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2017届高考数学一轮复习 必考部分 第四篇 平面向量 第2节 平面向量基本定理及其坐标表示应用能力提升 文


第2节

平面向量基本定理及其坐标表示

【选题明细表】 知识点、方法 平面向量基本定理及其应用 平面向量的坐标表示及运算 共线向量的坐标表示 综合问题 题号 2,4,13 1,6,9,10 3,5,7,8 11,12,14,15

基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2015 肇庆三模)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b 等于( C ) (A)(3,7) (B)(3,9) (C)(5,7) (D)(5,9) 解析:向量 a=(2,4),b=(-1,1), 则 2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7). 2.(2015 泉州一模)若向量 a,b 不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是( (A)a-2b 与-a+2b (B)3a-5b 与 6a-10b (C)a-2b 与 5a+7b (D)2a-3b 与 a- b

C )

解析:作为基底的两向量不共线,只有选项 C 中的两个向量 a-2b 与 5a+7b 不共线,因此向量 a-2b 与 5a+7b 可以作为一组基底. 3.(2015 高考四川卷)设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x 等于( B ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 解析:由向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,可得 4x=2×6,解得 x=3.故选 B. 4.(2016 西安校级模拟)已知 D 是△ABC 所在平面内一点, = + ,则( B )

(A)

=

(B)

=

(C)

=

(D)

=

解析:因为

=

+

,

所以

=

-

1

=

+

-

= (

-

)

=

. A )

5.(2015 茂名二模)已知向量 a=(2,1),b=(x,-2),若 a∥b,则 a+b 等于( (A)(-2,-1) (B)(2,1) (C)(3,-1) (D)(-3,1) 解析:根据题意,向量 a=(2,1),b=(x,-2), 若 a∥b,则有 1·x=2·(-2), 即 x=-4,即 b=(-4,-2), 则 a+b=(-2,-1). 6.(2015 安康三模)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, ( C ) (A)(2,4) (B)(3,5) (C)(-3,-5) (D)(-2,-4) 解析:因为 = = , =(2,4),

=(1,3),则

等于

所以

=

-

=

-2

=(-3,-5).

7.(2015 河北石家庄二模)已知向量 a=(2,1),b=(x,-1),且 a-b 与 b 共线,则 x 的值 为 . 解析:因为 a-b=(2-x,2), 又 a-b 与 b 共线且 b=(x,-1), 所以 2x+2-x=0, 所以 x=-2. 答案:-2 8.(2016 德阳校级月考)已知向量 k= . =(k,11), =(4,5), =(5,8), =(k,11), =(4,5), =(5,8),且 A,B,C 三点共线,则

解析:因为向量

所以

=(4-k,-6),

=(1,3),

2

因为 A,B,C 三点共线,不妨设 所以(4-k,-6)=λ (1,3), 所以 解得 k=6. 答案:6



,

9.(2015 河南许昌模拟改编)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且

=2

,点 Q 是 AC 的中点,若

=(4,3), 解析:如图.

=(1,5),则向量

的坐标为

.

=3

=3(

+

)

=3(

+2

)

=3

+6(

-

)

=6

-3

=6(1,5)-3(4,3) =(-6,21). 答案:(-6,21) 能力提升练(时间:15 分钟) 10.(2015 浮山县校级期中)已知四边形 ABCD 为平行四边形,A(-1,2),B(0,0),C(1,7),则点 D 的坐标是( C ) (A)(-9,9) (B)(-9,0) (C)(0,9) (D)(0,-9) 解析:设 D 的坐标为(x,y),

3

因为 A(-1,2),B(0,0),C(1,7), 所以 =(1,-2), =(1-x,7-y),

因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 = ,

所以 1-x=1,7-y=-2, 解得 x=0,y=9. 11.(2015 岳阳模拟)在△ABC 中,点 D 满足 = ,点 E 是线段 AD 上一个动点,若 =λ +

μ

,则 t=(λ -1) +μ 的最小值是(

2

2

C )

(A) 解析:

(B)

(C)

(D)

如图,E 在线段 AD 上,所以存在实数 k 使得

=k

,0≤k≤1,

=

,

所以

=k(

+

)

=k[

+ (

-

)]

=

+

,

所以

所以 t=( -1) + k = (k- ) + ;

2

2

2

所以 k= 时,t 取最小值 .

4

12.△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设向量 m=(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),m∥n, 则 cos A= . 解析:因为 m∥n, 所以(3c-b)c=(a-b)(3a+3b), 2 2 2 即 bc=3(b +c -a ), 所以 = ,

所以 cos A=

= .

答案:

13.(2015 运城期中)如图,?ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 的中点,G 为交点,若

=a,

=b,试以

a,b 为基底表示

,

,

.

解:根据图形得

=

+

=a- b;

=

+

=b- a;

=

+

,

因为



共线,

所以存在实数 x 使

=x

=x(a- b);

所以-a+x(a- b)=(x-1)a- b,



=

+

,

5

所以同样

=- a+(y-1)b;

所以

解得 x= ,y= .

所以

=- a- b.

精彩 5 分钟 1.(2016 遵义高三联考)在平面直角坐标系中,向量 n=(2,0),将向量 n 绕点 O 按逆时针方向旋 转 后得向量 m,若向量 a 满足|a-m-n|=1,则|a|的最大值是( B )

(A)2 (C)3

-1

(B)2 (D) +

+1 +1

解题关键:注意利用数形结合思想求解. 解析:依题意,m=(1, 所以 m+n=(3, 设 a=(x,y), 又|a-m-n|=1, 所以(x-3) +(y2

),

),

) =1. )为圆心,半径为 1

2

所以向量 a 的终点坐标(x,y)的轨迹是以(3, 的圆. 所以|a|的最大值为圆心(3,

)到原点的距离加上半径.

所以|a|的最大值为

+1=2

+1.

2.(2015 益阳一模)如图,在△OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点,若

=x

+y

(x,y∈R),且

点 P 落在四边形 ABNM 内(含边界),则

的取值范围是( C

)

6

(A)[ , ] (B)[ , ]

(C)[ , ] (D)[ , ] 解题关键:注意利用极端值(特值、特殊位置)突破解题思路. 解:若 P 在线段 AB 上,设 =λ ,

则有

=

+

=



=

+λ (

-

),

所以

=

,

由于

=x

+y

(x,y∈R),

则 x=

,y=

,

故有 x+y=1, 若 P 在线段 MN 上,设 =λ ,

则有

=

,

由于在△OMN 中,A,B 分别是 OM,ON 的中点, 则 =x +y = x + y (x,y∈R),

则 x=

, y=

,

故有 x+y=2, 若 P 在四边形 ABNM 内(含边界),则 x≥0,y≥0,

7



∈[ , ].

8


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