当前位置:首页 >> 数学 >>

2.2直线、平面平行的判定及其性质


2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定
【目标要求】 1.了解直线与平面、平面与平面平行的概念. 2.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义,并会用文字语言、符号语 言、图形语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理. 3.能运用直线与平面平行的判定定理、 平面与平面平行的

判定定理证明一些空间线面关 系的简单问题. 【基础知识】 知识点一 直线与平面平行的判定定理 文字语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行 简记为:线线平行,则线面平行 符号语言 图形语言

a ? ? , b ? ? 且 a∥b ? a∥?

【拓展】 判定直线与平面平行有三种方法: (1)利用定义:证明直线 a 与平面 ? 没有公共点.这一方法直接证明是很困难的,往往 借助于反证法来证明. (2)利用直线与平面平行的判定定理: a ? ? , b ? ? , a∥ b ,则 a∥? .使用定理时, 一定要说明“平面外的一条直线和平面内的一条直线平行”,若不注明和平面内的直线平行, 则证明过程不完备.因此,要证明 a∥? ,则必须在平面 ? 内找一条直线 b ,使得 a∥ b ,从 而达到证明的目的. (3)在学过面面平行后,还可用面面平行的性质来证明. 例示:如图 2.2-1,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, E , F 分别是 PB, PC

的中点,求证: EF∥ 平面 PAD . 证明:在 ? PBC 中,因为 E , F 分别是 PB, PC 的中点,所以 EF∥BC . 又因为 BC∥AD ,所以 EF∥AD .因为 AD ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD , 所以 EF ∥平面 PAD .

【提示】利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时,必须具备三个条件:平面外 的一条直线、平面内的一条直线、两直线平行.注意三个条件缺一不可. 知识点二 平面与平面平行的判定定理 文字语 言 符号语 言 行 一个平面的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平

a?? ? b?? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? ∥? a∥? ? ? b∥? ? ?

图形语 言

【拓展】 1.平面与平面平行的判定定理的推论: 若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的两条相交直线,则这两个平面平行. 2.常见的面面平行的判定方法 (1)利用定义:两个平面没有公共点 (2)归纳为线面平行: ①平面 ? 内的所有直线(任一直线)都平行于平面 ? ,则 ?∥? ;

②判定定理:平面 ? 内的两条相交直线 a , b 都平行于平面 ? ,则 ?∥? ,即

a?? ? b?? ? ? ? a ? b ? P ? ? ?∥? ,五个条件缺一不可,应用时,关键是在 ? 内找到与 ? 平行的两 a∥? ? ? b∥? ? ?
条相交直线 a , b . (3) 划归为线线平行: 平面 ? 内的两条相交直线与平面 ? 内的两条相交直线分别平行, 则 ?∥? .(证明后可用) (4)利用平行平面的传递性:两个平面同时和第三个平面平行,则这两个平面平行. 例示:如图 2.2-2,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,求证:平面 AB 1D 1 ∥平面 C1BD .

证明:因为 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为正方体, 所以 D1C1 // ? A1B1 . 又因为 AB // ? A1B1 ,所以 D1C1 // ? AB . 所以四边形 D1C1BA 为平行四边形. 所以 D1 A∥C1B . 因为 D1 A ? 平面 C1BD , C1B ? 平面 C1BD , 所以又线面平行的判定定理,得 D1 A∥平面 C1BD . 同理, D1B1∥平面 C1BD . 又因为 D1 A ? D1B ? D1 ,

所以平面 AB1D1 ∥平面 C1BD .

应用能力
应用点一 直线与平面平行的判定

巧提升

例 1、在四面体 A ? BCD 中, M , N 分别是 ? ABD 和 ? BCD 的重心,求证: MN∥ 平 面 ADC . 证明: 如图 2.2-3 所示, 连接 BM , BN 并延长, 分别交 AD, DC 于点 P, Q 两点, 连接 PQ . 因为 M , N 分别是 ? ABD 和 ? BCD 的重心,所以 BM : MP ? MN : NQ ? 2 :1 . 所以 MN∥PQ . 又因为 MN ? 平面 ADC , PQ ? 平面 ADC , 所以 MN∥ 平面 ADC . 总结:把握好线面平行的判定定理的条件.判定定理可简记为“内、外、平行”三点,任 何一点不成立,都会产生非平行的位置关系.

例 2、正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于边 AB ,在 AE, BD 上各有一点

P, Q ,且 AP ? DQ .
求证: PQ∥ 平面 BCE . 证明:如图 2.2-4,作 PM ∥AB ,交 BE 于点 M ,作 QN∥AB ,交 BC 于点 N ,连 结 MN .① 因为正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB ,所以 AE ? BD . 因为 AP ? DQ ,所以 PE ? BQ . 因为 PM∥AB∥QN , AB ? CD .

所以

PM PE BQ QN ? ? ? .② AB AE BD DC

所以 PM ? QN ,即 PM ∥ QN .

?

所以四边形 PMNQ 为平行四边形. 所以 PQ∥MN .③ 因为 PQ ? 平面 BCE ,且 MN ? 平面 BCE , 所以 PQ∥ 平面 BCE .

