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2018年高考数学一轮复习第八章解析几何第53讲曲线与方程课件理


第 八 章 解析几何 第53讲 曲线与方程

考情分析 2016,全国卷Ⅰ, 20(1)T 了解方程的 2016,全国卷Ⅲ, 曲线与曲线的方 20(2)T 程的对应关系. 2015,湖北卷, 20(1)T 分值:3~5分

考纲要求

命题趋势 求满足条 件的动点轨迹 及轨迹方程, 用直接法和定 义法较为普遍.

栏目导 航

板 块 一 板 块 二

板 块 三

板 块 四

? 1.曲线与方程 ? 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元 方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: 这个方程 的解; ? (1)曲线上点的坐标都是____________ ? (2)以这个方程的解为坐标的点都是_________ 曲线上 的点.那么, 这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. ? 曲线可以看作是符合某条件的点的集合,也可看作是适合某 种条件的点的轨迹,因此,此类问题也叫轨迹问题.

? 2.求曲线方程的基本步骤

1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( √ ) (2)方程x2+xy=x表示的曲线是一个点和一条直线.( ×) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.( ×) (4)方程y= x与x=y2表示同一曲线.( ×)

解析:(1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0) 在曲线f(x,y)=0上时,有f(x0,y0)=0.所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0 上的充要条件. (2)错误.方程变为x(x+y-1)=0,所以x=0或x+y-1=0,故方程表示直线x= 0或直线x+y-1=0. (3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴,y轴时,是x2=y2,否则不正确. (4)错误.因为方程y= x 表示的曲线只是方程x=y2表示曲线的一部分,故其不 正确.

? 2.和点O(0,0),A(c,0)距离的平方和为常数c(c≠0)的 点的轨迹方程为_____________________________.
2x2+2y2-2cx+c2-c=0

解析:设点的坐标为(x,y),由题意知 ( ?x-0?2+?y-0?2)2+( ?x-c?2+?y-0?2)2=c, 即x2+y2+(x-c)2+y2=c,即2x2+2y2-2cx+c2-c=0.

? 3.MA和MB分别是动点M(x,y),与两定点A(-1,0) 和B(1,0)的连线,则使∠AMB为直角的动点M的轨 2+y2=1(x≠±1) . 迹方程是_____________x ____________ ? 解析:点M在以A,B为直径的圆上,但不能是A,B 两点.

? y? → → 4.平面上有三个点A(-2,y),B ?0,2? ,C(x,y),若 AB ⊥ BC ,则动点C的轨迹 ? ?
2=8x(x≠0) y 方程为__________________________________.

y? → ? y? → ? 解析:AB=?2,-2?,BC=?x,2?,
? ? ? ?

→ → →→ 由AB⊥BC,得AB· BC=0.
? y? y 2 即2x+?-2?· = 0. ∴动点 C 的轨迹方程为 y =8x(x≠0). ? ?2

5.圆的方程为x2+y2=4,抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线, x2 y 2 + 3 =1(y≠0) 4 则抛物线焦点的轨迹方程是_________________.
解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则??AA1??+
? ?

BB1??=2??OO1??=4,由抛物线定义得??AA1??+??BB1??=??FA??+??FB??,∴??FA??+??FB??=4,故F

点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).

?一 定义法求轨迹方程
? 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条 件推出关于动点的等量关系式,由等量关系 结合曲线定义判断是何种曲线,再设出标准 方程,用待定系数法求解.

? 【例1】 已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x -1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内 切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.
解析:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径 r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以
? ?

PM?? + ??PN?? =(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>2= ??MN?? .由椭圆的定义可知,曲线C是以

M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),其方程为 x2 y2 4 + 3 =1(x≠-2).

?二 直接法求轨迹方程
? 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 ? (1)题目给出等量关系,求轨迹方程.直接代 入即可得出方程. ? (2)题中未明确给出等量关系,求轨迹方 程.可利用已知条件寻找等量关系,得出方 程.

【例2】

(2017· 四川成都模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b)为动点,

x2 y2 F1,F2分别为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率e; → → (2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足 AM ·BM =- 2,求点M的轨迹方程.

解析:(1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). 由题意,可得|PF2|=|F1F2|,即 ?a-c?2+b2=2c,
?c?2 c 整理得2?a? +a-1=0, ? ?

c c 1 1 得a=-1(舍去)或a=2.所以e=2.

(2)由(1)知a=2c,b= 3 c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y = 3(x-c).
2 2 2 ? 3 x + 4 y = 12 c , ? A,B两点的坐标满足方程组? ? ?y= 3?x-c?.

消去y整理,

8 得5x -8cx=0.解得x1=0,x2=5c,
2

? 8 x2=5c, ? ? x = 0 , ? 1 ? 得方程组的解? ? 3 3 ?y1=- 3c, ? y = c. ?2 5
?8 3 3 ? ? 不妨设A? c , c ?5 ?,B(0,- 5 ? ?

3c).

3 3? → ? ? 8 设点M的坐标为(x,y),则AM=?x- c,y- c? , 5 ? ? 5 ? 3 → BM=(x,y+ 3c).由y= 3(x-c),得c=x- 3 y.
? → ? ?8 3 3 8 3 3 ? 于是AM=? y- x, y- x?. 5 5 5 ? ? 15 ?8 3 3 ? ?8 3 3 ? → → → ? ? ? BM=(x, 3x).由AM· BM=-2,即? y- x?· x+ ? y - x ?5 ?· 3x=-2.化简得 15 5 5 ? ? ? ?

