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内蒙古包头一中2015届高三下学期第三次模拟数学(文)试卷


内蒙古包头一中 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.将答案标在答题纸的相应位置.) 1.设全集 I=R,集合 A={y|y=log2x,x>2},B={x|y= A.A?B B.A∪B=A C.A∩B=? },则( ) D.A∩(?IB)≠? )

/>
2.设 i 是虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i? =( A.﹣2 B.﹣2i ) B.?x∈R,﹣1<sinx<1 D.?x0∈R,tanx0=2 ) C .2 D.2i

3.下列命题中,真命题的是( 2 A.?x∈R,x >0 C.?x0∈R, <0

4.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(

A.34

B.55

C.78

D.89 )

5.已知数列{an}满足:am= (am﹣1+am+1) (m>1,m∈N) ,a4=4,则 a3+a4+a5=( A.4 B.8 C.12 D.16

6.已知两不共线向量 a=(cosα,sinα) ,b=(cosβ,sinβ) ,则下列说法不正确的是( A. (a+b)⊥(a﹣b) B.a 与 b 的夹角等于 α﹣β C.|a+b|+|a﹣b|>2 D.a 与 b 在 a+b 方向上的投影相等

)

7.某高校进行自主招生,先从报名者筛选出 400 人参加考试,再按笔试成绩择优选出 100 人参加面试.现随机抽取 24 名笔试者的成绩,如下表所示:

分数段 [60,65) [65,70) 人数 2 3 4 5 据此估计参加面试的分数线大约是( ) A.75 B.80

[70,75)[75,80) [80,85) 9 1 C.85 D.90

[85, 90)

8.已知函数 f(x)=Asin(πx+φ)的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴的交点, 过点 C 的直线与该图象交于 D,E 两点,则 的值为( )

A.﹣1

B.

C.

D.2

9.已知点 P(x,y)的坐标满足条件

,则 x +y 的最大值为(

2

2

)

A.17

B.18

C.20

D.21

10.如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为 2 锐角 60°的菱形,俯视图为正方 形,则此几何体的内切球表面积为( )

A.8π

B.4π

C.3π
2

D.2π

11.已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点, 若|FA|=2|FB|,则 k=( ) A. B. C. D.

12.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2e)=﹣f(x) (其中 e 为自然对数的底) , 且在区间[e,2e]上是减函数,又 a=lg6,b=log23, ( )
c﹣2

<1 且 lnc<1,则有(

)

A.f(a)<f(b)<f(c) (b) D.f(c)<f(b)<f(a)

B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(c)<f(a)<f

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填写在答题纸的相应位置 上) 13. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S1, S3, S2 成等差数列, 则{an}的公比 q=__________. 14.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合) ,且 EH∥A1D1,过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G.设 AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=2B1F.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内随机选取一点,则该点取 自于几何体 A1ABFE﹣D1DCGH 内的概率为__________.

15.已知双曲线

+

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线

的一个交点为(3,4) ,则此双曲线的方程为__________.

16.已知函数 f(x)= 点个数为__________.

,g(x)=lnx,则函数 y=f(x)﹣g(x)的零

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.将 答案填写在答题纸的相应位置.) 17.△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 18.空气质量指数 PM2.5 (单位:μg/m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个 值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污 染
3

甲、乙两城市 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM2.5 进行监测,获得 PM2.5 日均浓度指数 数据如茎叶图所示: (Ⅰ)根据你所学的统计知识分别写出甲、乙两城市 15 天内空气质量的中位数,并分析两 城市空气质量哪个较好? (Ⅱ)王先生到乙地出差 5 天,已知该 5 天是空气质量最好的五天,王先生要在这 5 天中选 择两天出去游玩,求这两天恰好有一天空气质量类别为优的概率.

19.如图,BC 为圆 O 的直径,D 为圆周上异于 B、C 的一点,AB 垂直于圆 O 所在的平面, BE⊥AC 于点 E,BF⊥AD 于点 F. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACD; (Ⅱ)若 AB=BC=2,∠CBD=45°,求四面体 BDEF 的体积.

20.已知椭圆 的点到点 F 的距离最小值为 (Ⅰ)求椭圆方程; .

