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几类递推数列的通项公式的求解策略


几类递推数列的通项公式的求解策略
已知递推数列求通项公式,是数列中一类非常重要的题型,也是高考的热点之一.数列 的递推公式千变万化,由递推数列求通项公式的方法灵活多样,下面谈谈它们的求解策略. 一、 an?1 ? an ? f (n) 方法:利用叠加法

a2 ? a1 ? f (1) , a3 ? a2 ? f (2),?, an ? an?1 ? f (n ? 1) , a n ? a1 ? ? f (k ) .
k ?1

n ?1

1 例 1.数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项公式. n ?n 1 解:由 a n ?1 ? a n ? 得 2 (n ? 1) ? (n ? 1)
n ?1 1 1 1 1 1 =1 ? ? ( ? ) =1 ? 1 ? = 2 ? 2 n n k ?1 k ?1 k k ?1 (k ? 1) ? (k ? 1) 例 2.数列 {an } 满足 nan?1 ? (n ? 1)an ? 1 ,且 a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式. 分析:注意到左右两边系数与下标乘积均为 n(n ? 1) ,将原式两边同时除以 n(n ? 1) , a a a 1 1 变形为 n ?1 ? n ? .令 bn ? n ,有 bn ?1 ? bn ? ,即化为类型 1 , 以 n n(n ? 1) n ? 1 n n(n ? 1)

an ? a1 ? ?

n ?1

下略.
n 二、 n?1 方法:利用叠代法

a

? a f (n)
n ?1

a2 ? a1 f (1) , a3 ? a2 f (2),?, an ? an?1 f (n ? 1) , a n ? a1 ? f ( k ) .
k ?1

例 3.数列 {an } 中 a1 ? 2 ,且 a n ? (1 ? 解:因为 a n ?1 ? [1 ?

1 )a n ?1 ,求数列 {an } 的通项. n2

1 ]a n ,所以 (n ? 1) 2 n ?1 n ?1 n ?1 k k ? 2 n ?1 1 a n ? a1 ? f ( k ) = 2 ?[1 ? ? ]= ] = 2 ?[ 2 k ?1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ?1 n (k ? 1) 三、 an?1 ? pan ? q ,其中 p, q 为常数,且 p ? 1, q ? 0
当出现 an?1 ? pan ? q (n ? N ? ) 型时可利用叠代法求通项公式,即由 an?1 ? pan ? q 得

an ? pan?1 ? q ? p( pan?2 ? q) ? q ? ? ? p n?1a1 ? ( p n?2 ? p n?3 ? ? ? p 2 ? p ? 1)q =
q( p n?1 ? 1) a1 p ? ( p ? 1) 或者利用待定系数法,构造一个公比为 p 的等比数列,令 p ?1 q q ) } 是一个公比为 p 的 则 , 从而 {a n ? an?1 ? ? ? p(an ? ? ) , ( p ?1 ? ? ,q 即 ? ? p ?1 p ?1 3 2 ? ?1 ,可将问题转化为等比数列求解.待 等比数列.如下题可用待定系数法得 ? ? 1 ? ?1 2
n ?1

定系数法有时比叠代法来地简便.

例 4.设数列 {an } 的首项 a1 ? 式.

3 ? a n ?1 1 , an ? , n ? 2,3,4,? ,求数列 {an } 通项公 2 2

3 ? an ?1 1 1 3 ? ? an ?1 ? , n ? 2,3,4,? ,∴ ? an?1 ? k ? ,又∵ an ? 2 2 2 2 1 1 1 1 k ? ?1 ,∴ a n ? 1 ? ? (a n ?1 ? 1) ,又 a1 ? ,∴ {an ? 1} 是首项为 ? ,公比为 ? 的等 2 2 2 2 1 n ?1 1 n 比数列,即 a n ? 1 ? ( a1 ? 1)( ? ) ,即 an ? ( ? ) ? 1 . 2 2 四、 an?1 ? pan ? qan?1 (n ? 2) , p, q 为常数
解:令 an ? k ? ? 方法:可用下面的定理求解:令 ? , ? 为相应的二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两根(此方 程又称为特征方程),则当 ? ? ? 时,an ? A? n ? B? n ;当 ? ? ? 时,an ? ( A ? Bn)? n?1 , 其中 A, B 分别由初始条件 a1 , a 2 所得的方程组 ? 确定. 例 5.数列 {an } , {bn } 满足: ? 解:由 ( 2) 得 a n ?

