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山西省忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题


2016 届 高 三 年 级 第 一 次 四 校 联 考 理 科 数 学 试 题
命题:忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学 (满分 150 分,考试时间 120 分)

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.)

/>?1? i ? 1.已知 i 是虚数单位,则复数 ? ? 的值为 ?1? i ?
A. i B. ?i C.1 D. ?1 2.已知全集为 R,集合 M= x x ? 3 ? 2 ,集合 N= ?x ln( x ? 2) ? 0? ,则 M ? (CR N ) ? A. (3,5) B. [3,5) C.(1,3) D.(1,3 ]

5

?

?

3.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 相切,则 p 的值为 A.2 B.3 C.4 D.5
开始

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为
k=0,S=1

A.4 B.8 C.16 D.64
是 k<4? 否 输出 S k=k+1

S=S×2k

5.下列四个选项中错误的是

结束

A.命题“若 x ? 1, 则 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”. B.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题. C.若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 . D. “ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”成立的必要不充分条件. 6.已知 sin ? ? cos? ? ,? ? (0, ? ) ,则 A. 7 7.设 a ? ? A. 40 C. 80
e2 1

1 2

1 ? tan ? ? 1 ? tan ?
C. 3 D. ? 3

B. ? 7

1 a dx ,则二项式 ( x2 ? )5 的展开式中 x 的系数为 x x
B. ? 40 D. ? 80

2 1 2 正视图

8.某几何体的三视图如图示,则此几何体的体积是

4 侧视图

第 8 题图 俯视图

A. C.

20 π 3
10 π 3

B. 6 π D.

16 π 3

9.函数 f ( x) ? 2 cos(? x ?

?
3

) (? ? 0) 的图像与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为

? 的等差 2

数列,要得到函数 g ( x) ? 2sin ? x 的图像,只需将函数 f ( x ) 的图像

? 个单位长度 12 5? C.向右平移 个单位长度 12
A.向左平移

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 3
B.向右平移

10.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个,记下颜色后放回,当 三种颜色的球全部取出时停止取球,则恰好取 5 次球时停止取球的概率为 A.

14 81

B.

20 81

C.

22 81

D.

25 81

11. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, S 表 示 ?ABC 的 面 积 , 若
a c o sB? b c o s A ? c s, iC n S ? (b2 ? c2 ? a 2 ) ,则 B =

1 4

A. 30? B. 45? C. 60? ,( ? ? ) 12. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) , 其导函数为 f ?( x ) , 当 x ?0 若 g ( x) ? xf ( x) ,则满足 g (1) ? g (1 ? 2 x) 的实数 x 的取值范围是 A. (0,1) B. (??,0) ? (1, ??) C. (0, ??)

D. 90? 时, 恒有 xf ?( x) ? f (? x) .

D. (??,0)

第Ⅱ卷(非选择题
?? ?? ?

90 分)
? ? ? ? ?


二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 若 e1 , e2 是两个不共线的单位向量,若 e1 ? e2 与 ke1 ? e2 垂直,则实数 k =

? ? ?? ?

?3x ? y ? 6 ? 0 y ? 14.设变量 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则变量 z ? 的最大值为 . x ?1 ?y ? 3 ? 15. 三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在同一球面上,其中△ ABC 为等边三角形, PA ? 平面 ABC , PA ? 2 AB ? 2a ,则该球的体积是 .
16. 若对于曲线 f ( x) ? ?e x ? x ( e 为自然数对数的底数)的任意切线 l1 ,总存在曲线

g ( x) ? ax ? 2cos x 的切线 l2 ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围为



三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写 在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an2 ? bn, 且 a1 ? 1, a2 ? 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? an ?1

18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC , BC ? AC , BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的 中点. (1)求证: AB1 // 面 BDC1 ; (2)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分) 在一次抽奖活动中,有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则 如下:主办方先从 6 人中随机抽取两人均获奖 1000 元,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人 获奖 600 元,最后还从这 4 人中随机抽取 1 人获奖 400 元。 (1)求甲和乙都不获奖的概率; (2)设 X 是甲获奖的金额,求 X 的分布列和数学期望. 20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F2 是抛物线 y 2 ? 4 x 的 a 2 b2

焦点,过点 F2 垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 所截得的线段长度为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 2 相交于点 Q .请 ???? ???? ? 问:在 x 轴上是否存在定点 M ,使得 MP?MQ 为定值?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 请说明理由. 21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ax( x ? 1) ? ln( x ? 1) ,其中 a ? R . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 ?x ? 0 , f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(选修 4—1 几何证明选讲) (本小题满分 10 分) 如图,过圆外一点 P 的直线交圆 O 于 A、B 两点,PE 是圆 O 的切线,CP 平分∠ APE ,分别与 AE、BE 交于点 C , D . 求证:(1) CE ? DE ; (2)