过程释疑: ①作 PM∥AB,QN∥AB ,就可得出 PM∥QN ,为下一步证明四边形 PMNQ 为平 行四边形做准备. ②因为 PM ∥AB ,所以 ? EMP∽? BCD . 所以

BQ QN PM PE BQ QN ? ? ? ? ,有因为 PE ? BQ, AE ? BD ,所以 BD DC AB AE BD DC

③由 PM∥QN ,且 PM ?QN ,得四边形 PMNQ 为平行四边形,即可得 PQ∥MN , 这样就在平面 BCE 中找到一条直线 MN ,使 MN∥PQ . 证明直线与平面平行的常用方法 (1)定义法:证明直线与平面没有公共点,通常要借助反证法来证明. (2)判定定理法:在平面内找到一条直线与已知直线平行.

应用点二 平面与平面平行的判定 例 3、如图 2.2-5 所示,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,点 D, E 分别是 BC , B 1C1 的中点, 求证:平面 A1 EB ∥平面 ADC1 .

证明:由三棱柱性质,知 B1C1∥BC , BC ? B1C1 ,又因为 D, E 分别为 BC , B1C1 的中 点,所以 C1E∥DB, C1E ? DB .① 所以四边形 C1DBE 为平行四边形. 所以 EB∥C1D 又因为 C1 D ? 平面 ADC1 , EB ? 平面 ADC1 , 所以 EB∥ 平面 ADC1 .② 如图 2.2-5,连接 DE ,同理 EB1∥BD, EB1 ? BD . 所以四边形 EDBB1 为平行四边形. 所以 ED ∥ B1B, ED ? B1B . 因为 B1B ∥ A 1 A, B 1B ? A 1 A (棱柱的性质), 所以 ED∥A 1 A, ED ? A 1A . 所以四边形 EDAA1 为平行四边形. 所以 A 1E∥AD . 又因为 A1E ? 平面 ADC1 , AD ? 平面 ADC1 , 所以 A 1E ∥平面 ADC1 ,③

EB ∥平面 ADC1 , 因为 A 1E ∥平面 ADC1 ,

A1E ? 平面 A1 EB , EB ? 平面 A1 EB ,且 A1E ? EB ? E ,④
所以平面 A1 EB ∥平面 ADC1

【过程释疑】 ①由棱柱的性质可知侧面都是平行四边形,故 B1C1∥ BC ,结合 D, E 分别是 BC , B1C1

=

的中点,则 C1E ∥ DB ,为证明四边形 C1DBE 为平行四边形提供条件.

=

②结合线面平行的判定定理,利用好“内、外、平行”三点判定线面平行. ③利用线面平行的判定定理得 A 1E ∥平面 ADC1 ,为证明面面平行做准备. ④在利用面面平行判定定理时,不要忘记两直线为相交直线. (1)注意题中几何体,如棱柱、棱锥、棱台等的性质的应用. (2)证明面面平行的基本思路:线线平行 ? 线面平行 ? 面面平行 应用点三 线面平行、面面平行的综合应用 例 4、如图 2.2-6,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, S 是 B 1D 1 的中点, E, F , G 分别是

BC , DC , SC 的中点.
求证:(1) EG ∥平面 BDD1B1 ;(2)平面 EFG ∥平面 BDD1B1 .

证明:(1)如图 2.2-7,连接 SB . 因为 E , G 分别是 BC, SC 的中点,所以 EG∥SB .① 又因为 SB ? 平面 BDD1B1 , EG ? 平面 BDD1B1 ,所以 EG ∥平面 BDD1B1 . (2)如图 2.2-7,连接 SD . 因为 F , G 分别是 DC , SC 的中点,所以 FG∥SD .② 又因为 SD ? 平面 BDD1B1 , FG ? 平面 BDD1B1 , 所以 FG ∥平面 BDD1B1 . 又因为 EG ? 平面 EFG , FG ? 平面 EFG ,

EG∥ 平面 BDD1B1 , EG ? FG ? G ,③
所以平面 EFG ∥平面 BDD1B1 . 【过程释疑】 ①在 ? SBC 中, EG 是中位线,所以 EG∥SB . ②在 ? SDC 中, FG 是中位线,所以 FG∥SD . ③应用两平面平行的判定定理时,必须是两条相交直线. 线面、面面平行综合应用的策略 (1)在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行,这三种平行关 系不是孤立的,而是相互联系,并且可以相互转化的.
判定 判定 (2)因为 线线平行 ??? ? 线面平行 ??? ? 面面平行 ,所以对于平行关系的

综合问题的解决,必须要灵活运用三种平行关系的判定定理.

多向思维

新拓展

例 1、已知在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, M , N 分别是 A ' D ', A ' B ' 的中点,在该 正方体中是否存在过顶点且与平面 AMN 平行的平面?若存在, 试作出该平面, 并证明你的 结论;若不存在,请说明理由. 分析:根据题意画出正方体,根据平面 AMN 的特点,试着在正方体中找出几条平行于 该平面的直线,然后作出判断,并证明. 解:如图 2.2-8,与平面 AMN 平行的平面有以下三种情况: 下面以图 2.2-8①为例进行证明. 证明:如图 2.2-8①,取 B ' C ' 的中点 E,连结 BD, BE, DE, ME, B ' D ' , 可知四边形 ABEM 是平行四边形, 所以 BE∥AM . 又因为 BE ? 平面 BDE , AM ? 平面 BDE , 所以 AM ∥平面 BDE . 因为 MN 是 ? A ' B ' D ' 的中位线, 所以 MN∥B ' D ' . 因为四边形 BDD ' B ' 是平行四边形,所以 BD∥B ' D ' . 所以 MN∥BD .

