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陕西省西安市西工大附中2013届高三第十二次适应性训练(数学文)


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陕西省西安市西工大附中 2013 届高三第十二次适应性训练 (数学文) (2013、05) 参 考 公 式 : 样 本 数 据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), L , ( xn , yn ) 的 回 归 方 程 为 : y ? bx ? a ,

其 中 a ? y ? bx ,
? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1 n

b?

? ( xi ? x )
i ?1

n

?

? xi yi ? n x y
i ?1

n

2

? xi
i ?1

n

, x?

x1 ? x2 ? ??? ? xn n

,y ?

y1 ? y2 ? ??? ? yn n



2

?n x

2

第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小题 5 分, 共 50 分) 1.已知复数 z ? A. 1 ? i
2i 1? i

, z 的共轭复数为则 z ,则 z ? z ? ( B. 2 C. 1 ? i
1

) D. 0 )

2.已知集合 A ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)} ,集合 B ? { y | y ? ( ) x , x ? 0} ,则 A I B =(
2

A. (1, ??) 3.下列说法正确的是( A.函数 f ? x ? ?
1 x

B. (?1,1) )

C. (0, ??)

D. (0,1)

在其定义域上是减函数 Input x If x ? 1 Then
y ? 2 ?1
x

B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
2 2 C.命题“ ? x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ? x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”

Else
y ? x ? x
2

D.给定命题 p 、 q ,若 p ? q 是真命题,则 ? p 是假命题

End If Print y 4.如果执行右面的算法语句输出结果是 2,则输入的 x 值是( A.0 或 2 B. ? 1 或 2 C.2
?
6

)

D.0
, cos 5? 6 ) ,则 ? 等于( 7? 6

5.已知 ? ? (0, 2 ? ) ,且 ? 的终边上一点的坐标为 (s in A.
2? 3



B.

5? 3

C.

5? 6

D.

6.已知 l , m 是不同的两条直线, ? , ? 是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? C.若 l ? m , ? // ? , m ? ? ,则 l ? ?
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B.若 l ? ? , ? // ? , m ? ? ,则 l ? m D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l // ?
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7 . 设 等 比 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 a 1 ? 2012 , 且 a n ? 2 a n ? 1 ? a n ? 2 ? 0 ( n ? N * ) , 则
S 2 0 1 3? (

) B. 2011 C.2012
1 3

A. 0

D.2013 的概率为( D.
1 18

8.在区间 ? 0,1 ? 内任取两个实数,则这两个实数的和大于 A.
17 18



B.

7 9

C.

2 9

9. 已知 F1 , F 2 分别是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左右焦点, F 1 与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A , B 两 过

点,若 ? ABF 2 是锐角三角形,则椭圆离心率的范围是(


2 2

A. ( 0 , 2 ? 1)

B. (1, 2 ? 1)

C. ( 2 ? 1,1)

D. ( 0 ,

)
1

10 . 设 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 y ? f ( x ) , 满 足 对 任 意 t ? R 都 有 f ( t ) ? f (1 ? t ) , 且 x ? [ 0 , ] 时 ,
2

f ( x ) ? ? x ,则 f ( 3 ) ? f ( ?
2

3 2

) 的值等于(
1 3

) C. ?
1 4

A. ?

1 2

B. ?

D. ?

1 5

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知向量 p ? ? 1, ? 2 ? , q ? ? x , 4 ? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为 .

12.某人向东方向走了 x 千米,然后向右转 1 2 0 ? ,再朝新方向走了 3 千米,结果他离出发点恰好 1 3 千 米,那么 x 的值是 .

13.某几何体的主视图与俯视图如图,主视图与左视图相同,且图中的四边形都是边 长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积为 .

14.给出下列等式:观察各式: a ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ? 4, a ? b ? 7 , a ? b ? 1 1, ? ,则依次类
2 2 3 3 4 4 5 5
6 6 推可得 a ? b ?


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15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答) A. (不等式)若 x 、 y 为正整数,且满足
4 x ? 16 y ? 1 ,则 x ? y 的最小值为_________;

B.(几何证明)如图, A B 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, C D ? A B ,垂
A ?D D 5 B

足为 D , 且

,设 ? C O D ? ? ,则 tan ? 的值为 _________;

C.(坐标系与参数方程)圆 O 1 和圆 O 2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 co s ? , ? ? ? 4 sin ? ,则经过两圆圆心的直 线的直角坐标方程为_________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(6 小题,共 75 分)
b 16.本小题满分 12 分) ( 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2 a n ? 1 , 等差数列 { b n } 满足 b1 ? a 1 , 4 ? 7 .