18x2-16 3xy-15=0. 18x2-15 10x2+5 3 将y= 代入c=x- 3 y,得c= 16x >0.所以x>0. 16 3x 因此,点M的轨迹方程是18x2-16 3xy-15=0(x>0).

?三 相关点法求轨迹方程
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤 (1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1);
? ?x1=f?x,y?, (2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式? ? ?y1=g?x,y?;

(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.

x2 y2 5 【例3】 已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为 3 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点 P的轨迹方程.

c 5 解析:(1)由题意知c= 5,a= 3 ,所以a=3,b2=a2-c2=4, x2 y2 故椭圆C的标准方程为 9 + 4 =1.

(2)设两切线为 l1,l2, ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时,对应 l2∥x 轴或 l2⊥x 轴, 可知 P(±3,±2). ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时,x0≠±3.设 l1 的斜率为 k,则 k≠0,l2 的斜率为 1 x2 y2 -k,故 l1 的方程为 y-y0=k(x-x0),与 9 + 4 =1 联立,得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx +9(y0-kx0)2-36=0. 因为直线 l1 与椭圆 C 相切,所以 Δ=0, 得 9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)[(y0-kx0)2-4] =0,
2 2 所以-36k2+4[(y0-kx0)2-4] =0,即(x2 - 9) k - 2 x y k + y 0 0 0 0-4=0,

1 2 2 2 所以k是方程(x0-9)x -2x0y0x+y0-4=0(x0≠±3)的一个根,同理可得- 是方程 k
2 2 (x2 - 9) x - 2 x y x + y 0 0 0 0-4=0(x0≠±3)的另一根, 2 ? 1? y0 -4 2 ? ? 所以k·-k = 2 ,得x2 0+y0=13,其中x0≠±3, ? ? x0-9 2 所以此时点P的轨迹方程为x2 + y 0 0=13(x0≠±3). 2 因为P(±3,±2)满足x0 +y2 0=13, 2 综上可知,点P的轨迹方程为x2 0+y0=13.

? 1.已知点A(-4,4),B(4,4),直线AM与BM相 交于点M,且直线AM的斜率与BM的斜率之 差为-2,点M的轨迹为曲线C,则曲线C的 2=4y(x≠±4) x 轨迹方程为_______________
y-4 y-4 解析:设M(x,y),由已知得kAM-kBM= - =-2,化简得x2= x+4 x-4 4y(x≠±4).

2.已知圆C的方程为(x-3)2+y2=100,点A的坐标为(-3,0),M为圆C上任一 x2 y2 点,线段AM的垂直平分线交CM于点P,则点P的轨迹方程为_______________. 25+16=1
解析:由题可知C(3,0),r=10,由中垂线性质知 ??PA?? = ??PM?? ,故 ??PA?? + ??PC?? =
? ?

PM?? + ??PC?? = ??CM?? =10,即P点的轨迹为以原点为中心,点A,C为焦点的椭圆,2a

x2 y2 =10,c=3,b=4,故点P的轨迹方程为25+16=1.

3.已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且 ??O1O2?? =4.动圆M与圆O1 内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨迹 是何种曲线. 解析:如图所示,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐
标系. 由 ??O1O2?? =4,得O1(-2,0),O2(2,0).设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆O1内 切,有??MO1??=r-1, 由动圆M与圆O2外切,有??MO2??=r+2,∴??MO2??-??MO1??=3, ∴点M的轨迹是以O1,O2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支, 3 2 2 2 7 ∴a=2,c=2,∴b =c -a =4, 3? 4x2 4y2 ? ∴点M的轨迹方程为 9 - 7 =1?x≤-2?. ? ?

4.如图所示,A(m, 3 m)和B(n,- 3 n)两点分别在射线OS,OT(点S,T分别在 1 → → → → → 第一、四象限)上移动,且OA· OB=-2,O为坐标原点,动点P满足OP=OA+OB. (1)求mn的值; (2)求动点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?

1 → → 解析:(1)∵OA· OB=(m, 3m)· (n,- 3n)=-2mn=-2, 1 ∴mn=4.

→ → → (2)设P(x,y)(x>0),由OP=OA+OB, 得(x,y)=(m, 3m)+(n,- 3n)=(m+n, 3m- 3n).
? ?x=m+n, ∴? ? ?y= 3m-
2 y 1 2 整理得x - 3 =4mn,又mn=4, 3n,

2 y ∴P点的轨迹方程为x2- 3 =1(x>0).它表示以原点为中心,焦点在x轴上,实 2 y 轴长为2,焦距为4的双曲线x2- 3 =1的右支.

?易错点 轨迹方程与实际的轨迹不对应 ? 错因分析:①要注意参数的取值影响x,y的 取值范围;②曲线的方程与方程的曲线要对 应. 【例1】 如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A
的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10),分别将线段OA和AB十 等分,分点分别记为A1,A2,?,A9和B1,B2,?,B9,连接 OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9).求 证:点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求P的轨迹 方程.

解析:依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为 (10,i), i 所以直线OBi的方程为y=10x. ? ?x=i, 设Pi的坐标为(x,y),由? i y=10x, ? ? 1 2 得y=10x ,即x2=10y. 所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y. 由于i∈[1,9] ,所以x∈[0,10] ,y∈[0,10] ,从而点P的轨迹方程为x2=10y(x∈ [0,10] ).


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