ? 2 ? uuu r uuu r uuu r uuur uuu r 11.已知 P 为△ABC 内一点,且 3 AP + 4 BP + 5CP = 0. 延长 AP 交 BC 于点 D,若 AB =a, AC =b, 内一点, 已知 , , , uuu uuu r r 用 a、b 表示向量 AP 、 AD . 、 uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuu r r r 解:∵ BP = AP ? AB = AP ? a , CP = AP ? AP ? b, uuu r uuu r uuu r 又 3 AP + 4 BP + 5CP =0, , uuu r uuu r uuu r , ∴ 3 AP + 4( AP ? a ) + 5( AP ? b ) =0, uuu 1 r 5 化简, 化简,得 AP =3a+12b. +
r uuu r uuu
① 设 AD =t AP (t∈R),

uuu 1 r 5 则 AD =3ta+12tb. + r uuu

r uuu

r uuu

uuur

r uuu

又设 BD =k BC (k∈R),由 BC = AC - AB =b-a,得 - ,

r uuu uuu r uuu uuu r r uuu r BD =k(b-a).而 AD = AB + BD =a+ BD , - 而 + uuu r + - = - + ∴ AD =a+k(b-a)=(1-k)a+kb.



?1 ? 3 t = 1 ? k, 4 ? 由①②,得 ? 解 得t = . 3 ? 5 t = k. ? 12 ? uuu 4 5 r 代入① 代入①,有 AD =9a+9b. +
12.设 a、b 是不共线的两个非零向量, 设 、 是不共线的两个非零向量,

r uuu

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(1)若 OA =2a-b, OB =3a+b, OC =a-3b, 若 - , + , - , 求证: 、 、 三点共线; 求证:A、B、C 三点共线;

(2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值; 若 + 的值; + 共线,

r uuuu
三点共线, 三点共线, α β 求证: 求证:m+n=1.

uuur

r uuu

(3)设 OM =ma, ON =nb, OP =α a+β b,其中 m、n、α、β 均为实数,m≠0,n≠0,若 M、P、N 设 , , + , 、 、 、 均为实数, , , 、 、

r uuu
证明: 解:(1)证明:∵ AB =(3a+b)-(2a-b)=a+2b, 证明 + - - = + ,

r uuu
r uuu

r uuu

=-2a- =- =-2 而 BC =(a-3b)-(3a+b)=- -4b=- AB , - - + =-

r uuu

共线, , ∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B, ∴A、B、C 三点共线 、 、 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线,∴存在实数 λ,使得(8a+kb)=λ(ka+2b)? -λk)a+(k-2λ)b=0, + + 共线, ,使得 + = + ? (8- + - = , 不共线, ∵a 与 b 不共线,

?8 ? λ k = 0 ? 8 = 2λ = ±2 ∴ k = 2λ = ±4. ? ? k ? 2λ = 0
(3)证明:∵M、P、N 三点共线,∴存在实数 λ,使得 MP = λ PN , 证明: 证明 、 、 三点共线, ,

uuur

uuur

uuuu r uuur r uuu OM + λ ON m λn a+ b. ∴ OP = = + 1+λ 1+λ + + 1+ λ

m ? ?α = 1 + λ , ? ∵a、b 不共线,∴ ? 、 不共线, ?β = λn ? 1+ λ ?
α β λ 1 ∴m+n= + =1. 1+λ 1+λ + +


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