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函数图像与零点


函数图像与零点
姓名: 姓名: 日期: 日期: 函数图象是研究函数性质的直观工具,高考对函数图象的考查主要体现在以下几个方 面:①给出或由条件求出函数的解析式,判断函数的图象;②给出函数的图象求解析式;③ 给出含有参数的解析式和图象,求参数的值或范围;④考查函数图的平移、对称和翻折;⑤ 和数形结合有关问题等, 特别是讨论方程的解的个数及解不等式等. 同时考查基本数学思想 方法的运用及分析问题、解决问题的能力,试题设计新颖,体现了课改的方向. 函数零点问题可看作函数图像的衍生与升华, 研究此类问题除二分法外, 多采用数形结 合法,把方程问题,解得问题直观的转化为两函数图像的交点问题,所以更要准确把握各类 函数的性质特征,画出函数简图,准确找到交点所处的位置。

★ 难



一、研究一个函数图象可从如下几个方面来考查: (1)函数图象的范围,即定义域和值域; (2)函数图象的最高点、最低点和极点; (3)函数图象的变化趋势,即单调性、对称性和周期性; (4)函数过定点或渐近线等关键特征. 熟练处理函数图象题的途径:a 平时要牢记一些基本初等函数如:一次函数、二次函数、 指数函数、对数函数、三角函数等图象;b 对于一些简单的函数可通过列表、描点作图; c 对于一些复合函数可利用基本初等函数通过平移、对称和伸缩三大变换来作出我们所求 的函数. 二.函数零点的理解 函数 y = f ( x) 的零点、方程 f ( x ) = 0 的根、函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标,实 质是同一个问题的三种不同表达形式,方程 f ( x ) = 0 根的个数就是函数 y = f ( x) 的零点的 个数,亦即函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴交点的个数变号零点与不变号零点

x (1)若函数 f (x ) 在零点 0 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数 f ( x) 的变号零点 x (2) 若函数 f ( x) 在零点 0 左右两侧的函数值同号, 则称该零点为函数 f ( x) 的不变号零点
(3) 若函数 f ( x) 在区间 [ a,b] 上的图象是一条连续的曲线, f ( a ) ? f (b) < 0 是 f ( x) 在 则 区间 ( a,b) 内有零点的充分不必要条件。

三.用二分法求曲线交点的坐标要注意两个问题 (1)曲线交点坐标即为方程组的解,从而转化为求方程的根 (2)求曲线 y = f ( x) 和 y = g ( x) 的交点的横坐标,实际上就是求函数 y = f ( x) ? g ( x) 的

零点,即求方程 f ( x ) ? g ( x ) = 0 的根。

四.关于用二分法求函数 y = f (x ) 的零点近似值的步骤须注意的问题: (1)第一步中要使:①区间长度尽量小;② f ( a )、f (b) 的值比较容易计算且

f (a ) ? f (b) < 0 ;
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于 求方程 f ( x ) = g ( x ) 的根,可以构造函数 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,函数 F (x ) 的零点即方 程 f ( x ) = g ( x ) 的根。

五.二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的分布有关的结论: ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0.

?? = b 2 ? 4ac > 0, ? ? b ? ?? > r, ? 2a ? a ? f ( r ) > 0. ②二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ?

③二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根

?? = b 2 ? 4ac > 0, ? ? p < ? b < q, ? ?? 2a ?a ? f (q ) > 0, ? ? a ? f ( p ) > 0. ?

④二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0,另 一根在(p,q)内或 f(q)=0,另一根在(p,q)内.

?a ? f ( p ) < 0, ?? ?a ? f (q ) > 0. ⑤方程 f(x)=0 的两根中一根大于 p,另一根小于 q(p<q)

题型 1 :由函数解析式判断函数图象
一些简单的复合函数图象可以看成是一些基本初等函数图象经过平移、 伸缩或对称变换得到 的,所以牢记一些常用的函数(如指数函数、对数函数等)非常重要.另外,由解析式判断 函数图象还可以通过取特殊点来判断.

例 1.已知函数 y = log 2 x 的反函数是 y = f .

?1

( x) ,则函数 y = f

?1

(1 ? x) 的图象是(



变式 1:设 a>1,实数 x,y 满足|x|-loga :

1 =0,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 ( y

)

变式 2:(2009 山东) 函数 y = : y 1 O 1 x

e x + e? x 的图像大致为( e x ? e? x
y y

) y

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

题型 2:由函数图象求解析式中参数 : 观察函数的图象时要抓住其关键特征,如对称性、过定点、单调性、定义域和值域等进行综 合判断.
2 2 例 2.设 b > 0 ,二次函数 y = ax + bx + a ? 1 的图象下列之一:则 a 的值为( .