的左焦点 F 为圆 x +y +2x=0 的圆心,且椭圆上

2

2

(Ⅱ) 已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、 B, 点M ( 为定值. 21.已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性;

) , 证明:

(Ⅱ)对于任意正实数 x,不等式 f(x)>kx﹣ 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 a>3 时,对于任意正实数 x,不等式 f(a+x)<f(a)?e 恒成立.
x

22. (A)如图,△ ABC 内接圆 O,AD 平分∠BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切线交直 线 AD 于点 E. (Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD (Ⅱ)求证:AB?BE=AE?DC.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在以坐标原点 O

为极点,x 轴的正非负半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,圆的极坐标方程为 ρ=4sinθ. (Ⅰ)求直线 l 被圆截得的弦长; (Ⅱ)从极点作圆 C 的弦,求各弦中点的极坐标方程. 24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<|a﹣1|的解集非空,求实数 a 的取值范围.

内蒙古包头一中 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.将答案标在答题纸的相应位置.) 1.设全集 I=R,集合 A={y|y=log2x,x>2},B={x|y= A.A?B B.A∪B=A C.A∩B=? },则( )

D.A∩(?IB)≠?

考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:计算题;集合. 分析:化简集合 A,B,即可得出结论. 解答: 解:由题意,A={y|y=log2x,x>2}=(1,+∞) ,B={x|y= ∴A?B, 故选:A. }=[1,+∞) ,

点评:本题考查集合的包含关系判断及应用,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的 元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集. 2.设 i 是虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i? =( A.﹣2 B.﹣2i C .2 D.2i )

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:把 z 及 代入 +i? ,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值. 解答: 解:∵z=1+i, ∴ ∴ +i? = = . ,

故选:C. 点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 3.下列命题中,真命题的是(
2

)

A.?x∈R,x >0 B.?x∈R,﹣1<sinx<1 C.?x0∈R, <0 D.?x0∈R,tanx0=2

考点:特称命题;全称命题. 专题:简易逻辑. 分析:根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论. 2 解答: 解:A.当 x=0 时,x >0 不成立,即 A 错误. B.当 x= 时,﹣1<sinx<1 不成立,即 B 错误.
X

C.?x∈R,2 >0,即 C 错误. D.∵tanx 的值域为 R,∴?x0∈R,tanx0=2 成立. 故选:D. 点评:本题主要考查含有量词的命题的真假判断,比较基础. 4.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.34

B.55

C.78

D.89

考点:程序框图;程序框图的三种基本逻辑结构的应用. 专题:算法和程序框图. 分析:写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出 z 的值. 解答: 解:第一次循环得 z=2,x=1,y=2; 第二次循环得 z=3,x=2,y=3; 第三次循环得 z=5,x=3,y=5; 第四次循环得 z=8,x=5,y=8; 第五次循环得 z=13,x=8,y=13; 第六次循环得 z=21,x=13,y=21; 第七次循环得 z=34,x=21,y=34; 第八次循环得 z=55,x=34,y=55;退出循环,输出 55, 故选 B 点评:本题考查程序框图中的循环结构,常用的方法是写出前几次循环的结果找规律,属于 一道基础题. 5.已知数列{an}满足:am= (am﹣1+am+1) (m>1,m∈N) ,a4=4,则 a3+a4+a5=( A.4 B.8 C.12 D.16

)

考点:数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. 分析:直接由数列递推式得到数列{an}为等差数列,由等差数列的性质结合已知条件求得 a3+a4+a5. 解答: 解:由 am= (am﹣1+am+1) (m>1,m∈N) ,得 数列{an}是等差数列, ∴a3+a4+a5=3a4, 又 a4=4, ∴a3+a4+a5=3×4=12. 故选:C. 点评:本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定及等差数列的性质,是中档题.

