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直线与圆的综合应用


句容市实验高级中学 2015 届高三数学(文科)教学案

主备人:李祥

2014-12-15

直线与圆的综合应用
【学习目标】 1、会求圆的切线方程,圆的公共弦方程,圆截直线所得的弦长; 2、能利用直线与圆的方程研究与圆有关的问题,提高思维能力。 【重点难点】 能充分利用圆的几何性质,通过数形结合求解直线与

圆的有关综合问题。 【学习过程】 一、知识梳理 1、直线与圆的位置关系: ( d 表示圆心到直线的距离) ① d ? R ? 相切;② d ? R ? 相交;③ d ? R ? 相离。 2、圆的切线 ①过圆上一点的切线: ①过圆 x2 ? y 2 ? R2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是: 过圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是:

; 。

②从圆外一点引圆的切线一定有 条,切方程的求法: 可先设切线方程, 再根据相切的条件, 运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求; 3 .切线的性质: ( 1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的__________; ( 2)经过切点垂直于切线的直线必经过_____________; ( 3)圆的切线垂直于经过切点的_____________. 4.垂径定理:垂直于弦的直径______这条弦,并且平分弦所对的弧;即弦的垂直平分线经 过______. 5.直径所对的圆周角是 二、基础自测: 1、若直线 ax ? by ? 1与圆 x 2 ? y 2 ? 1相交,则点 P ( a, b) 与圆的位置关系是 2、从圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1外一点 P (2,3) 向圆引切线,则切线长为 。 。 ;90 度的圆周角所对的弦是 .

3、已知圆 C1 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的 方程为 。

4、已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程 为 。 .

5.设圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中点 P(3,1) ,则直线 AB 的方程为 6.方程 1 ? x2 ? kx ? 2 有唯一解,则实数 k 的取值范围是

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句容市实验高级中学 2015 届高三数学(文科)教学案

主备人:李祥

2014-12-15

三、典型例题: 例 1.已知 O 为平面直角坐标系的原点,过点 M ? ?2,0 ? 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 1 交于 P, Q 两

1 点. (1)若 OP ? OQ ? ? ,求直线 l 的方程; (2)若 ?OMP 与 ?OPQ 的面积相等,求直线 l 的 2 斜率.

例 2、已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , 相互垂直的两条直线 l1 、l2 都过点 A(?1,0) 。 求 l1 、l2 被 圆 C 所截得弦长之和的最大值,并求此时直线 l1 的方程。

变题 1 、已知 AC、BD 为圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M 1, 2 , 则四 边形 ABCD 的面积的最大值为 。

?

?

例 3 已 知 ⊙O 的 圆 心 为 原 点 , 与 直 线 x ? 3 y ? 10 ? 0 相 切 , ⊙M 的 方 程 为

( x ? 8) 2 ? ( y ? 6) 2 ? 4 ,过⊙M 上任一点 P 作⊙O 的切线 PA、PB,切点为 A、 B。
(1)求⊙O 的方程; (2)若直线 PA 与⊙M 的另一交点为 Q,当弦 PQ 最大时,求直线 PA 的直线方程; (3)求 OA ? OB 的最大值与最小值

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句容市实验高级中学 2015 届高三数学(文科)教学案

主备人:李祥

2014-12-15

例 4. 如图:已知 A, B 是圆 x2 ? y 2 ? 4 与 x 轴的交点, P 为直线 l : x ? 4 上的 动点, PA, PB 与圆 x2 ? y 2 ? 4 的另一个交点分别为 M , N . (1)若 P 点坐标为 (4, 6) ,求直线 MN 的方程; (2)求证:直线 MN 过定点.

课堂作业: 1、若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ?1 ? 0 切于点 P(?1, 2) ,则 ab 的值__ __。

2 、一束光线从点 A(?1,1) 出发经 x 轴反射到圆 c : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 上的最短路程 是 。 。

3、圆 x 2 ? y 2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是

4、已知圆 C: x2 ? y 2 ? 4 与点 P(3, 4) ,过 P 作圆 C 的两条切线,切点分别为 A、B.则直线 AB 的方程为 。

5、若圆 C 过点(0,2)及直线 x ? 2 y ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的两交点,则圆 C 的方程为 。

6、由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1引两条切线 PA, PB ,切点分别为 A, B, ?APB ? 600 ,则动点

P 的轨迹方为



7.已知直线 x ? y ? a与圆x 2 ? y 2 ? 4 交于 A、B 两点,且| OA ? OB |?| OA ? OB | ,其中 O 为原点,则实数 a 的值为 。
2 2

8、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 的圆心为 Q,过点 p (0, 2) 且 斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B。 (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由。

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句容市实验高级中学 2015 届高三数学(文科)教学案

主备人:李祥

2014-12-15

9. 已知平面直角坐标系 xoy中 O 是坐标原点,A(6,2 3), B(8,0) , 圆 C 是 ?OAB 的外接圆, 过点(2,6)的直线 l 被圆所截得的弦长为 4 3 。 (1)求圆 C 的方程及直线 l 的方程; (2) 设圆 N 的方程 ( x ? 4 ? 7 cos? ) 2 ? ( y ? 7 sin ? ) 2 ? 1 ,(? ? R) , 过圆 N 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE, PF ,切点为 E , F ,求 CE ? CF 的最大值。

2 2 10. 已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-y+1-m=0。 (1)求证:对任意 m∈ R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A 、B ; (2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线。

11. 已知圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 2a2 ? 4a ? 0 (0 ? a ? 4) 的圆心为 C,直线 l : y ? x ? m 。 (1)若 m ? 4 ,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (2) 若直线 l 是圆心下方的切线,当 a 在 (0, 4] 变化时,求 m 的取值范围。

12.已知:圆 O:x ? y ? 1 ,和点 P(?2,0) ,过点 P 的直线 l 交圆 O 与 A, B , (1)求 ?OAB 面积最大时的直线 l 的方程;
2 2

(2)平面上是否存在异于点 P 的定点 Q ,使得圆 O 上任意一点 M ,满足 存在,求出 Q 点的坐标,若不存在,请说明理由

MP 为常数,若 MQ

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