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2013最新高考复习专题限时练习:数学第20讲 分类与整合思想和化归与转化思想


专题限时集训(二十) [第 20 讲 分类与整合思想和化归与转化思想] (时间:10 分钟+35 分钟)

1.若 loga2<1,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(2,+∞) C.(0,1)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(2,+∞) a 2 2.如果 a 是非零实数,则 + 的取值范围是( ) 2 a A.[2,+∞) B.(-∞,-

2]∪[2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞) π π 3 3.已知 α∈?2,π?,sinα= ,则 tan?α+4?等于( ) ? ? ? ? 5 1 A. B.7 7 1 C.- D.-7 7 4.设 0<a<1,函数 f(x)=loga(a2x-3ax+3),则使 f(x)>0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(loga2,0) D.(loga2,+∞)

)

1.已知 M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若 M∩N=N,则实数 a 的值为( ) A.1 B.-1 C.1 或-1 D.0 或 1 或-1 2.设 a>0,a≠1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差小于 1,则 a 的取值范围是( ) A.(0,1)∪(1,+∞) 1 B.?0,2?∪(2,+∞) ? ? 1 ? C.?2,1?∪(2,+∞) ? D.(1,+∞) 3 3.设一直角三角形两直角边的长均是区间(0,1)内的随机数,则斜边的长小于 的概率为 4 ( ) 9π 9 A. B. 64 64 9π 9 C. D. 16 16 1 4.若 sinx+cosx= ,x∈(0,π),则 sinx-cosx 的值为( ) 3 17 A.± 3

B.- 1 C. 3

17 3

17 3 5.如果函数 y=asinx+b 的最小值是-1,最大值是 3,则 a-b=________. 6.已知直线 kx-y+1=0 与圆 C:x2+y2=4 相交于 A,B 两点,若点 M 在圆 C 上, → → → 且有OM=OA+OB(O 为坐标原点),则实数 k=________. D.

7.设函数 f(x)=x-2msinx+(2m-1)sinxcosx(m 为实数)在(0, π)上为增函数, 试求 m 的取 值范围.

8.设函数 f(x)=x2-2x+alnx. (1)若函数 f(x)是定义域上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)的极值点.

专题限时集训(二十) 【基础演练】 1. 【解析】 当 0<a<1 时, a2<1?loga2<logaa?a<2, 0<a<1; a>1, loga2<1 D log 故 若 则 ?loga2<logaa?2<a,故 a>2.所以 a 的取值范围是(0,1)∪(2,+∞). a 2 2.B 【解析】 当 a>0 时, + ≥2 2 a a 2 a 2 当 a<0 时, + =-??-2?+?-a??≤ ?? ? ? ?? 2 a -2 a2 ·=2; 2a

?-a?·-2?=-2. ? ? 2? ? a?

π π 3 3 3.A 【解析】 由 α∈?2,π?,sinα= ,可得 tanα=- ,对 tan?α+4?进行恒等变形 ? ? ? ? 5 4 1+tanα 3 1 化为 ,把 tanα=- 代入计算得 . 4 7 1-tanα 4.C 【解析】 根据对数函数的性质可得不等式 0<a2x-3ax+3<1,换元后转化为一元 二次不等式求解.令 t=ax,则 0<t2-3t+3<1,因为 Δ=(-3)2-4×3=-3<0,故 t2-3t+ 3>0 恒成立, 只要解不等式 t2-3t+3<1 即可, 即解不等式 t2-3t+2<0, 解得 1<t<2, 1<ax<2, 故 取以 a 为底的对数,根据对数函数性质得 loga2<x<0.正确选项为 C. 【提升训练】 1.D 【解析】 M∩N=N?N?M.当 a=0 时,N=?,符合要求,当 a≠0 时,只要 a 1 = ,即 a=± 即可. 1 a 2.B 【解析】 当 a>1 时,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为 loga2a=loga2+1,logaa=1,它们的差为 loga2<1,即 log2a>1,故 a>2;当 0<a<1 时,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为 logaa=1,loga2a=loga2+1,它们的差 1 为-loga2<1,即 loga2>-1,即 log2a<-1,即 a< .正确选项为 B. 2 3.A 【解析】 设两直角边的长度分别是 x,y,则 0<x<1,0<y<1,随机事件“斜边的 3 3 长小于 ”满足 x2+y2<?4?2.把点(x,y)看作平面上的点,则基本事件所在的区域的面积是 1, ? ? 4 1 3 9π 随机事件所在的区域的面积是 π?4?2= . 4 ? ? 64 1 1 4.D 【解析】 由 sinx+cosx= 得 1+2sinxcosx= , 3 9 π 8 ∴sin2x=- <0,∴x∈?2,π?, ? ? 9 17 ∵(sinx-cosx)2=1-sin2x= 且 sinx>cosx, 9 ∴sinx-cosx= 17 .故选 D. 3

5.1 或-3 【解析】 当 a>0 时,函数 y=asinx+b 的最小值是-a+b,最大值是 a+ b,由-a+b=-1,a+b=3,解得 a=2,b=1,此时 a-b=1;a=0 不符合要求;当 a<0 时,函数 y=asinx+b 的最小值是 a+b,最大值是-a+b,由 a+b=-1,-a+b=3,解 得 a=-2,b=1,此时 a-b=-3.

6.0 【解析】 结合图形可知,当 A,B,M 均在圆上时,平行四边形 OAMB 的对角 线 OM=2,此时四边形 OAMB 为菱形,故问题等价于圆心到直线 kx-y+1=0 的距离等于 1 1.d= 2 =1,解得 k=0. k +1 7. 【解答】 ∵f(x)在区间(0,π)上是增函数, 1 ∴f′(x)=1-2mcosx+2?m-2?cos2x ? ? =2[(2m-1)cos2x-mcosx+1-m] =2(cosx-1)[(2m-1)cosx+(m-1)]>0 在(0,π)上恒成立,令 cosx=t,则-1<t<1, 即不等式(t-1)[(2m-1)t+(m-1)]>0 在(-1,1)上恒成立, 1-m 1-m 1 1 2 ①若 m> ,则 t< 在(-1,1)上恒成立,则只需 ≥1,即 <m≤ ; 2 2 3 2m-1 2m-1 1 1 ②当 m= 时,则 0· -1<0,在(-1,1)上显然成立; t+ 2 2 1-m 1-m 1 1 ③若 m< ,则 t> 在(-1,1)上恒成立,则只需 ≤-1,即 0≤m< . 2 2 2m-1 2m-1 2 综上所述,所求实数 m 的取值范围是?0,3?. ? ?
2 a 2x -2x+a 8. 【解答】 (1)f′(x)=2x-2+ = ,若函数 f(x)是定义域上的单调函数,则 x x

只能 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 2x2-2x+a≥0 在(0,+∞)上恒成立,令 g(x)=2x2 1 1 -2x+a,则函数 g(x)图象的对称轴方程是 x= ,故只要 Δ=4-8a≤0 恒成立,即只要 a≥ . 2 2 1 1 (2)由(1)知当 a≥ 时,f′(x)=0 的点是导数不变号的点,故 a≥ 时,函数无极值点; 2 2 1- 1-2a 1+ 1-2a 1 当 a< 时,f′(x)=0 的根是 x1= ,x2= , 2 2 2 若 a≤0, 1-2a≥1, 此时 x1≤0, 2>0, x 且在(0, 2)上 f′(x)<0, 2, x 在(x +∞)上 f′(x)>0, 1+ 1-2a 故函数 f(x)有唯一的极小值点 x2= ; 2 1 当 0<a< 时,0< 1-2a<1,此时 x1>0,x2>0, 2


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