6.已知两不共线向量 a=(cosα,sinα) ,b=(cosβ,sinβ) ,则下列说法不正确的是( A. (a+b)⊥(a﹣b) B.a 与 b 的夹角等于 α﹣β C.|a+b|+|a﹣b|>2 D.a 与 b 在 a+b 方向上的投影相等 考点:平面向量数量积的运算. 分析:根据向量数量积的坐标运算法则对选项进行逐一验证即可. 因为 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ) ,a﹣b=(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ) , 所以(a+b)?(a﹣b)=(cosα+cosβ) (cosα﹣cosβ)+(sinα+sinβ) (sinα﹣sinβ)=0 可得(a+b)⊥(a﹣b) 故 A 对. 又因为 cos<a,b>= =cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α﹣β) ,

)

<a,b>=|α﹣β|,故 B 不对 得到答案. 解答: 解:∵a=(cosα,sinα) ,b=(cosβ,sinβ) ∴a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ) ,a﹣b=(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ) , (a+b)?(a﹣b)=(cosα+cosβ) (cosα﹣cosβ)+(sinα+sinβ) (sinα﹣sinβ)=0 ∴(a+b)⊥(a﹣b) 故 A 对. cos<a,b>= =cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α﹣β) ,

∴<a,b>=|α﹣β|,故 B 不对 故选 B. 点评:本题主要考查向量数量积的运算.要明确两向量互相垂直时,二者的数量积等于 0. 7.某高校进行自主招生,先从报名者筛选出 400 人参加考试,再按笔试成绩择优选出 100 人参加面试.现随机抽取 24 名笔试者的成绩,如下表所示: 分数段 [60,65) [65,70) [70,75)[75,80) [80,85) [85, 90) 人数 2 3 4 5 9 1 据此估计参加面试的分数线大约是( ) A.75 B.80 C.85 D.90 考点:用样本的数字特征估计总体的数字特征;收集数据的方法. 专题:概率与统计. 分析:利用样本平均数值总体平均数. 解答: 解:∵ (62.5×2+67.5×3+72.5×4+77.5×5+82.5×9+87.5×1)≈76.5,

∴估计参加面试的分数线大约是 80. 故选:B. 点评:本题考查面试分数线的估计,解题时要认真审题,是基础题. 8.已知函数 f(x)=Asin(πx+φ)的部分图象如图所示,点 B,C 是该图象与 x 轴的交点, 过点 C 的直线与该图象交于 D,E 两点,则 的值为( )

A.﹣1

B.

C.

D.2

考点:y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;平面向量数量积的运算. 专题:三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析:根据三角函数的图象和性质,求出函数的周期,利用向量的基本运算和向量的数量积 定义即可得到结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=sin(2πx+φ)的周期 T= 则 BC= =1,则 C 点是一个对称中心, 则根据向量的平行四边形法则可知: ∴ =2 ? =2| =2
2

=2,

, | =2×1 =2.
2

=

故选:D. 点评:本题主要考查向量的数量积运算,利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键.

9.已知点 P(x,y)的坐标满足条件

,则 x +y 的最大值为(

2

2

)

A.17

B.18

C.20

D.21

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 2 2 解答: 解:设 z=x +y ,则 z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方, 作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知, 则 OC 的距离最大, 由
2 2

,解得

,即 C(3,3) ,

则 z=x +y =9+9=18, 故选:B

点评:本题主要考查线性规划的应用,结合数形结合是解决本题的关键. 10.如图,一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为 2 锐角 60°的菱形,俯视图为正方 形,则此几何体的内切球表面积为( )

A.8π

B.4π

C.3π

D.2π

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由题意可知,该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心,进而可求此几何体的内 切球的半径,即可得到此几何体的内切球表面积. 解答: 解:由于此几何体三视图的正视图和侧视图为边长为 2 锐角 60°的菱形,俯视图为 正方形, 则该几何体的内切球的球心即为该几何体的中心,即是正方形的中心. 由此几何体三视图可知,几何体每个面的三边长分别为 设此几何体的内切球的半径为 r,则由体积相等得到: = 解得 r= ,则此几何体的内切球表面积为 ,

故答案为 C. 点评:本题考查由几何体的三视图求其内切球的表面积问题,属于基础题. 11.已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点, 若|FA|=2|FB|,则 k=( )
2

A.

B.

C.

D.