又因为 BD ? 平面 BDE , MN ? 平面 BDE . 所以 MN ∥平面 BDE . 又因为 AM ? 平面 AMN , MN ? 平面 AMN ,且 AM ? MN ? M , 所以由平面与平面平行的判定定理可得,平面 AMN ∥平面 BDE .

解后反思:本题是一道开放型的题目,答案不唯一,但依据都是平面与平面平行的判定 定理,对于开放性问题,要仔细观察题目本身的特点,结合相应的定理,大胆地进行猜想, 然后给予证明.

易错易混
例 2、如果两条平行直线 a , b 中的 a∥? ,那么 b∥ ? .这个命题正确吗?为什么? 分析:由于 b 与 ? 的位置关系不确定,故在判断该命题时,要注意分析 b ? ? 和 b ? ? 两种情况. 解:这个命题不正确.理由:当 b ? ? 时,因为 a∥? ,所以在平面 ? 内必存在一条直 线 c ,使 a∥c . 又因为 a∥ b ,所以 b∥c ,所以 b∥ ? . 当 b ? ? 时,仍满足题意. 综上所述, b 与 ? 的位置关系是 b∥ ? 或 b ? ? . 解后反思: 本例常见的错误是利用线面平行的判定定理时, 忽略了定理使用的前提条件 必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行. “ b ? ? ”这种情况经常被忽略,从而导 致错误.

高效训练
1.下列说法正确的是( )

速提能

①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面呢任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;

④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行. A. ①② B. ②④ C. ②③④ D. ③④

2.若线段 AB, BC , CD 不共面, 则直线 BD 与平面 MNP 的 M , N , P 分别为它们的中点, 位置关系为( A. 平行 ) B. 可能相交 C. 相交 D. 可能垂直 )

3.在正方体 EFGH ? E1FG 1 1H1 中,下列四对截面彼此平行的一对是( A. 平面 E1FG 与平面 EGH1 C. 平面 F1 H1 H 与平面 FHE1 B. 平面 FHG1 与平面 F1H1G D.平面 E1HG1 与平面 EH1G )

4.如果直线 a 平行于平面 ? ,那么下列命题正确的是( A. 平面 ? 内有且仅有一条直线与 a 平行 B. 平面 ? 内有无数条直线与 a 平行 C. 平面 ? 内不存在与 a 平行的直线 D. 平面 ? 内的任意直线与直线 a 都平行

, 5. 在 空 间 四 边 形 ABCD 中 , E , F 分 别 是 A B
AE : EB ? AF : FD ? 1: 4 ,又 H , G 分别为 BC, CD 的中点,则(
A. BD ∥平面 EFG ,且四边形 EFGH 是平行四边形 B. EF ∥平面 BCD ,且四边形 EFGH 是梯形 C. HG ∥平面 ABD ,且四边形 EFGH 是平行四边形 D. EH ∥平面 ADC ,且四边形 EFGH 是梯形

A上 D 的 点 , 且


6. 在 空 间 四 边 形 A B C D 中 , E , F 分 别 是 AB 和 BC 上 的 点 , 若

A E :

E?B

C : F ? F1 B : 3 AC 与平面 DEF 的位置关系是_____________. ,则对角线

7.若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC , BD 的长分别是 8, 12, 过 AB 的中点 E 且平 行于 BD, AC 的截面四边形的周长为_____________. 8.图 2.2-9 是一几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,E , F , G, H 分别为

PA, PD, PC , PB 的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:
①平面 EFGH ∥平面 ABCD ;② PA ∥平面 BDG ;

③ EF ∥平面 PBC ;④ FH ∥平面 BDG ;⑤ EF ∥平面 BDG . 其中正确结论的序号是___________.

E 是棱柱 BC 的中点,求证: BD1 ∥ 9.如图 2.2-10, ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正四棱柱,
平面 C1DE .

10.如图 2.2-11,在已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,点 M , N , Q 分 别 在 PA, BD, PD 上 , 且 PM : MA ? BN : ND ? PQ : QD . 求 证 : 平 面 MNQ ∥ 平 面

PBC .

M 是棱 AB 的中点,点 N 在侧面 11.如图 2.2-12,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

AA1D1D 上运动,点 N 满足什么条件时, MN ∥ BB1D1D ?

答案专区
AB 上 1. D 解析:如图 2.2-13,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,在平面 ABCD 内,在
任取一点 E ,过点 E 作 EF ∥ AD ,交 CD 于点 F ,则由线面平行的判定定理,知 EF , BC 都平行于平面 ADD1 A 1 ,用同样的方法,可以证明在平面 ABCD 内作出无数条直线都与平 面 ADD1 A 1 平行,但是平面 ABCD 与平面 ADD 1A 1 不平行,因此①②错误,③正确,事实 上,因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,所以这两个平面必无公共点(要注 意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别);④是平面与平面平行的判定定理,正确.

