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2013届高三数学二轮复习教案 专题一 第2讲 函数的图象与性质


第 2 讲 函数的图象与性质 真题感悟 1.(2012·陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x|

解析 利用排除法求解. 选项中的函数为非奇非偶函数. C、D 选项中的函数均为奇函数, A B、 但 B、C 选项中的函数不为增函数,故选 D.

2. (2012· 山东)函数

y= 致为

cos 6x 的图象大 2x-2-x

解析 利用函数的奇偶性和函数值的变 化规律求解. cos?-6x? cos 6x ∵y=f(x)= x -x,∴f(-x)= - 2 -2 2 x-2x =-f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原点 对称,排除选项 A;当 x 从正方向趋近 0 时, cos 6x y=f(x)= x 排除选项 B; x 当 - 趋近+∞, 2 -2 x cos 6x 趋近+∞时,y=f(x)= x - 趋近 0,排除 2 -2 x 选项 C.故选择选项 D.

考题分析 高考考查函数的性质主要是单调性、奇偶性与周期性的应用,考查图象时一般以 图象的应用与识别为主,题目立意多样、角度很灵活,高、中、低档题目皆有, 题型有选择题,也有填空题,若为解答题,则与导数相结合. 网络构建

高频考点突破

考点一:函数及其表示 【例 1】(1)(2012· 衡水模拟)函数 y= 1-lg?x+2?的定义域为 A.(0,8] B.(-2,8] C.(2,8] D.[8,+∞) ?log2x, x>0, 1? ? (2)(2012· 石家庄二模)已知函数 f(x)=? -x 则 f(f(1))+f?log32?的 ? ? ?9 +1, x≤0, 值是 A.7 B.2 C.5 D.3
[审题导引] (1)根据函数解析式的结构特征列出不等式组并解之; (2)根据自变量的范围代入解析式求解.
?x+2>0 ?x>-2 ? ? [规范解答] (1)? ?? ?-2<x≤8,∴函数的定义域为(-2,8]. ? ? ?1-lg?x+2?≥0 ?x≤8
? log 3 1 log 4 1 2 (2)∵f(1)=log21=0,log3 <0,∴f(f(1))+f?log32?=f(0)+ 9 +1=90+1+ 3 3 +1 ? ? 2 1

=7. [答案] (1)B (2)A

【规律总结】
1.求函数定义域的类型和相应方法 (1)若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需 构建并解不等式(组)即可. (2)对于复合函数求定义域问题,若已知 f(x)的定义域[a,b],其复合函数 f(g(x))的定义域应由 不等式 a≤g(x)≤b 解出. (3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义. 2.求 f(g(x))类型的函数值 应遵循先内后外的原则;而对于分段函数的求值、图象、解不等式等问题,必须依据条件准 确地找出利用哪一段求解;特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.

【变式训练】 1. 已知函数 f(x)的图象如图所示, 则函数 g(x)= log 2 f(x) 的定义域是________.
解析 要使函数 g(x)有意义,则需 f(x)>0,由函数 f(x)的图象知 2<x≤8,即函数 g(x)= log
2

f(x)的定义域为(2,8].

?f?x?, 1 2.已知函数 f(x)=2x-2x,且 g(x)=? ?f?-x?, 是________. ?2x- 1x, x≥0, ? 2 解析 易知 g(x)=? -x ?2 -2x, x<0, ?

x≥0, x<0,

则函数 g(x)的最小值

∵当 x≥0,g′(x)=(2x+2 x)ln 2>0,∴g(x)min=g(0)=0, - 当 x<0 时,g′(x)=-(2x+2 x)ln 2<0,∴g(x)>g(0)=0. 故函数 g(x)的最小值为 g(0)=0.



考点二:函数的图象

【例 2】(1)(2012·丰台二模)已知函数 y=sin ax+b(a >0)的图象如图所示,则函数 y=loga(x+b)的图象可 能是

ln|x| (2)(2012· 武威模拟)函数 y= x 的图象大致是

[审题导引] (1)利用已知函数的图象求出 a,b 的范围,再选择 y=loga(x+b)的图象; ln|x| (2)利用函数 y= 的性质,结合排除法求解. x 2π [规范解答] (1)由 y=sin ax+b 的图象知其周期 T= >2π, a ∴0<a<1.又∵0<b<1,故选 A. ln|x| (2)∵x=± 是 y= 1 的零点,且当 x>1 时,y>0, x 当 0<x<1 时,y<0,故可排除 A、B. ln x 当 x>0 时,y= ,由于函数 y=x 的增长速度要大于函数 y=ln x 的增长速度, x ln x 故当 x→+∞时,y= →0. x 故可排除 D,选 C.

【规律总结】
函数图象的识别方法 (1)性质法:在观察分析图象时,要注意到图象的分布及变化趋势具有的性质,结合函数的解 析式,从函数的单调性、奇偶性、周期性、定义域、值域、特殊点的函数值等方面去分析函 数,找准解析式与图象的对应关系. (2)图象变换法:根据函数解析式之间的关系,或利用基本初等函数的图象去选择未知函数的 图象.

【变式训练】 x 3.(2012· 兰州模拟)函数 y=sin x,x∈(-π,0) ∪(0,π)的图象可能是下列图象中的

x 解析 因函数 y= 是偶函数,故排除 A, sin x π 又 x∈?0,2?时,x>sin x, ? ? x 即 >1,排除 B,D,故选 C. sin x

4.(2012·湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x) 的图象如图所示,则 y=-f(2-x)的图象为

解析 由 y=f(x)的图象写出 f(x)的解析式.由 y=f(x)的 ?x?0≤x≤1?, ? 图象知 f(x)=? . ? ?1?1<x≤2? 当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2], ?1?0≤x≤1?, ?-1?0≤x≤1?, ? ? 所以 f(2-x)=? ,故 y=-f(2-x)=? .图象应为 B. ? ? ?2-x?1<x≤2? ?x-2?1<x≤2?

