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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四练习:2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算]


第二章

2.2

2.2.2

一、选择题 1.(2014· 广东文,3)已知向量 a=(1,2)、b=(3,1),则 b-a=( A.(-2,1) C.(2,0) [答案] B [解析] ∵a=(1,2)、b=(3,1),∴b-a=(3-1,1-2)=(2,-1). → → → 2.若向量BA=(2,3)、CA=(4,7),则BC=( A.(-2,-4) C.(6,10) [答案] A → → → → → [解析] BC=BA+AC=BA-CA=(2,3)-(4,7)=(-2,-4). 3.(2014· 北京文,3)已知向量 a=(2,4)、b=(-1,1),则 2a-b=( A.(5,7) C.(3,7) [答案] A [解析] 2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7) → → → 4.已知AB=(5,-3)、C(-1,3)、CD=2AB,则点 D 的坐标是( A.(11,9) C.(9,3) [答案] D → → → [解析] ∵AB=(5,-3),∴CD=2AB=(10,-6), 设 D(x,y),又 C(-1,3), → ∴CD=(x+1,y-3),
? ? ?x+1=10 ?x=9 ∴? ,∴? . ?y-3=-6 ?y=-3 ? ?

)

B.(2,-1) D.(4,3)

) B.(2,4) D.(-6,-10)

)

B.(5,9) D.(3,9)

)

B.(4,0) D.(9,-3)

5. 已知△ABC 中, 点 A(-2,3)、 点 B(-3, -5), 重心 M(1, -2), 则点 C 的坐标为( A.(-4,8) C.(8,-4) [答案] C 4 4? B.? ?3,-3? D.(7,-2)

)

[解析] 设点 C 的坐标为(x,y), -3?+x ?1=-2+?3 由重心坐标公式,得? 3+?-5?+y ?-2= 3
? ?x=8 解得? . ?y=-4 ?



→ 6.已知 i、j 分别是方向与 x 轴正方向、 y 轴正方向相同的单位向量, O 为原点, 设OA= (x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中 x∈R),则点 A 位于( A.第一、二象限 C.第三象限 [答案] D [解析] ∵x2+x+1>0,-(x2-x+1)<0, ∴点 A 位于第四象限. 二、填空题 → → → → 7.若点 O(0,0)、A(1,2)、B(-1,3),且OA′=2OA,OB′=3OB,则点 A′的坐标为 → ________.点 B′的坐标为________,向量A′B′的坐标为________. [答案] (2,4) (-3,9) (-5,5) [解析] ∵O(0,0),A(1,2),B(-1,3), → → ∴OA=(1,2),OB=(-1,3), → → OA′=2×(1,2)=(2,4),OB′=3×(-1,3)=(-3,9). → ∴A′(2,4),B′(-3,9),A′B′=(-3-2,9-4)=(-5,5). → → → 8. 在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若AB=(2,4), AC=(1,3), 则BD=________. [答案] (-3,-5) → → → → → → → [解析] AD=BC=AC-AB=(-1,-1).∴BD=AD-AB=(-3,-5). 三、解答题 9.(1)设向量 a、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求 a+b,a-b,2a+3b 的坐标; (2)设向量 a、b、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求 3a-b+c 的坐标. [解析] (1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);a-b=(-1,2)-(3, -5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+ 9,4-15)=(7,-11). (2)3a-b+c=3(1,-3)-(-2,4)+(0,5) )

B.第二、三象限 D.第四象限

=(3,-9)-(-2,4)+(0,5) =(3+2+0,-9-4+5) =(5,-8).

一、选择题 1.已知 a=(5,-2)、b=(-4,-3)、c=(x,y),且 2a+b-3c=0,则 c 等于( 7 A.(-2, ) 3 7 C.(2,- ) 3 [答案] C [解析] 2a+b-3c=(10,-4)+(-4,-3)-(3x,3y)=(6-3x,-7-3y), 7 B.(2, ) 3 7 D.(-2,- ) 3 )

? ?6-3x=0 ? ? ∴? ,∴? 7 ?-7-3y=0 ? ?y=-
x=2

?

.