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;压轴题. 分析:根据直线方程可知直线恒过定点,如图过 A、B 分别作 AM⊥l 于 M,BN⊥l 于 N, 根据|FA|=2|FB|, 推断出|AM|=2|BN|, 点 B 为 AP 的中点、 连接 OB, 进而可知 ,

进而推断出|OB|=|BF|,进而求得点 B 的横坐标,则点 B 的坐标可得,最后利用直线上的两 点求得直线的斜率. 2 解答: 解:设抛物线 C:y =8x 的准线为 l:x=﹣2 直线 y=k(x+2) (k>0)恒过定点 P(﹣2,0) 如图过 A、B 分别作 AM⊥l 于 M,BN⊥l 于 N, 由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|, 点 B 为 AP 的中点、连接 OB, 则 ,

∴|OB|=|BF|,点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为 故选 D ,

点评:本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了对抛物线的基础知识的灵活运用. 12.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2e)=﹣f(x) (其中 e 为自然对数的底) , 且在区间[e,2e]上是减函数,又 a=lg6,b=log23, ( ) A.f(a)<f(b)<f(c) (b) D.f(c)<f(b)<f(a) 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用.
c﹣2

<1 且 lnc<1,则有(

)

B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(c)<f(a)<f

分析:根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,得到函数的对称性,利用 a,b,c 的大小关 系结合函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:由( )
c﹣2

<1 且 lnc<1 得 2<c<e,

∵f(x)是奇函数, ∴f(x+2e)=﹣f(x)=f(﹣x) , ∴函数 f(x)关于 x=e 对称, ∵f(x)在区间[e,2e]上是减函数, ∴f(x)在区间[0,e]上是增函数, ∵0<lg6<1,1<log23<2, ∴0<a<b<c, ∵f(x)在区间[0,e]上是增函数, ∴f(a)<f(b)<f(c) , 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较, 根据函数的对称性和单调性之间的关系是解决本题 的关键,综合考查了函数的性质. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填写在答题纸的相应位置 上) 13.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1,S3,S2 成等差数列,则{an}的公比 q=﹣ .

考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: 依题意有 的公比 q. 解答: 解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S1,S3,S2 成等差数列, ∴依题意有 由于 a1≠0,故 2q +q=0, 又 q≠0,解得 q=﹣ . 故答案为:﹣ . 点评:本题考查等比数列的公比的求法,是基础题,解题时要注意等差数列和等比数列的性 质的合理运用. 14.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合) ,且 EH∥A1D1,过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交,交点分别为 F,G.设 AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=2B1F.在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 内随机选取一点,则该点取 自于几何体 A1ABFE﹣D1DCGH 内的概率为 .
2

, 从而 2q +q=0, 由此能求出{an}

2



考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,得到几何体 A1ABFE﹣D1DCGH 和 EB1F﹣HC1G 是 等高的五棱柱和三棱柱, 根据柱体的体积公式可得几何体 EB1F﹣GC1H 的体积等于长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 体积的 , 由此利用几何概型计算公式即可算出所求的概率. 解答: 解:因为 EH∥A1D1,则 EH∥B1C1,所以 EH∥平面 B1C1CB, 过 EH 的平面与平面 B1C1CB 交于 FG,则 EH∥FG, 所以易证明几何体 A1ABFE﹣D1DCGH 和 EB1F﹣HC1G 是等高的五棱柱和三棱柱, 由于在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=2B1F, 则 B1E= ,B1F= .

由几何概型可知,长方体内任一点取自于几何体 A1ABFE﹣D1DCGH 内的概率为:

P=1﹣

=1﹣

=1﹣

=



故答案为:



点评:本题着重考查了正方体的性质、柱体体积公式和几何概型及其应用等知识,属于中档 题.

15.已知双曲线

+

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线

的一个交点为(3,4) ,则此双曲线的方程为



=1.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析:根据题意,点(3,4)到原点的距离等于半焦距,可得 a +b =25.由点(3,4)在 双曲线的渐近线上,得到 = ,两式联解得出 a=3 且 b=4,即可得到所求双曲线的方程. 解答: 解:∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上, 2 2 ∴c=5,可得 a +b =25…① 又∵点(3,4)在双曲线的渐近线 y= x 上, ∴ = …②,

①②联解,得 a=3 且 b=4,可得双曲线的方程



=1.

故答案为:



=1.

点评:本题给出双曲线满足的条件,求双曲线的方程,考查了双曲线的标准方程与简单几何 性质等知识,属于中档题.

16.已知函数 f(x)= 点个数为.