考点三:函数的性质及应用 【例 3】(1)(2012·湘潭二模)已知函数 f(x)=x2-cos x,则 f(-0.5),f(0),f(0.6)的大 小关系是 A.f(0)<f(-0.5)<f(0.6) B.f(-0.5)<f(0.6)<f(0) C.f(0)<f(0.6)<f(-0.5) D.f(-0.5)<f(0)<f(0.6) (2)(2012· 聊城二模)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 x∈R 都有 f(x) =f(x+4),当 x∈(-2,0)时,f(x)=2x,则 f(2 012)-f(2 011)的值为 1 A.-2
[审题导引]

1 B.2

C.2

D.-2

(1)利用函数 f(x)的奇偶性与单调性比较各数的大小; (1)f′(x)=2x+sin x,∴当 x>0 时,f′(x)>0,

(2)利用函数的周期性与奇偶性求解. [规范解答]
2

即 f(x)=x -cos x 在(0,+∞)上是增函数,又 f(x)是偶函数,∴f(-0.5)=f(0.5), ∴f(0)<f(-0.5)<f(0.6). (2)由题可知函数的周期为 4, 1 - 故 f(2 012)-f(2 011)=f(0)-f(-1)=0-2 1=- . 2 [答案] (1)A (2)A

【规律总结】
函数性质的综合应用

求解函数奇偶性、单调性与周期性等性质相结合的题目的一般思路,即把自变量化归到已知 区间中,然后根据函数的有关性质进行求解,如例 3 第(1)题中要比较 f(-0.5),f(0),f(0.6)的 大小,就要根据函数的周期性和奇偶性将三个自变量都化归到[0,+∞)内,然后根据函数的单 调性比较它们的大小. [易错提示] 常见周期函数的几种形式 函数周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合,常涉及函数周期的求解,常见形式主 要有以下几种: (1)如果 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=|a-b|; (2)如果 f(x+a)=-f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|; (3)如果 f(x+a)=-f(x),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2a; 1 1 (4)如果 f(x+a)= 或者 f(x+a)=- ,那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2a; f?x? f?x? (5)如果函数 f(x)既有对称中心,又有对称轴,则该函数是一个周期函数,若其中的对称中心为 (a,m),与其相邻的对称轴为 x=b,则该函数的一个周期为 T=4|a-b|.

【变式训练】 5.(2012· 东莞二模)已知函数 f(x)= 则 M+m 的值为________.
|x|-sin x+1 sin x f(x)= =1- , |x|+1 |x|+1 sin x 令 g(x)=- ,易知 g(x)是 R 上的奇函数, |x|+1 设 g(x)的最大值为 a,则其最小值为-a, ∴M=1+a,m=1-a,∴M+m=2. 答案 2 解析

|x|-sin x+1 (x∈R)的最大值为 M,最小值为 m, |x|+1

6. (2012·龙岩模拟)已知函数 f(x+1)是奇函数, f(x-1)是偶函数,且 f(0)=2,则 f(2 012)= A.-2 B.0 C.2 D.3

解析 ∵f(x+1)是奇函数,则函数 y=f(x+1)的图象关于(0,0)对称, ∴函数 y=f(x)的图象关于(1,0)对称,即 f(2-x)+f(x)=0.① ∵f(x-1)是偶函数,即其图象关于直线 x=0 对称, ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称, 即 f(x)=f(-2-x).② 由①②两式得 f(2-x)=-f(-2-x), 即 f(x+4)=-f(x),③ 可得 f(x+8)=f(x),所以函数 y=f(x)的周期 T=8. ∴f(2 012)=f(251×8+4)=f(4),在③式中, 令 x=0 得 f(4)=-f(0)=-2,∴f(2 012)=-2. 答案 A

名师押题高考 【押题 1】在同一个坐标系中画出函数 y=ax,y=sin ax 的部分图象,其中 a>0 且 a≠1,则下列所给图象中可能正确的是

2π 解析 当 a>1 时,y=sin ax 的周期 T= <2π,可排除 A,C. a 2π 当 0<a<1 时,y=sin ax 的周期 T= >2π,可排除 B,故选 D. 答案 D a [押题依据] 高考对函数的图象的考查有识图、用图、作图三个方面,利用函数的性质与函数 图象变换的方法考查对函数图象及性质的理解是高考的热点,本题考查利用函数解析式中参 数范围对函数图象的影响,难度较小,故押此题.

【押题 2】设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对任意 的 x∈[t,t+2],不等式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是 A.[ 2,+∞) B.[ 3, 5) C.[ 2,3) D.[ 3,+∞)
解析 ∵当 x≥0 时,f(x)=x2 且 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x+t)≥2f(x)=f( 2x),且 f(x)是定义在 R 上的单调递增函数,∴x+t≥ 2x,整理得, ( 2-1)x≤t, 由于 y=( 2-1)x 在 x∈[t, t+2]时单调递增, 所以( 2-1)(t+2)≤t, 解得 t≥ 2. 答案 A [押题依据] 利用函数的单调性求解参数的范围,是一类重要的题型,是高考的热点.本题利 用函数的奇偶性推出函数的单调性并能恰当地加以应用,对函数的奇偶性考查较为容易,而 着重考查了函数的单调性,符合高考的要求,故押此题. 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c o m )

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