A

1

B

-1

C

?1? 5 2

D

?1 + 5 2

已知函数 f ( x ) = log a (2 + b ? 1)( a > 0,a ≠ 1) 的图象如图所示, a,b 满足的关 则 变式 1: :
x

系是(


?1

A. 0 < a C. 0 < b

< b <1

B. 0 < b < a

?1

<1
O

y x

?1

< a < ?1 D. 0 < a ?1 < b ?1 < 1

?1

题型 3:由函数的图象求解析式 : 由函数图象求函数解析式,一要注意函数图象的形状,如直线、抛物线、圆的一部分等, 二要注意其经过的关键点,会使用待定系数法。

例 3:某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿 : 市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间 的关系用图二的抛物线段表示 .

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P= f (t ) ; 成本与时间的函数关系式 Q= g (t ) ;

写出图二表示的种植

(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?

题型 4 :与数形结合有关问题 不借助于图形,通过研究方程式来得出结果是很困难的.当然在利用数形结合思想解题时, 作图一定要规范和准确.

?| lg | x ? 1 ||, 例 4:设定义域为 R 的函数 f ( x) = ? : 0, ?

x ≠1 x =1

,则关于 x 的方程 f 2 ( x) + bf ( x) + c = 0

有 7 个不同实数解的充要条件是( ) (B) b > 0 且 c < 0 (A) b < 0 且 c > 0 (C) b < 0 且 c = 0 (D) b ≥ 0 且 c = 0

y

O

? 1

2

x

变式 1:当 x∈(1,2)时,不等式(x-1) <logax 恒成立,则 a 的取值范围为 :

2

.

全国) 变式 2:(2010 全国)直线 y = 1 与曲线 y = x ? x + a 有四个交点,则 a 的取值范围是 :
2

题型 5:零点与零点个数问题 函数的零点不是点,而是函数函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴交点的横坐标,即零点是一个实 数。求函数 y = f (x ) 的零点是高考的热点,有两种常用方法: ①(代数法)求方程 f ( x ) = 0 的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y = f (x ) 的图像联系起来,并 利用函数的性质找出零点. 常见题型:求函数零点(例 1 及其变式);确定函数零点个数(例 2 及其变式);二次函数 根的分布(例 3 及其变式)。
3 2 例 1: 求函数 y = x ? 2 x ? x + 2 的零点. :

2 2 变式: 变式:若函数 f(x)=x -ax-b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx -ax-1 的零点是 ________.

例 2: 求函数 f(x)=lnx+2x -6 的零点个数. :

f 变式 1:(2010 福建)函数 (x)= ?
A.0 B.1

? x 2 +2x-3,x ≤ 0

的零点个数为 ( D.3

)

?-2+ ln x,x>0
C.2

变式 2:方程 2 :

?x

+ x 2 = 3 的实数解的个数为 _______。

2 例 3: (2009·广东)已知 a 是实数,函数 f ( x ) = 2ax + 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y = f ( x ) 在区间 :

[? 1,1] 上有零点,求 a 的取值范围。

变式 1:若对于任意 a ∈ [?1, 1] ,函数 f ( x) = x 2 + (a ? 4) x + 4 ? 2a 的值恒大于零, 取值范围是 。

则x的

变式 2:关于 x 的方程 x 2 ? (2m ? 8) x + m 2 ? 16 = 0 的两个实根 则实数 m 的取值范围 。

x 、 x 满足 x1 < < x2 ,
1 2

3 2

变式 3:(2010 年浙江五校联考)函数 : 则实数 m 的取值范围是( A.

f ( x ) = mx 2 ? 2 x + 1


有且仅有一个正实数的零点,

( ?∞,1] ;B. ( ?∞, 0] U {1} ;C. ( ?∞, 0 ) U ( 0,1] ;D. ( ?∞,1)

变式 4:关于 x 的方程 4 + 2 a + a + 1 = 0 有实数根,求 a 的取值范围。 :
x x

题型 6:用二分法求函数方程的近似解
用二分法求方程 f ( x ) = 0 的近似解的关键是先寻找使得函数 f (x ) 在两端点异号的某区间, 然后依次取其中点,判断函数 f (x ) 在中点的符号,接着取两端函数值异号的区间作为新的 区间,依次进行下去,就可以找到符合条件的近似解。 例 1:(2010 天津)函数 f ( x) = 2 x + 3 x 的零点所在的一个区间是( A (-2,-1) B (-1,0) C (0,1)

) D (1,2)

3 2 变式: 变式:(2010·惠州调研)若函数 f ( x) = x + x ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二

分法计算,其参考数据如下:

f (1) = ?2 f (1.375) = ?0.260

f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162

f (1.25) = ?0.984 f (1.40625) = ?0.054
).