2. A 解析:因为 N , P 分别为 BC , CD 的中点,所以 NP∥BD .因为 NP ? 平面

MNP , BD ? 平面 MNP ,所以 BD ∥平面 MNP .故选 A.
3. A 解析:如图 2.2-14,易证 E1G1 ∥平面 EGH1 , G1F ∥平面 EGH1 . 又因为 E1G1 ? G1F ? G1 ,所以平面 E1FG1 ∥平面 EGH1 .

4. B 解析:如图 2.2-15,直线 B1C1 ∥平面 ABCD , B1C1 ∥ BC , B1C1 ∥ AD ,

B1C1 ∥ EF ( E , F 为中点)等,平面 ABCD 内平行于 BC 的所有直线均与 B1C1 平行,但 AB
与 B1C1 不平行. 5. B 解析:易证 EF ∥平面 BCD . 由 AE : EB ? AF : FD 知, EF∥BD ,且 EF ?

1 BD . 5
1 BD . 2

又因为 H , G 分别为 BC , CD 的中点,所以 HG∥BD ,且 HG ?

综上可知, EF∥HG, EF ? HG ,所以四边形 EFGH 是梯形,且 EF ∥平面 BCD . 6. 平行 解析:因为 AE : EB ? CF : FB ? 1: 3 ,所以 EF∥AC ,又因为 AC ? 平面

DEF , EF ? 平面 DEF ,所以 AC ∥平面 DEF .
7. 20 解析:设所求截面四边形 EFGH ,且 F , G , H 分别是 BC , CD , DA 的中 点,所以 EF ? GH ? 4, FG ? HE ? 6 .所以截面四边形 EFGH 的周长为 2 ? (4 ? 6) ? 20 . 8. ①②③④ 解析:把图像还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判 断即可. 9. 证明:如图 2.21-16 所示,连接 CD1 ,交 DC1 于点 F ,连接 EF ,则 F 是 D1C 的中 点, 又因为 E 是棱 BC 的中点,所以 EF ∥ BD1 . 又因为 BD1 ? 平面 C1 DE , EF ? 平面

C1 DE ,
所以 BD1 ∥平面 C1DE .

10. 证明:因为 PM : MA ? BN : ND ? PQ : QD ,所以 MQ∥AD , NQ∥BP ,

因为平面 BP ? 平面 PBC , NQ ? 平面 PBC ,所以 NQ ∥平面 PBC . 又因为底面 ABCD 为平行四边形,所以 BC∥AD ,所以 MQ∥BC . 因 为 BC ? 平 面 PBC , MQ ? 平 面 PBC , 所 以 MQ ∥ 平 面 PBC , 又 因 为

M Q? N Q ? Q ,
所以根据平面与平面平行的判定定理,得平面 MNQ ∥平面 PBC . 11.解:如图 2.2-17,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,分别取棱 A 1B 1, A 1D 1 , AD 的中点

E,F,G 连接 ME, EF , FG, GM .
因为 M 是 AB 的中点, 所以 ME ∥ AA1 ∥ FG ,且 ME ? AA 1 ? FG . 所以四边形 MEFG 是平行四边形. 因为 ME ∥ BB1 , BB1 ? 平面 BB1D1D , ME ? 平面 BB1D1D , 所以 ME ∥ 平面

BB1D1D .
EF ∥ B1D1 , B1 D1 ? 平面 BB1D1D , EF ? 平面 BB1D1D . 在 ?A 1B 1D 1 中,因为
所以 EF ∥平面 BB1D1D . 又因为 ME ? EF ? E ,且 ME ? 平面 MEFG , EF ? 平面 MEFG , 所以平面 MEFG ∥平面 BB1D1D . 在 FG 上任取一点 N ,连接 MN ,所以 MN ? 平面 MEFG . 所以 MN 与平面 BB1D1D 无公共点. 所以 MN ∥平面 BB1D1D . 总之,当点 N 在平面 AA1D1D 内的直线 FG 上(任意位置)时,都有 MN ∥平面

BB1D1D ,
即当点 N 在矩形 AA1D1D 中过 A1D1 与 AD 的中点的直线上运动时,都有 MN ∥平面

BB1D1D .

2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质
目标要求 1.了解各种平行关系的转化 2.掌握直线与平面平行和平面与平面平行的性质定理, 并能应用定理证明一些简单问题. 基础知识细解读 知识点一 直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直 文字语言 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

a ???
符号语言

? ? a?? ? ? a ??b a ? ? ? b? ?

图形语言

提示: (1)定理的条件有三条:① a ??? ;② a ? ? ;③ a ? ? ? b ,这三个条件缺一不可. (2)当 a ??? 时,过 a 的任何平面与 a 的交线都与 a 平行,即 a 可以和 ? 内的无数条直 线平行,但不是任意一条,平面 ? 内凡是不与 a 平行的直线,都与 ? 异面. (3)定理的作用 ①线面平行 ? 线线平行; ②画一条直线与已知直线平行: 如果一条直线平行于一个平面, 要想在该平面内画一条 与已知直线平行的直线, 只需要过已知直线作一个与已知平面相交的平面, 那么交线就是要 画的与已知直线平行的直线. 例示:如图 2.2-18,过正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 BB1 作一平面交平面 CDD 1C1 于

EE1 .求证: BB1 //EE1 .
证明:因为 BB1 //CC1 , BB1 ? 平面 CDD1C1 , CC1 ? 平面 CDD1C1 , 所以 BB1 // 平面 CDD1C1 ,

又因为 BB1 ? 平面 BEE1B1 , 且平面 BEE1B1 ? 平面 CDD1C1 ? EE1 , 所以 BB1 //EE1 .

