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高三数学第二轮专题复习-- 圆锥曲线


高三数学第二轮专题复习-高三数学第二轮专题复习-- 圆锥曲线
一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程; 这条曲 线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0,则点 P0(x0,y0)在曲线 C 上 ? f(x0,y )=0; 0 点 P0(x0,y0)不在曲线 C 上 ? f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点 若曲线 C1,C2 的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0)是 C1,C2 的交点 ? f2(x0,y0) =0 方程组有 n 个不同的实数解,两条曲线就有 n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线 就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集: {M||OM|=r} ,其中定点 O 为圆心,定长 r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在 c(a,b),半径为 r 的圆方程是 2 2 2 (x-a) +(y-b) =r 圆心在坐标原点,半径为 r 的圆方程是 2 2 2 x +y =r (2)一般方程? 2 2 当 D +E -4F>0 时,一元二次方程 2 2 x +y +Dx+Ey+F=0

D E 叫 做 圆 的 一 般 方 程 , 圆 心 为 (,,半径是 2 2
x +y +Dx+Ey+F=0 化为 (x+
2 2

D 2 + E 2 - 4F .配方,将方程 2

D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F ) +(y+ ) = 2 2 4
2 2

当 D +E -4F=0 时,方程表示一个点 (2 2

D E ,- ); 2 2

当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心 C(a,b),半径为 r,点 M 的坐标为(x0,y0),则 |MC|<r ? 点 M 在圆 C 内, |MC|=r ? 点 M 在圆 C 上,
1

|MC|>r ? 点 M 在圆 C 内, 其中|MC|= (x 0 - a) + (y 0 - b) .
2 2

(3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交 ? 有两个公共点 直线与圆相切 ? 有一个公共点 直线与圆相离 ? 没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心 C(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.

Aa + Bb + C A2 + B 2

与半径 r 的大小关系来

曲 线 性 质
轨迹条件





双曲线

抛物线

点集:({M||MF1+| MF2 |=2a,|F 1F2 |< 2a=

点集:{M||MF1 |-| MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}.

点集{M| |MF|=点 M 到直线 l 的距离}.





标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a 2 b2
A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴 x=0,y=0 长轴长:2a 短轴长:2b

x2 y2 =1(a > 0,b > a 2 b2
0)

y2=2px(p>0)





A1(0,-a),A2(0,a) 对称轴 x=0,y=0 实轴长:2a 虚轴长:2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上 |F1F2|=2c, c= a2 + b2

O(0,0)



对称轴 y=





F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上 |F1F2|=2c,

F(

P ,0) 2

焦点对称轴上





c= a2 - b2

2



线

a2 x=± c
准线垂直于长轴,且在 椭圆外.

a2 x=± c
准线垂直于实轴,且在 两顶点的内侧. e=

x=-

p 2

准线与焦 点位于顶点 两侧, 且到顶点的距离 相等. e=1

离心率

e=

c ,0<e<1 a

c ,e>1 a

4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的 距离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率. 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆 当 e=1 时,轨迹为抛物线 当 e>1 时,轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中, 把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做 坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改 变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变, 只改变原点的位置, 这种坐标系的变 换叫 做坐标轴的平移,简称移轴. 坐标轴的平移公式 设平面内任意一点 M,它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y),在新 坐标系 x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点 O′在原坐标系 xOy 中的坐标是 (h,k),则 x=x′+h x′=x-h (1) 或(2) y=y′+k y′=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程? 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方 程 焦 点 焦 x=± 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k

(x - h) 2 (y - k) 2 + =1 a2 b2
椭圆

(±c+h,k)

a2 +h c

(x - h) 2 (y - k) 2 + =1 b2 a2 (x - h) 2 (y - k) 2 =1 a2 b2
双曲线

(h,±c+k)

a2 y=± +k c a2 =± +k c
y=±

(±c+h,k)

(y - k) 2 (x - h) 2 =1 a2 b2

(h,±c+h)

a2 +k c

3

(y-k) =2p(x-h) (y-k) =-2p(x-h) 抛物线 (x-h) =2p(y-k) (x-h) =-2p(y-k)
2 2 2

2

p +h,k) 2 p (- +h,k) 2 p (h, +k) 2 p +k) (h,2
(

p +h 2 p x= +h 2 p y=- +k 2 p y= +k 2
x=-

y=k y=k x=h x=h

二、知识点、能力点提示 知识点、 (一)曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系, 然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在 求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求 出的曲线 方程才能准确无误.另外,要求会判断 曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标. 考纲中对圆锥曲线的要求: 三、 考纲中对圆锥曲线的要求 考试内容: . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程; . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质; . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质; 考试要求: . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程; . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质; . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质; . (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四.对考试大纲的理解 . 高考圆锥曲线试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右, 考查的 知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以 圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学高 考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力, 重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直 线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转 化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好 圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一 起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在
4

哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到 “式” 中特定系数的等量关系, 通过解方程得到量的大小. 【例题】 【例1】 双曲线 】
x2 y2 =1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点, ? 4 b2

|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则 b2=_________. 解:设 F1(-c,0) 2(c,0)、P(x,y),则 、F |PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2, 又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|, 依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2 ∴16+8c2<50+2c2,∴c2< 又∵c2=4+b2< 答案:1 【例2】 已知圆 C1 的方程为 (x ? 2)2 + ( y ? 1)2 = 】
x2 a
2

17 , 3

5 17 ,∴b2< ,∴b2=1. 3 3

20 ,椭圆 C2 的方程为 3

+

y2 b
2

=1

(a > b > 0) ,C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 2

恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程。 解:由 e = 设椭圆方程为
2 c 2 2 , a = 2c 2 , b 2 = c 2 . ,得 = 2 a 2

x2 2b
2

+

y2 b2

= 1.

设 A( x1 , y1 ).B( x2 , y 2 ).由圆心为(2,1).
∴ x1 + x2 = 4, y1 + y 2 = 2.
y



2 x1

2b 2

+

2 y1

b2

= 1,

2 x2

2b 2 2b 2

+

2 y2

b2 +

= 1, = 0.
F2 O

A

两式相减,得

2 2 x1 ? x 2

2 2 y1 ? y 2

b2

C1

( x1 + x2 )( x1 ? x 2 ) + 2( y1 + y 2 )( y1 ? y 2 ) = 0,

F1 B

x

又 x1 + x 2 = 4. y1 + y 2 = 2.得

y1 ? y 2 = ?1. x1 ? x 2

∴ 直线AB的方程为 y ? 1 = ?( x ? 2)..

5

即 y = ?x + 3 将 y = ? x + 3代入
x2 2b 2 + y2 b2 = 1, 得

3 x 2 ? 12 x + 18 ? 2b 2 = 0.

∵ 直线AB与椭圆C 2 相交.∴ ? = 24b 2 ? 72 > 0.

由 AB = 2 x1 ? x 2 = 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =

20 . 3

得 2?

24b 2 ? 72 = 3
b 2 = 8.

20 . 3

解得

故所有椭圆方程

x2 y2 + = 1. 16 8

0)的直线 l 与中心在原点, 焦点在 x 轴上且离心率为 【例3】 过点(1, 】 相交于 A、B 两点,直线 y=

2 的椭圆 C 2

1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关 2

于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程. 解法一:由 e=
c 2 a2 ? b2 1 2 2 = ,得 = ,从而 a =2b ,c=b. a 2 2 a2

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得, (x12-x22)+2(y12-y22)=0,
y1 ? y 2 x + x2 =? 1 . x1 ? x 2 2( y1 + y 2 )

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 , 2 y0
B

y 1 y= x

1 1 又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0, 2 2

2

于是-

x0 =-1,kAB=-1, 2 y0

F2

o

F1 A

x

设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y′ ? x′ ? b = 1 ?x′ = 1 ? 则? 解得? ? y′ = 1 ? b ? y′ = ? x′ + b + 1 ?2 2 ?

6

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为 解法二:由 e=

9 2 9 ,a = . 16 8

8 x 2 16 2 + y =1,l 的方程为 y=-x+1. 9 9

c 2 a 2 ? b2 1 2 2 = ,得 = ,从而 a =2b ,c=b. a 2 2 a2

设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1), 将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0, 则 x1+x2=
4k 2 1 + 2k
2

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

2k 1 + 2k 2

.