,g(x)=lnx,则函数 y=f(x)﹣g(x)的零

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:作图题. 分析:在同一坐标系中画出函数函数 f(x)与函数 y=log4x 的图象,两函数图象交点的个数 即为函数 y=f(x)﹣log3 x 的零点的个数. 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣log4x=0 得 f(x)=log4x ∴函数 g(x)=f(x)﹣log4x 的零点个数即为函数 f(x)与函数 y=log4x 的图象的交点个数, 在同一坐标系中画出函数 f(x)与函数 y=log4x 的图象,如图所示, 有图象知函数 y=f(x)﹣log4 x 上有 3 个零点. 故答案为:3 个.

点评:此题是中档题.考查函数零点与函数图象交点之间的关系,体现了转化的思想和数形 结合的思想,体现学生灵活应用图象解决问题的能力. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.将 答案填写在答题纸的相应位置.) 17.△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 考点:余弦定理;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质得到 a+c=2b,再利用正弦定理及 诱导公式变形即可得证; (Ⅱ)由 a,b,c 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,将 c=2a 代入表示出 b, 利用余弦定理表示出 cosB,将三边长代入即可求出 cosB 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b, 由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB, ∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C) , 则 sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)∵a,b,c 成等比数列, 2 ∴b =ac, 2 2 将 c=2a 代入得:b =2a ,即 b= a, ∴由余弦定理得:cosB= = = .

点评:此题考查了余弦定理,等差、等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 18.空气质量指数 PM2.5 (单位:μg/m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个 值越高,就代表空气污染越严重: PM2.5 日均浓度 0~35 35~75 75~115 115~150 150~250 >250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级
3

空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污 染 甲、乙两城市 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM2.5 进行监测,获得 PM2.5 日均浓度指数 数据如茎叶图所示: (Ⅰ)根据你所学的统计知识分别写出甲、乙两城市 15 天内空气质量的中位数,并分析两 城市空气质量哪个较好? (Ⅱ)王先生到乙地出差 5 天,已知该 5 天是空气质量最好的五天,王先生要在这 5 天中选 择两天出去游玩,求这两天恰好有一天空气质量类别为优的概率.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据茎叶图的知识,以及中位数的定义即可求出们根据中位数即可判断甲地的空 气质量要比乙地好; (2)空气质量最好的五天中优的有 3 天,用 A,B,C 表示,良的有 2 天,用,D,E 表示, 王先生要在这 5 天中选择两天出去游玩,基本事件有 10 种,其中这两天恰好有一天空气质 量类别为优共 6 种,根据概率公式计算即可. 解答: 解: (1)中位数甲:41 乙:69, 甲地的空气质量要比乙地好,可以通过茎叶图中心位置、中位数、集中程度、个体差异等方 面进行描述; (2)空气质量最好的五天中优的有 3 天,用 A,B,C 表示,良的有 2 天,用,D,E 表示, 王先生要在这 5 天中选择两天出去游玩,基本事件有 10 种,分别为 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,其中这两天恰好有一天空气质量类别 为优,有 AD,AE,BD,BE,CD,CE,共 6 种, 故这两天恰好有一天空气质量类别为优的概率为 . 点评:本题考查茎叶图,等可能事件概率的求法,考查利用数学知识解决实际问题,属于基 础题. 19.如图,BC 为圆 O 的直径,D 为圆周上异于 B、C 的一点,AB 垂直于圆 O 所在的平面, BE⊥AC 于点 E,BF⊥AD 于点 F. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACD; (Ⅱ)若 AB=BC=2,∠CBD=45°,求四面体 BDEF 的体积.

考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:对第(Ⅰ)问,由于 BF⊥AD,要证 BF⊥平面 ACD,只需证 BF⊥CD,故只需 CD⊥ 平面 ABD,由于 CD⊥BD,只需 CD⊥AB,由 AB⊥平面 BDC; 对第(Ⅱ)问,四面体 BDEF 即三棱锥 E﹣BDF,由 CD⊥平面 ABD 及 E 为 AC 的中点知, 三棱锥 E﹣BDF 的高等于 ,在 Rt△ ABD 中,根据 BF⊥AD,设法求出 S△ BDF,即得四

