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人教b版高一数学必修一:3.2.3《指数函数与对数函数的关系》学案


3.2.3 指数函数与对数函数的关系 自主学习 学习目标 1.理解反函数的定义. 2.知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0,a≠1). 3.通过描点法作出指数函数、对数函数的图象,掌握它们的性质. 自学导引 1.反函数 (1)互为反函数的概念 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 ____________,

而把这个函数的自变量作为新的函数的____________. 称这两个函数互为反 函数. (2)反函数的记法:函数 y=f(x)的反函数通常用____________表示. 2.指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x____________. (2)指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 的图象关于________对称. 对点讲练 知识点一 求函数的反函数问题 例 1 求下列函数的反函数. 1?x (1)y=? ?4? ; (2)y=log2x,x∈(1,8); (3)y=x2+1,x∈(0,+∞). 规律方法 求函数 y=f(x)的反函数的步骤为: - (1)由 y=f(x)解出 x=f 1(y); (2)由函数 y=f(x)求 y 的范围; - (3)x、y 互换得 y=f 1(x),注明定义域,即函数 y=f(x)的值域. 变式迁移 1 求下列函数的反函数. 1 (1)y=log2x; (2)y=( )x; 3 (3)y=5x+1. 知识点二 互为反函数的图象间的关系 例 2 设方程 2x+x-3=0 的根为 a,方程 log2x+x-3=0 的根为 b,求 a+b 的值. 规律方法 根据指数函数与对数函数的图象的关系, 利用数形结合、 等价转化的思想可 较为简便地解决有关方程的问题. 变式迁移 2 本例中若将题干中的两个方程分别改为 x+lg x=3 和 x+10x=3,结果怎 样? 知识点三 指数函数与对数函数图象及性质的综合应用 1 1 1 1 例 3 设 a,b,c 均为正数,且 2a=log a,( )b=log b,( )c=log2c,则( ) 2 2 2 2 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 规律方法 比较数的大小问题,方法灵活,就本题而言,把方程的解看作两函数图象交 点的横坐标,从而利用数形结合比较简单,若几个数在不同的范围内,亦可通过求这些数的 范围来比较大小. 变式迁移 3 三个数 60.7,0.76,log0.76 的大小关系为( ) 6 0.7 A.0.7 <log0.76<6 B.0.76<60.7<log0.76 C.log0.76<60.7<0.76 D.log0.76<0.76<60.7 学习本节内容要发现指数函数与对数函数的对立统一关系, 能正确比较指数函数和对数 函数的性质, 能以它们为例对反函数进行解释和直观理解, 掌握互为反函数的两个函数图象 关于 y=x 对称.在解题中反函数的某个函数值,常转化为求原函数的 x 值,注意转化思想 和数形结合、分类讨论思想的应用. 求反函数的一般步骤: - (1)将 y=f(x)看作方程,解出 x=f 1(y); -1 (2)将 x、y 对称,得 y=f (x); (3)写出反函数的定义域(即原函数的值域). 课时作业 一、选择题 1.函数 f(x)=3x (0<x≤2)的反函数的定义域为( A.(0,+∞) B.(1,9] C.(0,1) D.[9,+∞) 2.下列函数中,反函数是其自身的函数为( )

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