直线 l:y=

x + x 2 y1 + y 2 1 ?k 1 2k 2 = ? x 过 AB 的中点( 1 , ),则 , 2 2 2 1 + 2k 2 2 1 + 2k 2

解得 k=0,或 k=-1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k=0 舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一. 解法 3:设椭圆方程为
x2 a2 + y2 b2 = 1(a > b > 0) (1)

直线 l 不平行于 y 轴,否则 AB 中点在 x 轴上与直线 y = 故可设直线 l的方程为y = k ( x ? 1) (2)

1 x过AB 中点矛盾。 2

(2)代入(1)消y整理得:k 2 a 2 + b 2 ) x 2 ? 2k 2 a 2 x + a 2 k 2 ? a 2 b 2 = 0 (3) (
设A( x1,y1 ) B( x 2,y 2 ) , 知:x1 + x 2 = 又y1 + y 2 = k ( x1 + x 2 ) ? 2k代入上式得:

2k 2 a 2 k 2a 2 + b2

k?

2 2k 1 k 2a2 + b2 1 b2 1 = , ∴ k ? 2k ? = ,∴ k ? k ? 2 = , 又e = x1 + x 2 2 2 2 2 2k 2 a 2 ka 2b 2 a2 =? 2(a 2 ? c 2 ) a2 = ?2 + 2e 2 = ?1 , ∴ 直线l的方程为y = 1 ? x ,

∴k = ?

此时a 2 = 2b 2 , 方程(3)化为3x 2 ? 4 x + 2 ? 2b 2 = 0 , ? = 16 ? 24(1 ? b 2 ) = 8(3b 2 ? 1) > 0

∴b >

3 , 椭圆C的方程可写成:x 2 + 2 y 2 = 2b 2 (4) , 又c 2 = a 2 ? b 2 = b 2 , 3

∴ 右焦点F (b,) , 设点F关于直线l的对称点( x 0,y 0 ) , 0

? y0 ?x ? b =1 ? 则? 0 ? x 0 ? 1,y 0 = 1 ? b , ? y0 = 1 ? x0 + b ?2 2 ?
7

又点(1,? b)在椭圆上,代入 (4)得: + 2(1 ? b) = 2b 2 ,∴b = 1 1

3 3 > , 4 3

∴b 2 =

9 , 16

a2 =

9 8
x2 y2 + =1 9 9 8 16

所以所求的椭圆方程为:

【例4】 如图,已知△P1OP2 的面积为 】

27 ,P 为线段 P1P2 的一个三等分点,求以 4
13 的双曲线方程. 2

直线 OP1、OP2 为渐近线且过点 P 的离心率为

解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为 由 e2=
c2 x2 a2 ? y2 b2

=1(a>0,b>0)

y

P2

b 13 2 b 3 = 1 + ( )2 = ( ) ,得 = . a 2 a 2 a
2

∴两渐近线 OP1、OP2 方程分别为 y= 设点 P1(x1,

3 3 x 和 y=- x 2 2
o

P x P1

3 3 x1),P2(x2,- x2)(x1>0,x2>0), 2 2

PP 则由点 P 分 P1 P2 所成的比λ= 1 =2, PP2

得 P 点坐标为(

x1 + 2 x 2 x1 ? 2 x 2 , ), 3 2 x2 a2 ? 4y2 9a 2 9a 2

又点 P 在双曲线 所以
( x1 + 2 x 2 ) 2 9a 2

=1 上, =1,

?

( x1 ? 2 x 2 ) 2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2
又 | OP1 |= x1 2 +


13 x2 2

9 2 13 9 x1 = x1 , | OP |= x 2 2 + x 2 2 = 4 2 4 3 2× 2 tan P1Ox 2 = 12 sin P1OP2 = = 1 + tan 2 P1Ox 1 + 9 13 4 1 1 13 12 ∴ S ?P1OP2 = | OP1 | ? | OP2 | ? sin P1OP2 = ? x1 x 2 ? = 2 2 4 13

27 , 4

即 x1x2=

9 2



由①、②得 a2=4,b2=9 故双曲线方程为
x2 y2 ? =1. 4 9

8

【例5】 过椭圆 C: 】

y2 a
2

+

x2 b
2

= 1(a > b > 0) 上一动点 P 引圆 O:x2 +y2 =b2 的两条切

线 PA、PB,A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。(1) 已知 P 点 坐标为(x0,y0 )并且 x0y0≠0,试求直线 AB 方程;(2) 若椭圆的短 轴长为 8,并且
a2 | OM |
2