CA PE ? . CE PB

23.选修 4─4:坐标系与参数方程选讲. (本小题满分 10 分)

设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合,x 轴正半轴与极轴重合, 若已知曲线 C 的极坐标方

? 2 x ? 1? t ? 12 ? 2 2 程为 ? ? ,点 F1、F2 为其左、右焦点,直线 l 的参数方程为 ? 3cos 2 ? ? 4sin 2 ? ?y ? 2 t ? 2 ?
( t 为参数, t ? R ). (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的参数方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离.

]

24.选修 4—5;不等式选讲.(本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? 2x ? 1, x ? R (1)求不等式 f ( x) ? 2 ? 5 的解集; (2)若 g(x) ?

1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f (x) ? f (x-1) ? m

2016 届 高 三 第 一 次 四 校 联 考 数 学 试 题 ( 理 ) 答 案
1-6.ADADDB 13. 1 14. 7-12. DCCABB

3 2

15.

32 3 3 ?a 27

16. ? ?1,2?

? a ? b ?1 17 解:(1) 由 Sn ? an2 ? bn, 且 a1 ? 1, a2 ? 3 ,得 ? ,解得 a ? 1, b ? 0 ?4a ? 2b ? 4
故 Sn ? n 2 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, 2分 3分 5分 6分 9分

an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1

且当 n=1 时上式仍成立,? an ? 2n ? 1 (2) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1? 1 ?1 1? 1 ?? n ? 1 ?Tn ? ?(1 ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2? 3 ?3 5? 2 n ? 1 2 n ? 1 2 n ?1 ? ??
18.解: (Ⅰ)证明:依题可建立如图的空间直角坐标系 ,???1 分 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) ,B1(0,0,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0) , 设 是面 BDC1 的一个法向量,则

12 分

即 又 ∵AB1 (Ⅱ)易知

, 取

. ,即 ????6 分

,所以 面 BDC1,∴AB1//面 BDC1. 是面 ABC 的一个法向量.

. ∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 . 19、 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)设“甲和乙都不获奖”为事件 A ,

????11 分 ????12 分 ????????????1 分

则 P(A)=



答:甲和乙都不获奖的概率为

.

??????????????5 分

(Ⅱ)X 的所有可能的取值为 0,400,600,1000,?????????????6 分

P(X=0)=

,

P(X=400)=

,

P(X=600)=

,

P(X=1000)= ∴X 的分布列为 X P 0 400

, ????????????????10 分 600 1000

? E ( X ) ? 500

11 分 12 分
2

3 ( 1, ? ), 2 20.解析: (Ⅰ)抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为(1,0),则椭圆 C 过点

? a 2 ? b2 ? 1 ? ?a 2 ? 4 2 2 ? , ?1 9 , ? 椭圆C的方程为 x ? y ? 1. ? ? ? 1 2 ? 2 ?b ? 3 4b 2 4 3 则 ?a 解得 ? (4 分)
(Ⅱ)假设在 x 轴上存在定点

M ( x1 , 0) 满足条件,设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(2, 2k ? m),

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 ? 4 3 ? 由 ,得 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .
2 2 ∴ ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0 ,即 4k ? 3 ? m ,? m ? 0 .

2

2

2

2

6分

此时

x0 ? ?

4k 3 4km 4k 3 P (? , ). ? ? , y0 ? kx0 ? m ? 2 m m (8 分) 4k ? 3 m m ,∴

???? 4k 3 ? ? MP ? (? ? x1 , ) ???? m m , MQ ? (2 ? x1 , 2k ? m) ,

???? ???? ? 4k 3 k ? MP ? MQ ? (? ? x1 )(2 ? x1 ) ? (2k ? m) (4 x1 ? 2) ? x12 ? 2 x1 ? 3 m m m = ,10 分 1 9 ?当4 x1 ? 2 ? 0,即x1 ? 时,x12 ? 2 x1 ? 3 ? 2 4. ???? ???? ? 1 9 M ( , 0) MP ? MQ为定值 2 4. ∴存在点 ,使得
21.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x( x ? 1) ? ln( x ? 1) , f ?( x ) ? 2 x ? 1 ?