面体 BDEF 的体积. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵BC 为圆 O 的直径,∴CD⊥BD, ∵AB⊥圆 0 所在的平面 BCD,且 CD?平面 BCD,∴AB⊥CD, 又 AB∩BD=B,∴CD⊥平面 ABD, ∵BF?平面 ABD,∴CD⊥BF, 又∵BF⊥AD,且 AD∩CD=D, ∴BF⊥平面 ACD. (Ⅱ)∵AB=BC=2,∠CBD=45°,∴BD=CD= , ∵BE⊥AC,∴E 为 AC 的中点, 又由(Ⅰ)知,CD⊥平面 ABD, ∴E 到平面 BDF 的距离 d= 在 Rt△ ABD 中,有 AD=
2

=

. ,

∵BF⊥AD,由射影定理得 BD =DF?AD, 则 DF= ∴ ,从而 , = . ,

∴四面体 BDEF 的体积=

点评:1.本题考查了线面垂直的定义与性质与判定,关键是掌握线面垂直与线线垂直的相 互转化:“线线垂直”可由定义来实现,“线面垂直”可由判定定理来实现. 2.考查了三棱锥体积的计算,求解时,应寻找适当的底面与高,使面积和高便于求解,面 积可根据三角形形状求解,高可转化为距离的计算.

20.已知椭圆 的点到点 F 的距离最小值为 (Ⅰ)求椭圆方程; .

的左焦点 F 为圆 x +y +2x=0 的圆心,且椭圆上

2

2

(Ⅱ) 已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、 B, 点M ( 为定值.

) , 证明:

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量的坐标运算;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)先求出圆心坐标,再根据题意求出 a、b,得椭圆的标准方程. (II)根据直线的斜率是否存在,分情况设直线方程,再与椭圆方程联立方程组,设出交点 坐标,结合韦达定理根与系数的关系,利用向量坐标运算验证. 2 2 解答: 解: (I) ∵圆 x +y +2x=0 的圆心为 (﹣1, 0) , 依据题意 c=1, a﹣c= ﹣1, ∴a= . ∴椭圆的标准方程是: +y =1;
2

(II)①当直线 L 与 x 轴垂直时,L 的方程是:x=﹣1, 得 A(﹣1, ? =( , ) ,B(﹣1,﹣ )?( ,﹣ ) , )=﹣ .

②当直线 L 与 x 轴不垂直时,设直线 L 的方程为 y=k(x+1) ?(1+2k )x +4k x+2k ﹣2=0,
2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1x2=

,x1+x2=﹣
2



=(x1+ ,y1)?(x2+ ,y2)=x1x2+ (x1+x2)+
2 2 2 2

+k (x1x2+x1+x2+1)
2 2

=(1+k )x1x2+(k + ) (x1+x2) +k +

=(1+k ) (

)+(k + ) (﹣

)+k +

=

+

=﹣2+

=﹣

综上

?

为定值﹣



点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及向量坐标运算.根据韦达定理,巧妙利用根与 系数的关系设而不求,是解决本类问题的关键.

21.已知函数 f(x)=xlnx. (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)对于任意正实数 x,不等式 f(x)>kx﹣ 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)求证:当 a>3 时,对于任意正实数 x,不等式 f(a+x)<f(a)?e 恒成立. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用导数即可求出单调区间; (Ⅱ)分离参数,构造函数,求出函数的最小值即可; (Ⅲ)问题转化为 < ,构造函数 g(x)= ,则问题就是要求
x

g(a+x)<g(a)恒成立,多次构造函数和求导,利用导数和函数最值的关系,问题得以证 明. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=xlnx. ∴f′(x)=1+lnx, 当 x∈(0, )时,f′(x)<0;当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增. (Ⅱ)由于 x>0,f(x)>kx﹣ 恒成立, ∴k=lnx+ . .