+

b2 | ON |
2

=

25 ,求椭圆 C 的方程;(3) 椭 16

圆 C 上是否存在点 P, P 向圆 O 所引两条切线互相垂直?若存 由 在,请求出存在的条件;若不存在,请说明理由。 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2, y2) 切线 PA: x1 x + y1 y = b 2 ,PB: x 2 x + y 2 y = b 2 ∵P 点在切线 PA、PB 上,∴ x1 x0 + y1 y 0 = b 2 ?x 2 x 0 + y 2 y 0 = b 2 ∴直线 AB 的方程为 x 0 x + y 0 y = b 2 ( x 0 y 0 ≠ 0) (2)在直线 AB 方程中,令 y=0,则 M(
b2 b2 ,0);令 x=0,则 N(0, ) x0 y0



a2 | OM | 2

+

b2 | ON | 2

=

2 2 a 2 y0 x0 a 2 25 ( 2 + )= 2 = b2 16 b2 a b



∵2b=8

∴b=4

代入①得 a2 =25, b2 =16 (注:不剔除 xy≠0,可不扣分)

∴椭圆 C 方程:

y2 x2 + = 1( xy ≠ 0) 25 16

(3) 假设存在点 P(x0,y0)满足 PA⊥PB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知, 四边形 PAOB 为正方形,|OP|= 2 |OA| 又∵P 点在椭圆 C 上
2 由①②知 x 0 =

2 2 ∴ x 0 + y 0 = 2b 2



2 2 ∴ a 2 x0 + b 2 y 0 = a 2 b 2
2 , y0 =



b 2 (a 2 ? 2b 2 ) a2 ? b2

a 2b 2 a2 ? b2

∵a>b>0

∴a2 -b2>0

(1)当 a2-2b2>0,即 a> 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P 点向圆 所引两切线互相垂直; (2)当 a2-2b2<0,即 b<a< 2 b 时,椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点

9

、F ,点 F1 到相应的准线 【例6】 已知椭圆 C 的焦点是 F1(- 3 ,0) 2( 3 ,0) 】 的距离为
3 ,过 F2 点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,使得 3

|F2B|=3|F2A|. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程. 解: (1)依题意,椭圆中心为 O(0,0) c = 3 ,
2 点 F1 到相应准线的距离为 b = 3 ,∴ b 2 = 3 × 3 = 1 ,

c

3

a2=b2+c2=1+3=4 ∴所求椭圆方程为 x + y 2 = 1
4
2

y

l P A M x N

(2) 设椭圆的右准线 l ′ 与 l 交于点 P, AM⊥ l ′ , 作 AN⊥ l ′ , 垂足 分别为 M、N. 由椭圆第二定义,
B F1 O

F2

得 | AF2 | = e ?| AF2 |= e | AM | | AM | 同理|BF2|=e|BN| 由 Rt△PAM~Rt△PBN,得 | PA |=
∴ cos ∠PAM = | AM | 1 = = | PA | 2e 1 2× 3 2

1 2

| AB |= 2 | F 2 A |= 2e | AM | …9 分
= 3 ? l 的斜率 k = tan ∠PAM = 2 . 3

∴直线 l 的方程 y = 2 ( x ? 3 )

即 2x ? y ? 6 = 0

【例7】 已知点 B 】 (-1, , 0)C 0)P 是平面上一动点, (1, , 且满足 | PC | ? | BC |= PB ? CB. (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE, 判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论. (3)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜 率 k1、k2 满足 k1·k2=2.求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点. 解: (1)设 P ( x, y )代入 | PC | ? | BC |= PB ? CB得 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 + x, 化简得 y 2 = 4 x.

10

(2)将A(m,2)代入y 2 = 4 x得m = 1,∴点A的坐标为(1,2). 设直线AD的方程为y ? 2 = k ( x ? 1)代入y 2 = 4 x, 得y 2 ? 由y1 = 2可得y 2 = 4 8 y + ? 4 = 0, k k

4 4 4 ? 2,∴ D ( 2 + 1, ? 2). k k k 1 同理可设直线AE : y ? 2 = ? ( x ? 1), 代入y 2 = 4 x得E (4k 2 + 1,?4k ? 2). k 4 + 4k 则直线DE方程为 : y + 4k + 2 = k ( x ? 4k 2 ? 1), 化简得 4 k 2 ? 4k k ( y + 2) + k ( x ? 5) ? ( y + 2) = 0,
2

即y + 2 = ?

k k ?1
2

( x ? 5), 过定点(5,?2).