知识点二 平面与平面平行的性质 如果两个平行平面同时和第三个平面相 文字语言 交,那么它们的交线平行 符号语言

???? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a ??b

图形语言

提示: (1)定理可简记为“面面平行,则线线平行”.若有面面平行,就有线线平行,它提供了 证明线线平行的一种方法. (2)定理的条件有三个:① ? //? ;② ? ? ? ? a ;③ ? ? ? ? b ,这三个条件缺一不 可. 拓展 两个平面平行的其他性质 性质:①两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 ②夹在两个平行平面之间的平行线段相等 ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 ④如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面平行

⑤两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例 例示 如图 2.2-19,平面 ? ? 平面 ? ,直线 AB , CD 夹在 ? , ? 间,且两直线相交

于点 O,求证:

AO DO ? . BO CO

图 2.2-19 证明:因为 AB 与 CD 相交于点 O,所以 A,B,C,D 四点共面. 因为 ? //? ,且 ? , ? 与平面 ACBD 的交线分别为 AD , BC ,所以 AD //BC . 在平面 ACBD 中, ?AOD∽?BOC ,所以

AO DO ? . BO CO

应用能力

巧提升

应用点一 线面平行、面面平行性质定理的理解 例 1 已知 a,b 表示直线, ? , ? , ? 表示平面,下列推理正确的是( A. ? ? ? ? a , b ? ? ? a //b B. ? ? ? ? a , a //b ? b //a ,且 b //? C. a //? , b //? , a ? ? , b ? ? ? ? //? D. ? //? , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b ? a //b 解析:A 项中,? ? ? ? a ,b ? ? ,则 a,b 能平行也可能相交;B 项中,? ? ? ? a , )

a //b ,则可能 b //? ,且 b //? ,也可能 b 在平面 ? 或 ? 内;C 项中,a //? ,b //? ,a ? ? ,
b ? ? ,根据面面平行的判定定理,若再加上条件 a ? b ? A ,才能得出 ? //? ;D 项为面
面平行的性质定理的符号语言,正确.故选 D. 答案:D 总结: 以符号语言为载体考查位置关系问题的判断题, 是高考中选择题考查立体几何的 主要形式.熟悉相关定理是前提,全面分析问题是关键,合理应用模型及排除法是常用方法.

应用点二 线面平行性质定理的应用 例 2 已知直线 a // 平面 ? ,直线 a // 平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? ? l ,求证: a //l . 分析:已知线面平行,证明线线平行,应考虑构造一个或几个与已知平面相交的平面, 进而运用线面平行的性质定理.

图 2.2-20 证明:如图 2.2-20,过 a 作平面 ? 交平面 a 于 b. 因为 a ? 平面 ? ,所以 a ? b . 同样过 a 作平面 ? 交平面 ? 于 c, 因为 a ? 平面 ? ,所以 a ? c ,所以 b ? c . 又因为 b ? ? , c ? ? ,所以 b ? ? . 又因为 b ? ? , ? ? ? ? l ,所以 b ? l .所以 a ? l . 总结:线面平行的性质定理在证明线线平行时所需的三个条件:①线面平行,即 a ? 平 面 ? ;②面面相交,即平面 ? ? 平面 ? ;③线在面内,即 a ? ? .这三个条件缺一不可. 例 3 如图 2.2-21,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外的一点, M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH ,求证:

PA ? GH .

图 2.2-21 证明:如图 2.2-21,连接 AC ,设 AC ? BD ? O ,连接 MO .因为四边形 ABCD 为平 行四边形,

所以 O 是 AC 的中点. 又因为 M 是 PC 的中点,所以 MO ? PA .① 又因为 MO ? 平面 BDM , PA ? 平面 BDM , 所以 PA ? 平面 BDM ② 又平面 BDM ? 平面 PAG ? GH , PA ? 平面 PAG . 所以 PA ? GH .③ 过程释疑 1.利用 MO 是 ?APC 的中位线得出 MO ? PA . 2.利用线面平行的判定定理得 PA ? 平面 BDA . 3.利用直线与平面平行的性质定理可得出 PA ? GH . 要证明线线平行,可证线面平行;而线面平行又要由线线平行来证,故线线平行与线面 平行的相互转化,即线面平行的判定定理与性质定理的灵活应用是解决这类问题的关键. 应用点三 平面与平面平行的性质定理的应用 例 4 如图 12.2-22, 平面 ? ? 平面 ? ,A,C ? ? ,B, D ? ? , 点 E, F 分别在线段 AB ,

CD 上,且

AE CF ? .求证: EF ? ? . EB FD

图 12.2-22 1 证明:(1)当 AB , CD 共面时,□ 因为 ? ? ? ,且平面 ABDC ? 平面 ? ? AC , 平面 ABDC ? 平面 ? ? BD , 所以 AC ? BD . 所以四边形 ABDC 是梯形或平行四边形.