构造函数 k(x)=lnx+

∴k′(x)= ﹣

=



令 k′(x)=0,解得 x= , 当 x∈(0, )时,k′(x)<0,当 x∈( ,+∞)时, k′(x)>0. ∴函数 k(x)在点 x= 处取得最小值,即 k( )=1﹣ln2. 因此所求的 k 的取值范围是(﹣∞,1﹣ln2) . (Ⅲ)f(a+x)<f(a)?e ?(a+x)ln(a+x)<alna)?e ? 构造函数 g(x)= ,则问题就是要求 g(a+x)<g(a)恒成立.
x x





对于 g(x)求导得 g′(x)=



令 h(x)=lnx+1﹣xlnx,则 h′(x)= ﹣lnx﹣1,显然 h′(x)是减函数. 当 x>1 时,h′(x)<h′(1)=0,从而函数 h(x)在(1,+∞)上也是减函数. 从而当 x>3 时,h(x)<h(e)=lne+1﹣elne=2﹣e<0,即 g′(x)<0, 即函数 g(x)= 在区间(3,+∞)上是减函数.

当 a>3 时,对于任意的非零正数 x,a+x>a>3,进而有 g(a+x)<g(a)恒成立,结论得 证. 点评: 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力, 具体涉及到用导数来研究函数的单调性、 极值以及函数零点的情况.属于难题 22. (A)如图,△ ABC 内接圆 O,AD 平分∠BAC 交圆于点 D,过点 B 作圆 O 的切线交直 线 AD 于点 E. (Ⅰ)求证:∠EBD=∠CBD (Ⅱ)求证:AB?BE=AE?DC.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:综合题;立体几何. 分析: (Ⅰ)根据 BE 为圆 O 的切线,证明∠EBD=∠BAD,AD 平分∠BAC,证明 ∠BAD=∠CAD,即可证明∠EBD=∠CBD (Ⅱ)证明△ EBD∽△EAB,可得 AB?BE=AE?BD,利用 AD 平分∠BAC,即可证明 AB?BE=AE?DC. 解答: 证明: (Ⅰ)∵BE 为圆 O 的切线, ∴∠EBD=∠BAD, ∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠EBD=∠CAD, ∵∠CBD=∠CAD, ∴∠EBD=∠CBD; (Ⅱ)在△ EBD 和△ EAB 中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB, ∴△EBD∽△EAB, ∴ ,

∴AB?BE=AE?BD, ∵AD 平分∠BAC, ∴BD=DC, ∴AB?BE=AE?DC. 点评:本题考查弦切角定理,考查三角形的相似,考查角平分线的性质,属于中档题.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在以坐标原点 O

为极点,x 轴的正非负半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,圆的极坐标方程为 ρ=4sinθ. (Ⅰ)求直线 l 被圆截得的弦长; (Ⅱ)从极点作圆 C 的弦,求各弦中点的极坐标方程. 考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)求出直线的普通方程,以及圆的普通方程,利用圆心到直线的距离以及半径半 弦长的关系,求直线 l 被圆截得的弦长; (Ⅱ)从极点作圆 C 的弦,设 A(ρ0,θ0) ,弦 OA 的中点 M(ρ,θ) ,列出关系式,即可 求各弦中点的极坐标方程. 解答: 解(Ⅰ)依题,把直线 l 的参数方程化为普通方程为 y= x,… 2 2 2 2 把圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x +y =4y,即 x +(y﹣2) =4,… 则点 C(0,2)到直线 l 的距离 d= ,于是所求的弦长为 ; …

(Ⅱ)记所作的弦为 OA,设 A(ρ0,θ0) ,弦 OA 的中点 M(ρ,θ) ,



,….

消去 ρ0,θ0,可得 ρ=2sinθ 即中点的极坐标方程. 【注】其他方法比照上述方法酌情给分 点评:本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 2 2 2 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得. 24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<|a﹣1|的解集非空,求实数 a 的取值范围. 考点:带绝对值的函数;其他不等式的解法. 专题:计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)不等式等价于① ,或② ,

或③



分别求出这 3 个不等式组的解集,再取并集,即得所求.

(Ⅱ)由绝对值不等式的性质求出 f(x)的最小值等于 4,故有|a﹣1|>4,解此不等式求得 实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6, ∴① ,或② ,或





解①得﹣1≤x<﹣ ,解②得﹣ ≤x≤ ,解③得 故由不等式可得

<x≤2. ,

即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}. (Ⅱ)∵f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|≥|(2x+1)﹣(2x﹣3)|=4,即 f(x)的最小值等于 4, ∴|a﹣1|>4,解此不等式得 a<﹣3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣3)∪(5,+∞) . 点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组来 解.体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.


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