3 2 那么方程 x + x ? 2 x ? 2 = 0 的一个近似根(精确到 0.1)为(

A.1.2;

B.1.3;

C.1.4 ;

D.1.5



还记 吗 ★

一、基本函数图象特征(作出草图) 基本函数图象特征(作出草图 1.一次函数为 ; 2.二次函数为 ; 3.反比例函数为 ; ,对数函数为 4.指数函数为 二、函数图象变换 1.平移变换: ①水平变换:y=f(x)→y=f(x-a) (a>0) y=f(x)→y=f(x+a) (a>0) ②竖直变换:y=f(x)→y=f(x)+b (b>0) y=f(x)→y=f(x)-b (b>0) 2.对称变换: ① y=f(-x)与 y=f(x)关于 对称 对称 ② y=-f(x)与 y=f(x)关于 ③ y=-f(-x)与 y=f(x)关于 对称 -1 ④ y=f (x)与 y=f(x)关于 对称 ⑤ y=|f(x)|的图象是将 y=f(x)图象的 ⑥ y=f(|x|)的图象是将 y=f(x)图象的

.

3.伸缩变换: ① y=Af (x) (A>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 . . ② y=f (ax) (a>0)的图象是将 y=f(x)的图象的 4. 若对于定义域内的任意 x, f (a-x)=f (a+x) (或 f (x)=f (2a-x)), f (x)关于 若 则 称,若 f (a-x)+f (a+x)=2b (或 f (x)+f (2a-x)=2b),则 f (x)关于 对称.




1.函数 y= ?

两 试试瞧 ★

y y

( x < 0) ? x2 的图象大致是( x ?2 ? 1 ( x ≥ 0)
y y

O
A

x
B

O

x
C

O

x
D

O

x

.

.

y

.

.

2.函数 y = ln(1?x)的图象大致为 (
y y

y

?1

O

x

?1 O

x

O

1

x

O 1 x

A

B

C

D

? 2? x ? 1 ( x ≤ 0) ? f x 1 x >0) 若方程 f(x)=x+a 有两不同实根,则 a 的取 3. f(x)的定义域为 R,且 f(x)= ? ( ? ) (
值范围为 A. (-∞,1) C. (0,1) ( ) B. (-∞,1] D. (-∞,+∞) )?

4.函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是 (

5. 2009 福建) ( 若函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) = 4 + 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,
x

则 f ( x ) 可以是(

) B. f ( x ) = ( x ? 1)
2

A. f ( x ) = 4 x ? 1 C. f ( x ) = e ? 1
x

D. f ( x ) = In ? x ?
x2 + 2 x

? ?

1? ? 2?
) D. ?2 < x < 1 ( )

6.已知 a > 1 , f ( x ) = a

,则 f ( x ) < 1 成立的一个充分不必要条件是( C. ?2 < x < 0

A. 0 < x < 1 B. ?1 < x < 0 7. 方程 lgx+x=3 的解所在的区间为 A. (0,1) B. (1,2) C.

(2,3)

D.

(3,+∞)

8.右图为函数 y = m + log n x 的图象,其中 m, n 为常数,则下列结论正确 的是 ( ) A. m < 1, n > 1 C. m > 0,0 < n < 1 9.(2009 天津)设函数 f ( x ) = B. m > 0, n > 1 D. m < 0,0 < n < 1

1 x ? ln x( x > 0), 则 y = f ( x) ( ) 3 1 1 A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点 B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点 e e 1 C.在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点 e 1 D.在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点 e
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

10.(2011 山东)函数 y=lncosx(-

π π <x< ) 的图象是( 2 2



? ax + b( x ≤ 0) ? 11.函数 f(x)= ? 的图象如图所示,则 a+b+c= 1 log c( x + )( x >0) ? 9 ?

.

12. 函数 y=f(x)的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式 f(x)<f(-x)+x 的 解集为 。

13. 使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是



14.方程 kx = 1 ? ( x ? 2) 有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是__________.
2

15.函数 y = log a ( x + 3) ? 1( a > 0, a ≠ 1) 的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 1 2 其中 mn>0, 则 + 的最小值为 . m n 16. 设 方 程 2 ln x = 7 ? 2 x 的 解 为 x0 , 则 关 于 x 的 不 等 式 x + 1 < x0 的 最 大 整 数 解 为 ________. 17.若关于 x 的方程 3x -5x+a=0 的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,则 a 的取 值范围是______________.
2

18.函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,其中点 A(1,2)、B(3,0),函数 g(x)=(x-1)f(x) 则函数 g(x)的最大值为 .

19.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

20.对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ∈R,使 f ( x0 )=x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不动点. 已知函数 20.

f ( x) = ax 2 + (b + 1) x + b ? 1 (a ≠ 0)
(1)当 a = 1, b = ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;


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