(3)将A(m,2)代入y 2 = 4 x得m = 1, 设直线DE的方程为y = kx + b, D ( x1, y1 ), E ( x1, y1 ) ? y = kx + b ? 由? 2 得k 2 x 2 + 2(kb ? 2) x + b 2 = 0, ? y = 4x ? ∵ k AD ? k AE = 2,∴ y1 ? 2 y2 ? 2 ? = 2( x1, x2 ≠ 1), x1 ? 1 x2 ? 1

且y1 = kx1 + b, y 2 = kx 2 + b ∴ (k 2 ? 2) x1 x 2 + (kb ? 2k + 2)( x1 + x 2 ) + (b ? 2) 2 ? 2 = 0, 将x1 + x 2 = ? 2(kb ? 2) k
2

, x1 x 2 =

b2 k
2

代入化简得b 2 = (k ? 2) 2 ,∴ b = ±(k ? 2).

∴ b = ±(k ? 2). 将b = k ? 2代入y = kx + b得y = kx + k ? 2 = k ( x + 1) ? 2, 过定点(?1,?2). 将b = 2 ? k代入y = kx + b得y = kx + 2 ? k = k ( x ? 1) + 2, 过定点(1,2), 不合, 舍去, ∴ 定点为(?1,?2)
x2 a
2

【例8】 已知曲线 】

?

y2 b
2

= 1(a > 0, b > 0)的离心率e =
3 . 2

2 3 ,直线 l 过 A(a,0) 、 3

B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离是 (Ⅰ)求双曲线的方程;

(Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON = ?23 ,求直线 m 的方程.

解: (Ⅰ)依题意, l方程 x + y = 1, 即bx ? ay ? ab = 0, 由原点 O 到 l 的距离 a ?b 为 3 ,得
2

ab a +b
2 2

=

ab 3 = c 2

又e = c = 2 3
a 3

∴ b = 1, a = 3

故所求双曲线方程为

x2 ? y2 = 1 3

(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1,则点 M、N 坐标( x1 , y1 ) 、

11

( x 2 , y 2 )是方程组

? y = kx ? 1 ? 2 ?x 2 ? ? y =1 ?3

的解

消去 y,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 + 6kx ? 6 = 0


6k 6 , x1 x 2 = 2 2 3k ? 1 3k ? 1

2 依设, 1 ? 3k ≠ 0, 由根与系数关系,知 x1 + x2 =

OM ? ON = ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) = x1 x2 + y1 y 2 = x1 x2 + (kx1 ? 1)(kx2 ? 1)
2 2 = (1 + k 2 ) x1 x 2 ? k ( x1 + x 2 ) + 1 = 6(1 + k ) ? 6k + 1 2 2

3k ? 1

3k ? 1

=

6 3k ? 1
2

+1

∵ OM ? ON = ?23



6 3k ? 1
2

+ 1 =-23,k=±

1 2

当 k=±

1 时,方程①有两个不等的实数根 2

故直线 l 方程为 y = 1 x ? 1, 或y = ? 1 x ? 1 2 2 【例9】 已知动点 P 与双曲线 】 且
cos ∠F1 PF2 的最小值为 ?
1 . 9

x2 y2 ? = 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值, 2 3

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D (0,3) ,M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM = λ DN ,求实数 λ 的取值范围. 解: (1)由已知可得: c = 5 , ∴ a2 = 9 ∴
, b2 = a2 ? c2 = 4 x2 y2 + =1. 9 4 a 2 + a 2 ? ( 2c ) 2 2a
2

=?

1 9

所求的椭圆方程为

(2)方法一: 由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的方 程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①
5 . 9

由判别式 ? = (54k ) 2 ? 4 × (4 + 9k 2 ) × 45 ≥ 0 ,得 k 2 ≥ 再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2),则一方面有

DM = ( x1 , y1 ? 3) = λ DN = λ ( x 2 , y 2 ? 3) = (λx 2 , λ ( y 2 ? 3)) ,得

12

? x1 = λx 2 ? ? y1 ? 3 = λ ( y 2 ? 3)

另一方面有 x1 + x 2 = ?