AE CF ? ,得 EF ? BD . EB FD

又因为 BD ? ? , EF ? ? ,所以 EF ? ? .

图 2.2-23 (2)当 AB , CD 异面时,作 AH ? CD 交于 H,如图 2.2-23. 因为 ? ? ? ,且平面 AHDC 与平面 ? , ? 的交线分别为 AC , HD , 所以 AC ? HD .② 所以四边形 AHDC 为平行四边形. 作 FG ? DH 交 AH 于点 G,连接 EG ,

CF AG ? . FD GH AE CF AE AG ? ? 因为 ,所以 . EB FD EB GH
于是 从而 EG ? BH ,而 BH ? ? , EG ? ? , 所以 EG ? ? . 又因为 FG ? DH , DH ? ? , FG ? ? ,所以 FG ? ? . 因为 EG ? FG ? G ,所以平面 EFG ? ? . 又因为 EF ? 平面 EFG ,所以 EF ? ? .③ 过程释疑 ①如果题目中没有明确给出两条直线的位置关系,那么一定要先考虑是否共面的问题, 再分情况解决. ②由面面平行的性质定理,想到作过 AC , CD 的平面与 ? , ? 都相交,则两条交线

AC , HD 平行.

③已知面面平行的性质: 两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行于另一个平 面,故由平面 EFG ? ? ,得出 EF ? ? . 面面平行的性质定理的应用,往往需要“作”或“找”辅助平面,但辅助平面不可乱作,要 想办法与其他已知条件联系起来, 如本例中作 CD 的平行线 AH 之后, 就与其他量联系起来 了. 例 5 如图 2.2-24,平面 ? ? 平面 ? ? 平面 ? , 两条直线 l,m 分别与平面 ? ,? ,? 相

: 3, 交于点 A, B, C 和点 D, E, F.已知 AC ? 15cm ,DE ? 5cm ,AB:BC ? 1 求 AB ,BC ,
EF 的长.

图 2.2-24 解:如图 2.2-24,连接 AF ,交 ? 于点 G,连接 BG , GE , AD , CF . 因为平面 ? ? 平面 ? ? 平面 ? , 所以 EG ? CF , GE ? AD .①

AB AG DE 1 ? ? ? .② BC GF EF 3 AB 1 ? .③ 所以 AB ? BC 4 15 cm . 所以 AB ? 4
所以

EF ? 3DE ? 15cm , BC ? AC ? AB ?
过程释疑

45 cm . 4

①平面 ? ? 平面 ? ,且两平面与平面 ACF 的交线分别为 BG 和 CF ,故 BG ? CF ; 同理, AD ? GE . ②由平行线分线段成比例定理得比例式. ③由

AB 1 AB AB AB 1 ? ,得 BC ? 3 AB .所以 ? ? ? . BC 3 AB ? BC AB ? 3 AB 4 AB 4

由本例可得面面平行的一个重要性质: 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比

例.此性质是平面中平行线分线段成比例定理在应用中的一个推广,性质中的“两条直线”可 以是共面直线也可以是异面直线.

多向思维新拓展 转化与化归思想
例 1 如图 2.2-25 所示,已知 P 是 ? ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是 AB , PC 的中点,平面 PAD ? 平面 PBC ? l . (1)求证: l ? BC ; (2) MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

图 2.2-25 分析: 欲证明线线平行可考虑线面平行的性质, 欲证明线面平行可考虑线面平行的判定 或面面平行的性质. (1)证明:因为 AD ? BC , AD ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC ,所以 AD ? 平面

PBC .
又因为平面 PBC ? 平面 PAD ? l , 所以 l ? AD . 所以 l ? BC .

图 2.2-26 (2)解:平行.证明如下:如图 2.2-26, 取 CD 的中点 Q,连接 NQ , MQ . 因为 M,N 分别是 AB , PC 的中点,

所以 MQ ? AD , NQ ? PD . 因为 MQ ? NQ ? Q , AD ? PD ? D , 所以平面 MNQ ? 平面 PAD . 因为 MN ? 平面 MNQ ,所以 MN ? 平面 PAD . 解后反思:常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,三种平行关系不是孤立 的,而是相互联系的.面面平行问题常常转化为线面平行问题,而线面平行问题又可转化为 线线平行问题,所以要注意转化思想的应用.

易错易混
例 2 如图 2.2-27, 已知 E, F 分别是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 AA 1 ,CC1 的中点, 求证:四边形 BED1F 是平行四边形.

图 2.2-27 分析:已知 E,F 两点为正方体棱的中点,若证四边形 BED1F 为平行四边形,则先证 B,E, D1 ,F 四点共面,再证四边形 BED1F 为平行四边形.

图 2.2-28 解: 如图 2.2-28, 连接 AC ,BD , 交点为 O; 连接 AC 交点为 O1 , 连接 BD1 , 1 1 ,B 1D 1,

EF , OO1 .
由正方体的性质可得四边形 ACC1 A1 为矩形. 又因为 E,F 分别为 AA1 , CC1 的中点,

所以 EF 过 OO1 的中点 M,同理四边形 BDD1B1 为矩形,

BD1 过 OO1 的中点 M,
所以 EF 与 BD1 相交于点 M. 所以 E,B,F, D1 四点共面. 又因为平面 ADD1 A1

? 平面 BCC1B1 ,

平面 EBFD1 ? 平面 ADD1 A 1 ? ED 1, 平面 EBFD1 ? 平面 BCC1B1 ? BF , 所以 ED1

? BF .