(1)求数列 { a n } 、 { b n } 的通项公式; (2)设 c n ?
1 bn bn ?1

,数列 { c n } 的前 n 项和为 T n ,求证 T n ?

1 2



17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos B 的最大值,并求此时角 A, B 的大小.

a sin A

?

c 3 cos C



18. (本小题满分 12 分)如图在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,侧棱 A A1 ? 底面 A B C , A B ? B C , D 为 A C 的 中点,
A1 A ? A B ? 2 , B C ? 3 .

(1)求证: A B1 // 平面 B C 1 D ; (2)求四棱锥 B ? A A1C 1 D 的体积.

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19. (本小题满分 12 分)一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高。现对 10 名成年人的脚掌长 x 与 身高 y 进行测量,得到数据(单位均为 cm )作为样本如下表所示.

(1)在上表数据中,以“脚掌长”为横坐标,“身高”为纵坐标,作出散点图后,发现散点在一条直线附 近,试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程 y ? bx ? a ; (2)若某人的脚掌长为 26.5cm ,试估计此人的身高; (3)在样本中,从身高 180cm 以上的 4 人中随机抽取 2 人作进一步的分析,求所抽取的 2 人中至少 有 1 人身高在 190cm 以上的概率. (参考数据: ? ( xi ? x)( yi ? y ) ? 577.5 , ? ( xi ? x) 2 ? 82.5 , x ? 24.5 , y ? 171.5 )
i ?1 i ?1 10 10

20. (本小题满分 13 分)已知抛物线 y 2 ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F ,点 P 是抛物线上的一点,且其纵坐标为 4, P F ? 4 . (1)求抛物线的方程; (2)设点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )( y i AB 的斜率; (3)在(2)的条件下,若直线 A B 过点 ? 1, ? 1 ? ,求弦 A B 的长.
? 0, i ? 1, 2 )

是抛物线上的两点, ? A P B 的角平分线与 x 轴垂直,求直线

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 3 x ,函数 g ( x) 的图像在点 (1, g (1)) 处
2

的切线平行于 x 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 g ( x) 的极小值;
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(3)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ) ( 证明:
1 x2 ?k? 1 x1



西工大附中第 12 次适应性训练 数 学(文科)答案 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

1 B

2 D

34 DA

5 B

6 B

7 C

8 A

9 10 C C

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. ? 1 0 12.4
5 2

13.

20 3

14. 18

15.A.36

B.

C. y ? x ? 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解: (1)当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 2 a 1 ? 1 ,∴ a 1 ? 1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? ( 2 a n ? 1) ? ( 2 a n ? 1 ? 1) ? 2 a n ? 2 a n ? 1 , 即
n ?1

an a n ?1

? 2

∴数列 { a n } 是以

a 1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ a n ? 2

设 { b n } 的公差为 d , b1 ? a 1 ? 1 , b 4 ? 1 ? 3 d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ b n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 (2) c n ?
1 bn bn ?1 ? 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) ? 1 1 ? 1 2n ? 1

2 2n ? 1

(

)

Tn ?

1? 1 ? 1 ?1 ? ?? 2? 2n ? 1 ? 2

17.解: (1)由条件结合正弦定理得,
?
3

a sin A

?

c 3 cos C

?

c sin C

,从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 ,

∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?
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? A ,∴ 3 sin A ? cos B ? 3 sin A ? cos( 2? 3
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2? 3

? A)

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? 3 sin A ? cos 2? 3 A? 2? 3 cos A ? sin 2? 3 sin A ?

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3 2 sin A ? 1 2 cos A ? sin( A ?

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?
6

)

∵ 0? A?
?
3

,∴ .

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

,当 A?

?
6

?

?
2

时,

3 sin A ? cos B 取 得 最 大 值 为 1 , 此 时

,B ?

?
3

18.(1)证明:连接 B 1 C ,设 B 1 C 与 B C 1 相交于点 O ,连接 O D , ∵ 四边形 B C C 1 B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B 1 C 的中点. ∵ D 为 A C 的中点,∴ O D 为△ A B1C 的中位线, ∴ O D // A B1 . ∵ O D ? 平面 B C 1 D , A B1 ? 平面 B C 1 D ,

∴ A B1 // 平面 B C 1 D . (2) ∵ A A1 ? 平面 A B C , A A1 ? 平面 A A1 C 1 C , ∴ 平面 A B C ? 平面 A A1 C 1 C ,且平面 A B C ? 平面 A A1 C 1 C ? A C . 作 B E ? A C ,垂足为 E ,则 B E ? 平面 A A1 C 1 C , ∵ A B ? B B1 ? 2 , B C ? 3 , 在 Rt△ A B C 中, A C ?
AB ? BC
2 2

?