(12 分)

1 2 x2 ? x ? x ?1 x ?1 1分

1 f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? ? 或x ? 0 2 1 f ?( x) ? 0 ? ? ? x ? 0 2 1 1 ? f ( x) 在 (?1, ? ) 和 (0, ??) 上单调增,在 (? ,0) 上单调减 2 2
3 ? f ( x )极大 =f (- 1 )= -ln 2 2 4 f ( x )极小 =f (0)=0
(Ⅱ)设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x2 ? x) , ?x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 成立. 即 ln( x ? 1) ? a( x ? x) ? 0
2

3分

4分

当 x ? 1 时, ln 2 ? 0 恒成立;

ln( x ? 1) ?a ? 0; x2 ? x ln( x ? 1) 2 ? a ? 0 ;由 ?x ? 0 均有 ln( x ? 1) ? x 成立。 当 0 ? x ? 1 时, x ? x ? 0 , 2 x ?x ln( x ? 1) 1 ? ? (0, ??) ,则只需 a ? 0 ; 故当 x ? 1 时, , 2 x ?x x ?1 ln( x ? 1) 1 ? ? (??, ?1) , 当 0 ? x ? 1 时, 2 则需 ?1 ? a ? 0 , 即 a ? 1 .综上可知对于 ?x ? 0 , x ?x x ?1
当 x ? 1 时, x ? x ? 0 ,
2

都有 f ( x) ? 0 成立,只需 0 ? a ? 1 即可,故所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . 12 分
2 另解:设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? a( x ? x) , f (0) ? 0 ,要使 ?x ? 0 ,都有 f ( x) ? 0 成立,

只需函数函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增即可, 于是只需 ?x ? 0 , f ?( x) ?

1 ? a(2 x ? 1) ? 0 成立, x ?1

当x?

1 2 1 ? (??, 0) , 时a ? ? ,令 2 x ? 1 ? t ? 0 , g (t ) ? ? ( x ? 1)(2 x ? 1) t (t ? 3) 2
1 2 1 1 1 时 f ?( ) ? ? 0 ;当 0 ? x ? , a ? ? , 2 2 3 ( x ? 1)(2 x ? 1) 2

则 a ? 0 ;当 x ?

令 2 x ? 1 ? t ? (?1,0) , g (t ) ? ? 则 a ? 1 ,于是 0 ? a ? 1 .

2 2 关于 t ? (?1,0) 单调递增,则 g (t ) ? g (?1) ? ? ? 1, t (t ? 3) ?1(?1 ? 3)

又当 a ? 1 时, g (0) ? 0, x2 ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, x2 ) 单调递减,而 f (0) ? 0 , 则当 x ? (0, x2 ) 时, f ( x) ? 0 ,不符合题意; 当 a ? 0 时,设 h( x) ? x ? ln( x ? 1) ,当 x ? (0, ??) 时 h?( x) ? 1 ?

1 x ? ? 0, x ?1 1? x

h( x) 在 (0, ??) 单调递增,因此当 x ? (0, ??) 时 h( x) ? h(0) ? 0,ln( x ? 1) ? 0 ,
于是 f ( x) ? x ? a( x ? x) ? ax ? (1 ? a) x ,当 x ? 1 ?
2 2

1 2 时 ax ? (1 ? a) x ? 0 , a

此时 f ( x) ? 0 ,不符合题意. 综上所述, a 的取值范围是 0 ? a ? 1 22.证明: (1) PE 是切线,? ?A ? ?BEP 12 分

? PC 平分 ?APE,? ?A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE

? ?ECD ? ?A ? ?CPA, ?EDC ? ?BEP ? ?DPE
? ?ECD ? ?EDC, EC ? ED
(2)? ?PDB ? ?EDC, ?EDC ? ?ECD, ?PDB ? ?PCE,

? ?BPD ? ?EPC,? ?PBD 相似于 ?PEC ,?
同理, ?PDE 相似于 ?PCA ,?

PE PC ? PB PD

PC CA CA PE ? ? ? PD DE CE PB
( ? 为参数). 5分

23.(1) l : x ? y ? 1 ? 0, C: ?

? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ?

(2)设点 p 的坐标是 (2 cos? , 3 sin ? ) 则d ?

7 sin(? ? ? ) ? 1 2

d max ?

14 ? 2 2

10 分

24.解:(1)由 ? 5 ? f ( x) ? 2 ? 5 , ? 3 ? f ( x) ? 7 , ?7 ? 2 x ? 1 ? 7 , 解集为: x ?4 ? x ? 3? (2)由 g(x) ?

?

5分

1 1 的定义域为 R 知; ? f(x)? f(x - 1) ? m 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? m

对任意实数 x,有 2x ? 1 ? 2x ? 1 ? m ? 0 恒成立 因为 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? 2 x ? 1? ? ? 2 x ? 1? ? 2 ,所以 m ? ?2 10 分

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