同理, EB ? D1F . 所以四边形 BED1F 是平行四边形. 解后反思:本例中常见的错误是没有证明 E,B,F, D1 四点共面,而是想当然地认为 这四点共面,然后由平面 ADD1 A1 别为 ED1 和 BF ,故而得出 ED1

? 平面 BCC1B1 ,且这两个平面与平面 EBFD1 的交线分

? BF .这种证法的错误根源在于忽视了立体几何中定理的

要求条件,人为地假设条件存在,缺乏严谨性.

高效训练
1.下列说法正确的是( )

速提能

A.如果直线 l ? 平面 ? ,那么过平面 ? 内一点和直线 l 平行的直线在 ? 内 B.若直线 l ? 平面 ? , a ? ? ,则 l ? a C.平面 ? ? 平面 ? ,则 ? 内的任意一条直线都平行于平面 ? 内的所有直线 D.若 ? ? ? , ? ? ? ? a , b ? ? ,则 a ? b 2.设 a,b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,若 a ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? b ,则 ? 内 与 b 相交的直线与 a 的位置关系是( A.平行 ) B.相交

C.异面

D.平行或异面

3.直线 a ? 平面 ? ,平面 ? 内有 n 条互相平行的直线,那么这 n 条直线和直线 a 的位置 关系是( A.全平行 C.全平行或全异面 ) B.全异面 D.不全平行也不全异面 )

4.直线 a ? 平面 ? , 那么这 n 条直线中与直线 a 平行的 ( ? 内有 n 条直线交于一点, A.至少有一条 C.有且只有一条 B.至多有一条 D.没有 )

5.若 ? ? ? , a ? ? ,下列四个说法中,正确的是( ① ? 与 ? 内所有直线平行; ② ? 与 ? 内的无数条直线平行; ③ ? 与 ? 内的任何一条直线都不垂直; ④ ? 与 ? 无公共点. A.①② B.②④ C.②③

D.①③④ )

6.若平面 ? ? 平面 ? ,直线 a ? ? ,点 B ? ? ,则在 ? 内过点 B 的所有直线中( A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数多条与 a 平行的直线 D.存在唯一一条与 a 平行的直线

7.若三条直线 a,b,c 两两异面,它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都 平行,则 a 与 b 所成的角的度数为________. 8.如图 2.2-29, 平面 ? ? 平面 ? ,?ABC ,?A?B?C ? 分别在 ? ,? 内, 线段 AA? ,BB? ,

CC ? 共点于 O,O 在 ? , ? 之间.若 AB ? 2 , AC ? 1 , ?BAC ? 60? , OA : OA? ? 3:2 ,
则 ?A?B?C ? 的面积为________.

图 2.2-29 9.已知 a,b 表示两条直线, ? , ? , ? 表示三个不重合的平面,给出下列命题: ①若 ? ? ? ? a , ? ? ? ? b 且 a ? b ,则 ? ? ? ; ②若 a,b 相交且都在 ? , ? 外, a ? ? , b ? ? , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? . ③若 a ? ? , a ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 a ? ? , b ? ? ,且 a ? b ,则 ? ? ? ; ⑤若 a ? ? , a ? ? , ? ? ? ? b ,则 a ? b . 其中正确命题的序号是________.

AB ? 2 ,点 E 为 AD 的中点,点 F 10.如图 2.2-30,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
在 CD 上.若 EF ? 平面 AB1C ,则线段 EF 的长度等于________.

图 2.2-30 11. 如图 2.2-31 ,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, M 是 AC 1M 1 1 的中点,平面 AB

? 平面

BC1 N , AC ? 平面 BC1 N ? N ,求证:N 为 AC 的中点.

图 2.2-31

12.如图 2.2-32,已知 A,B,C,D 四点不共面,且 AB ? ? ,CD ? ? , AC ? ? ? E ,

AD ? ? ? F , BD ? ? ? H , BC ? ? ? G .求证:四边形 EFHG 是平行四边形.

图 2.2-32

答案专区
1.A 解析:直线 l 与平面 ? 内一点确定一个平面,该平面与平面 ? 交于一条直线,此 直线与直线 l 平行, 故 A 项正确; 由线面平行的定义, 知 l 与 ? 没有公共点, 但不一定平行, 可能异面,故 B 项不正确;由面面平行的定义,知平面 ? 与 ? 没有公共点,则两个平面内 的直线可能平行,也可能异面,故 C 项不正确;D 项不正确,因为 a 可能平行于 b,也可能 与 b 相交. 2.C 解析:因为 a ? ? ,所以 a 与 ? 内的直线没有公共点,所以 a 与 ? 内的直线的位 置关系是异面或平行,又可证得 a ? b ,所以 ? 内与 b 平行的直线与 a 平行,? 内与 b 相交 的直线与 a 异面.故选 C. 3.C 解析:过直线 a 作一平面 ? ,使 ? ? ? ? b ,则 a ? b .若这 n 条直线与直线 b 平 行或重合,则直线 a 就与这 n 条直线平行,否则异面. 4.B 解析: 直线 a 和该交点确定一个平面, 由线面平行的性质可得, 此平面与平面 ? 的 交线与 a 平行,故至多有一条. 5.B 解析:因为 ? ? ? , a ? ? ,所以 ? ? ? ,所以 ? 与 ? 无公共点, ? 与 ? 内的