? A? ? B ? ? a1 , ? A? ? B ? ? a2
2 2

和?

? A ? B ? a1 , 唯一 ?( A ? 2 B )? ? a2

? an ?1 ? ? an ? 2bn (1) ,且 a1 ? 2 , b1 ? 4 ,求 an , bn . ?bn ?1 ? 6an ? 6bn (2)

1 1 bn ?1 ? bn , a n ?1 ? bn ? 2 ? bn ?1 ,代入到 (1) 式中,有 6 6 28 bn?2 ? 5bn?1 ? 6bn ,由特征方程可得 bn ? ?12 ? 2n ? ? 3n ,代入到 ( 2) 式中,可得 3 14 an ? 8 ? 2n ? ? 3n . 3 说明: 像这样由两个数列 {an } ,{bn } 构成的混合数列组求通项问题, 一般是先消去 an
(或 bn ), 得到 bn?2 ? pbn?1 ? qbn?1 (或 an?2 ? pan?1 ? qan?1 ), 然后再由特征方程方法求解. 五、 an?1 ? pan ? f (n) 型,这里 p 为常数,且 p ? 1 例 6.在数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N ? ) ,其中

? ? 0 ,求数列 {an } 通项公式.
解:由 a1 ? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N ? ) , ? ? 0 ,可得

a n ?1

?

n ?1

a a 2 2 2 ? ( ) n ?1 ? n ? ( ) n ? 1 ,所以 { n ? ( ) n } 为等差数列,其公差为1 ,首项为 0 . n n

?

?

?

?

?



an

?

n

2 ? ( ) n ? n ? 1 ,所以数列 {an } 的通项公式为 an ? (n ? 1)?n ? 2 n .

?

评析:对 an?1 ? pan ? f (n) 的形式,可两边同时除以 p 令

n ?1

,得

an?1 an f ( n) ? n ? n?1 , n ?1 p p p

an f ( n) ? bn , 有 bn?1 ? bn ? n?1 ,从而可以转化为累加法求解. n p p
k 六、 an?1 ? man (m ? 0, k ? Q, k ? 0, k ? 1)

一般地,若正项数列 {an } 中, a1 ? a, an?1 ? man (m ? 0, k ? Q, k ? 0, k ? 1) ,则有
k

lg an?1 ? k lg an ? lg m ,令 lg an?1 ? A ? k (lg an ? A) ( A 为常数),则有 A ?

1 lg m . k ?1

? 数列 {lg a n ?

1 1 1 lg m} 为等比数列,于是 lg a n ? lg m ? (lg a ? lg m)k n ?1 , k ?1 k ?1 k ?1
k n ?1

从而可得 an ? a

?m

k n ?1 ?1 k ?1 .

例 7.已知各项都是正数的数列 {an } 满足 a1 ?

3 1 , a n ?1 ? a n (4 ? a n ) ,求数列 {an } 2 2

的通项公式. 分析:数列 {an } 是一个二次递推数列,虽然不是基本冪型,但由它可以构造一个新的 冪型数列 {bn } ,通过求 {bn } 的通项公式而达到求数列 {an } 通项公式的目的. 解:由已知得 a n ?1 ? ?

? an ? 0,? 0 ? an?1 取对数得 lg bn?1 ? 2 lg bn ? lg 2 ,即 lg bn?1 ? lg 2 ? 2(lgbn ? lg 2) . ?{lg bn ? lg 2} 是首项为 ? 2 lg 2 ,公比为 2 的等比数列,

1 1 1 2 (a n ? 2) 2 ? 2, 令 2 ? an ? bn ,则有 b1 ? , bn ?1 ? bn . 2 2 2 ? 2, 又 0 ? a1 ? 2 ,? 0 ? an ? 2 ,从而 bn ? 0 .

? lg bn ? lg 2 ? ?2n lg 2,?bn ? 21?2 ,? an ? 2 ? 21?2 .
n n


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