4?9 ?

13 , BE ?

A B ?B C AC

?

6 13




1 6 3 2




6 13



B ? A A1C 1 D







V ?

1 3

?

1 2

? A1C 1 ?

A D ? ?A A1 ?B E

?

?

13 ? 2 ?

? 3 .∴四棱锥 B ? A A1C 1 D 的体积为 3 .

19. 解:(1)记样本中 10 人的“脚掌长”为 xi (i ? 1, 2, L 10) , “身高”为 yi (i ? 1, 2, L 10) 则b ?
577.5 82.5 ? 7 ,∵ x ? 24.5 , y ? 171.5 ,∴ a ? y ? bx ? 0





∴ y ? 7x

(2)由(1)知 y ? 7 x ,当 x ? 26.5 时, y ? 7 ? 26.5 ? 185.5(cm) ,故估计此人的身高为 185.5cm (3)将身高为 181、188、197、203(cm)的 4 人分别记为 A、B、C、D,记“从身高 180cm 以上 4 人中 随机抽取 2 人, 所抽的 2 人中至少有 1 个身高在 190cm 以上” 为事件 A,则基本事件有: (AB) (AC)、 、 (AD)、 (BC)、 (BD)、 (CD), 总数 6, 包含的基本事件有: A (AC)、 (AD)、 (BC)、 (BD)、 (CD), 个数 5, 所以 P ( A) ?
5 6

.

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p 2 ? 4

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20. (13 分) (1) P ( x 0,4) , 解: 设 因为 P F ? 4 , 由抛物线的定义得 x 0 ? 因此
8 p p 2

, 4 2 ? 2 p x0 , 又 所以 x 0

?

8 p



?

? 4

,解得 p ? 4 ,从而抛物线的方程为 y 2 ? 8 x .

(2)由(1)知点 P 的坐标为 P ( 2, 4 ) ,因为 ? A P B 的角平分线与 x 轴垂直,所以可知 P A , P B 的倾斜 角互补,即 P A , P B 的斜率互为相反数 设直线 P A 的斜率为 k ,则 P A : y ? 4 ? k ( x ? 2 ) ,由题意 k 把x ?
y k ? 2? 4 k 8 k
2

? 0



代入抛物线方程得 y 2 ? ,即 y 1 ?
?

8 k

y ? 16 ?

32 k

? 0 8 k

,该方程的解为 4、 y 1 , ,

由韦达定理得 y 1 ? 4 ? 所以 k A B ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1 ?

8 k
8

?4

,同理 y 2 ? ? ,

?4

y 2 ? y1 y2 8 ? y1 8
2

y 2 ? y1

? ?1

(3)设 A B : y ? ? x ,代入抛物线方程得 A ? 0, 0 ? , B ? 8, ? 8 ? , 21.(14 分)解: (1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? 3 x ,则 g '( x) ?
2

AB ? 8

2



1 x

? 2ax ? 3

由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0 ∴a ?1 (2)由(1)得 g '( x) ?
2 x ? 3x ? 1
2

?

(2 x ? 1)( x ? 1) x

x

∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令 g '( x) ? 0 得 x ?
1 1

1 2

或 x ?1

函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增.故函数 g ( x) 的极小值为
2
g (1) ? ?2

2

(3)证法一:依题意得 k ?

y2 ? y1 x2 ? x1

?

ln x2 ? ln x1 x2 ? x1



要证

1 x2

?k?

1 x1

,即证

1 x2

?

ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 x2 x1

?

1 x1

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证

x2 ? x1 x2

? ln

?

x2 ? x1 x1



x2 x1

,即证 1 ? ? t ( t ? 1)

1 t

? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )
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1 t

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令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )则 k '(t ) ? ? 1 ? 0 ∴ k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, ∴ k (t ) ? k ?1? ? 0
1 t

即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,? ln t ? t ? 1 --------------①
1 t 1 t
2

令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 )则 h '(t ) ? ? ∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

?

t ?1 t
2

?0

∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )--------------②
t

1

综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ,即
t

1

1 x2

?k?

1 x1



【证法二:依题意得 k ?

y2 ? y1 x2 ? x1
1 x 1 k 1 k

?

ln x2 ? ln x1 x2 ? x1

? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 ,

令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ? 由 h?( x) ? 0 得 x ?
? h( x ) 在 (0,

? k,

1 k

,当 x ?

时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ?

1 k

时, h?( x) ? 0 ,

1 k

) 单调递增,在 (

, ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ),

? x1 ?

1 k

? x2 , 即

1 x2

?k?

1 x1

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