无数条直线平行,故②④正确,①③错误. 6.D 解析:因为 ? ? ? ,所以两平面无公共点.因为 a ? ? , B ? a ,所以过 a 与 B 可 以确定一个平面 ? ,设 ? ? ? ? l , ? ? ? ? a ,由面面平行的性质定理可知 a ? l ,且 l 是 过点 B 的直线. 7.60° 解析:在已知平面 ? 内分别作 a? ? a , b? ? b , c? ? c (a,b,c 为已知的三条

异面直线),则 a? , b ? 、 c ? 所成的角即为异面直线 a,b,c 所成的角.由已知异面直线所成 的角均相等,得 a 与 b 所成的角的度数为 60° . 8.

2 3 9

















?ABC∽?A?B?C ?

.





S?ABC ?

1 1 AC ?( AC ? s i ? ? n ? 6 2 2

? ?0 ? ? ?) ?

? 3 3 4 2 3 1 ,所以 2 S?A?B?C? ? S?ABC ? . ? ?? 2 2 9 2 ?

9.②⑤ 解析:①错误,? 与 ? 也可能相交;②正确,依题意,由 a,b 确定的平面 ? , 满足 ? ? ? , ? ? ? ,故 ? ? ? ,③错误, ? 与 ? 也可能相交;④错误, ? 与 ? 也可能相 交;⑤正确,由线面平行的性质定理可知. 10. 2

EF ? 平面 ABCD ,平面 ABCD ? 平面 解析:因为 EF ? 平面 AB 1 C ,且

AB1 C ? AC,所以 EF ? AC .又因为 E 为 AD 的中点,所以 EF 为 ?ACD 的中位线,所以
EF ? 1 1 AC ? ? 2 2 ? 2 . 2 2

11. 证明:因为平面 AB1M

? 平面 BC1 N ,平面 ACC1 A1 ? 平面 AB1 M ? AM ,平面

ACC1 A1 ? 平面 BC1 N ? C1N ,
所以 C1 N ? AM . 又因为 AC

? AC 1 1,

所以四边形 ANC1M 为平行四边形.

C1M ? 所以 AN ?

1 1 A1C1 ? AC . 2 2

所以 N 为 AC 的中点. 12.证明:因为 AB ? ? ,平面 ABC ? 平面 ? ? EG , 所以 EG ? AB . 同理, FH ? AB . 所以 EG ? FH . 又因为 CD ? ? ,平面 BCD ? 平面 ? ? GH ,

所以 GH ? CD . 同理, EF ? CD . 所以 GH ? EF . 所以四边形 EFHG 是平行四边形.


相关文章:
2.2《直线、平面平行的判定及其性质》测试题
2.2《直线、平面平行的判定及其性质》测试题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.2 直线平面平行的判定及其性质一、选择题(共 60 分) 1、若两个平面互相...
2.2直线、平面平行的判定及其性质 教案1
课题 直线平面平行的判定和性质 (1) 教学目标 1.理解并掌握直线和平面平行的定义. 2.了解直线和平面的三种位置关系,体现了分类的思想. 3.通过对比的方法,使...
2.2直线、平面平行的判定及其性质
2.2直线平面平行的判定及其性质_数学_高中教育_教育专区。2016立体几何,高一新课系列教案 2.2 直线平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 2....
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
绝密★启用前 2.2 直线平面平行的判定及其性质考试总分:100 分;考试时间:100 分钟;命题人:陈绪亮 一、选择题(题型注释) 1.如图所示,正方体 ,则 MN 与...
2.2直线、平面平行的判定及其性质
新课标高中数学-必修二导学案§2.2 直线平面平行的判定及其性质 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条...
2.2直线、平面平行的判定与性质
§2.2 直线平面平行的判定与性质高考会这样考 1.考查空间平行关系及性质; 2.大题中证明或探索空间的平行关系. 备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行...
2.2 直线、平面平行的判定及其性质1
绝密★启用前 2.2 直线平面平行的判定及其性质考试总分:100 分;考试时间:100 分钟;命题人:陈绪亮 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1....
高中数学必修二2.2 直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
高中数学必修二2.2 直线平面平行的判定及其性质课堂练习及答案_数学_高中教育_教育专区。2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 ? ...
2.2直线、平面平行的判定及其性质练习
2.2直线平面平行的判定及其性质练习_数学_高中教育_教育专区。2.2 直线平面平行的判定及其性质练习一、选择题: 1.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( )...
更多相关标签:
直线与平面平行的判定 | 直线和平面平行的判定 | 直线平面平行的判定 | 直线与平面平行的性质 | 直线和平面平行的性质 | 直线与平面平行性质 | 线面平行的判定与性质 | 平行线性质与判定 |