3 )

→ 2.已知两点 A(4,1)、B(7,-3),则与向量AB同向的单位向量是( 3 4? A.? ?5,-5? 4 3? C.? ?-5,5? [答案] A 3 4? → → [解析] AB=(3,-4),∴与AB同向的单位向量为? ?5,-5?,即选 A. 3 4? B.? ?-5,5? 4 3? D.? ?5,-5?

→ → → 3.原点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,OA=(-1,- 3)、OB=(1,- 3),则OC等 于( ) A.(2,0) C.(0,-2 3) [答案] A → → → [解析] OABC 为平行四边形,∴OC=OB-OA=(2,0). 4.已知向量 a=(1,2)、b=(2,3)、c=(3,4),且 c=λ1a+λ2b,则 λ1、λ2 的值分别为( A.-2,1 C.2,-1 [答案] D [解析] ∵c=λ1a+λ2b ∴(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3) B.1,-2 D.-1,2 ) B.(-2,0) D.(0, 3)

=(λ1+2λ2,2λ1+3λ2)
? ? ?3=λ1+2λ2 ?λ1=-1 ∴? ,∴? .故选 D. ?4=2λ1+3λ2 ?λ2=2 ? ?

二、填空题 → → 5.设点 A(2,0)、B(4,2),点 P 在直线 AB 上,且|AB|=2|AP|,则点 P 的坐标为________. [答案] (3,1)或(1,-1) → → [解析] ∵点 P 在直线 AB 上,且|AB|=2|AP|, 当点 P 在线段 AB 上时,P 为线段 AB 的中点, 2+4 0+2 ∴P( , ),即 P(3,1). 2 2 当点 P 在线段 BA 的延长线上时, → → AB=-2AP,设 P(x,y), → ∴-2AP=(4-2x,-2y),
? ? ?2=4-2x ?x=1 ∴? ,∴? .∴P(1,-1). ? ? ?2=-2y ?y=-1

6.(2014· 安徽合肥市撮镇中学高一月考)设 a=(-1,2)、b=(1,-1)、c=(3,-2),用 a、b 作基底可将 c 表示为 c=pa+qb,则实数 p、q 的值为________. [答案] p=1、q=4 [解析] c=pa+qb=(-p+q,2p-q)=(3,-2),
?-p+q=3 ? ?p=1 ∴? ,解得? . ?2p-q=-2 ?q=4 ?

三、解答题 7.已知△ABC 的两个顶点 A(3,7)和 B(-2,5),求 C 点坐标,使 AC 的中点在 x 轴上, BC 的中点在 y 轴上. [解析] 设 C 点坐标为(x,y),根据中点坐标公式,可得 AC 的中点坐标? 又∵AC 的中点在 x 轴上,∴ ∴y=-7, 同理可得 BC 中点为? y+7 =0, 2 3+x y+7? ? 2 , 2 ?.

?

-2+x 5+y? . , 2 2 ?

∵BC 的中点在 y 轴上, ∴ -2+x =0,∴x=2,∴C(2,-7). 2

8.若向量|a|=|b|=1,且 a+b=(1,0),求向量 a、b 的坐标.

[解析] 设 a=(m,n),b=(p,q), m + n =1 ? ?p +q =1 则有? m+p=1 ? ?n+q=0
2 2 2 2



? ? 3 解得?q=- 2 ? ?n= 23

1 m=p= 2

? ? 3 或?q= 2 ? ?n=- 23

1 m=p= 2 .

1 3 1 3 1 3 1 3 故 a=( , )、b=( ,- )或 a=( ,- )、b=( , ). 2 2 2 2 2 2 2 2 → 2 → 9.已知直线上三点 P1、P、P2 满足|P1P|= |PP2|,且 P1(2,-1)、P2(-1,3),求点 P 的 3 坐标. → 2 → [解析] ∵|P1P|= |PP2|, 3 2→ → 2→ → ∴P1P= PP2或P1P=- PP2, 3 3 2 设 P(x,y),则(x-2,y+1)=± (-1-x,3-y), 3

?x-2=3?-1-x? 即? 2 ?y+1=3?3-y? ?x=5 解得? 3 ?y=5
4

2

?x-2=-3?-1-x? ,或? 2 ?y+1=-3?3-y?

2

.

? ?x=8 ,或? . ?y=-9 ?

4 3 故点 P 的坐标为( , )或(8,-9). 5 5


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