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指数函数图像与性质的应用


指数函数图像与性质的应用

一、创设情境,形成概念
细胞分裂 次数: 所得细 胞的个 数: 底为常数 1次 2个 2次 3次 X次

4个 ? 22 个 8个 ? 23 个

y ? 2x 个

指数为自变量

x ( a ? 0 , 且a ? 1 ) 的函数叫做指数函数, y ? a 形如

幂为函数 其中

x 为自变量,定义域为 R

指数函数的定义: 函数形如 y ? a x (a ? 0且a ? 1)叫做指数函数, 其中X为自变量,定义域为R
例1、下列函数中,哪些是指数函数?
x 1 y ? 4 ?? 4 2 y ? x ? ?

x 3 y ? ? 4 ? ?

x ?1 4 y ? 4 ? ?

二、实践操作,探求新知
动手画一画下列函数的图像:(1、2组画(1)、 (2),3、4组画(3)、(4))

?1?

y?2

x

? 2?
? 4?

?1? y ?? ? ?2?
?1? y ?? ? ? 3?

X

?3?

y ?3

X

x

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

指数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
图像

0<a<1
y
(0,1) x

a>1
y

1
(0,1)
x

0

0

2 3 4

定义域 和值域 单调性

x ? R, y ? (0,??)
是R上的减函数

x ? R, y ? (0,??)
是R上的增函数

5 图像特点 恒过点(0,1) 恒过点(0,1)
图像关于y轴对称

6
y ④ ①

( 1 )这两类图像间 ?1? y ? a x 与y ? ( 1 ) x a 的位置关系



(2)当a>1时,a越大,y轴右侧图像越靠近y轴, ② (2)随着a取值不同, y轴左侧图像越贴近x轴 它们的图像与坐标 当0<a<1时,a越小,y轴左侧图像越靠近y轴, 轴的位置关系 y轴右侧图像越贴近x轴


0 x

练习1
若0 ? a ? 1, 则y ? a x 与y ? (a - 1)x2的图像( D )
y o (A) x y y o o (B) x (C) x y

o
(D)

x

练习2 用“<”和“>”填 空

< b (1)若 1.7a ? 1.7b,则a ____
1 m (2)若( ) ? (0.125 ) n ,则 m ____ < n 8

> 1 (3)若a ? 1 ,则a ____

3 4

练习3 判断下列各式是否正确,并改错

改正:

3 4.1 3 5 (1)( ) ? ( ) 5 5

(2)a? ? a 3.14
(3) ? 4 ?1.3 ? (2 2 )

(a>1)
?1.3

? 2 ?2.6

(2)a ? a

?

3.14

(a>1)

1 1.4 (3)( ) ? 4 ?1.3 ? 2 2.1 2

1 ( )1.4 ? (2 ?1 )1.4 ? 2 ?1.4 2 又 ? y ? 2 x 是R上的增函数 1 ? 4 ?1.3 ? ( )1.4 ? 2 2.1 2

(4)0.6 ?2

4 ?2 ?( ) 3

1

(5)1.7 0.6 ? 0.71.6

练习4

y1 ? a

3 x ?1

, y2 ? a

?2 x

, 若a ? 0且a ? 1,
(2) y1 ? y2

根据下列不同条件求 x的值
(1) y1 ? y2

(2)当a>1时

? y ? a x是R上的增函数

若 y1 ? y2

成立,则3x+1>-2x 1 解得:x> ? 5
当0<a<1时

? y ? a x是R上的减函数

若 y1 ? y2 成立,则3x+1<-2x 1 ? 解得:x< 5

练习5求下列函数的值域
?1? (1) y ? ? ? ?2?
x

( x ? ?1)

(2) y ? 3

1 x

(3) y ? 3

x2 ?2 x

解:

令t ? x ? 2x ? (X ? 1) ? 1 ? x ? R ,? t ? ?1
2 2

此时原函数变为 y ? 3 ( t ? ?1)
t

? y ? 3t 是R上增函数 ? t ? ?1时, 3 ?3
t ?1 x2 ?2 x

?函数y ? 3

1 的值域为y ? [ ,??) 3

思考题 (1) 右图曲线是下列指数函数的图像

①y ? a x ②y ? b x③y ? c x④y ? d x
判断a、b、c、d、1这五个数的大小。
y
② ① ③ ④

答案:

b<a<1<d<c
x 0

(2)当a ? 0时,函数y ? ax ? b和y ? (b a ) x 的图像(
y 1 y 1 y 1

C

)
y 1

o
(A)

x

o
(B)

x

o
(C)

x

o
(D)

x

D (3)下列各式中正确的是( )

1 1 1 (A) ( )3 ? ( )3 ? ( )3 3 5 2 1 1 1 (B) ( )3 ? ( )3 ? ( )3 2 2 5 1 1 1 (C ) ( )3 ? ( )3 ? ( )3 5 2 2 1 1 1 ( D) ( )3 ? ( )3 ? ( )3 5 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2 2

2

2

1

1 x (4)函数y ? 1 ? ( ) 的定义域是( A ) 3 (A)[0,??) (B)(??,0] (C)[1, ? ?)

(D) (??,??)

练习2 已知函数 f ( x) ? a x?1 ? 4(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过一定点,则此点坐标为( A ) (A) (1,5) (C) (0,4) (B) (1,4) (D) (4,0)


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