54k 4 + 9k
2

, x1 x 2 =

45 4 + 9k 2



将 x1 = λx 2 代入②式并消去 x 2 可得
324λ 5(1 + λ )
2

=

4 k
2

+ 9 ,由前面知, 0 < ≤ 81 ,解得 5

4 k
2



36 5

∴ 9<

324λ 5(1 + λ )
2

1 <λ <5. 5 1 5

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证: λ = 或λ = 5 , 所以
1 ≤ λ ≤ 5 为所求。 5

方法二:同上得
? x1 = λx 2 ? ? y1 ? 3 = λ ( y 2 ? 3)

设点 M (3cosα,2sinα),N (3cosβ,2sinβ)
?cos α = λ cos β 则有 ? ?2 sin α ? 3 = λ (2 sin β ? 3)

由上式消去α并整理得
sin β = 13λ2 ? 18λ + 5 12(λ2 ? λ )

,

由于 ?1 ≤ sin β ≤ 1

∴ ?1 ≤

13λ2 ? 18λ + 5 12(λ ? λ )
2

≤ 1 , 解得

1 ≤ λ ≤ 5 为所求. 5

方法三:设法求出椭圆上的点到点 D 的距离的最大值为 5,最小值为 1. 进而推得 λ 的取值范围为
1 ≤λ ≤5。 5

【求圆锥曲线的方程练习】 求圆锥曲线的方程练习】 练习 一、选择题 1.已知直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+m=0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 等于( A.3 ) B.-3 C.1 D.-1

2.中心在原点,焦点在坐标为(0,±5 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点

13

的横坐标为
A.

1 ,则椭圆方程为( 2

)
B. 2x 2 2 y 2 + =1 75 25 x2 y2 D. + =1 75 25

2x 2 2 y 2 + =1 25 75 x2 y2 C. + =1 25 75

二、填空题 3.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点 作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4.已知圆过点 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,则该圆 的方程为_________. 三、解答题 5.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任 意点,|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|=
4 10 ,试求椭圆的方程. 3

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其 中最长的支柱的长.

7. 已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2=
x2 a2 + y2 b2

20 ,椭圆 C2 的方程为 3

=1(a>b>0),C2 的离心率为

2 ,如果 C1 与 C2 相交于 2

A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,求直线 AB 的方程和椭 圆 C2 的方程.

参考答案 参考答案 一、1.解析:将直线方程变为 x=3-2y,代入圆的方程 x2+y2+x-6y+m=0, 得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0. 整理得 5y2-20y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2)

14

则 y1y2=

12 + m ,y1+y2=4. 5

又∵P、Q 在直线 x=3-2y 上, ∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故 m=3. 答案:A 2.解析:由题意,可设椭圆方程为: 即方程为
y
2 2

y2 a
2

+

x2 b
2

=1,且 a2=50+b2,

50 + b

+

x

2

b2

=1.

将直线 3x-y-2=0 代入,整理成关于 x 的二次方程. 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75. 答案:C 二、3.解析:所求椭圆的焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小,只需在直线 l 上找一点 P.使|PF1|+|PF2|最小,利用对称性可解.? 答案:
x2 y2 =1 + 5 4

4.解析:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
?(4 ? a) 2 + (?2 ? b) 2 = r 2 ? ? 则有 ?(?1 ? a) 2 + (3 ? b) 2 = r 2 ? 2 2 2 ?| a | +(2 3 ) = r ? ?a = 1 ?a = 5 ? ? ? ?b = 0 或?b = 4 ? 2 ? 2 ?r = 13 ?r = 27

由此可写所求圆的方程. 答案:x2+y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 三、5.解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2, ∴b2=4,设椭圆方程为
x2 a2 + y2 =1 4

① ② ③

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0), 则 x0=
1 a2m 4m (x1+x2)= ,y0=-x0+m= . 2 2 4+a 4 + a2
a2m 4+a
2

代入 y=x,得

=

4m 4 + a2

,
4a 2 4 + a2

由于 a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=-

,

15

又|M1M2|= 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =

4 10 , 3

代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为:

x2 y2 + =1. 5 4

6.解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x2=-25y.

由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0.16,从而|EE′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.解:由 e=
x2 y2 2 ,可设椭圆方程为 2 + 2 =1, 2 2b b

又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又
x1 2 2b 2 + y1 2 b2 = 1, x2 2 2b 2 + y22 b2

=1,两式相减,得

x1 2 ? x 2 2 2b 2

+

y1 2 ? y 2 2 b2

=0,

即(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0. 化简得

y1 ? y 2 =-1,故直线 AB 的方程为 y=-x+3, x1 ? x2

代入椭圆方程得 3x2-12x+18-2b2=0. 有Δ=24b2-72>0,又|AB|= 2 ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 = 得 2?
24b 2 ? 72 = 9 20 ,解得 b2=8. 3 20 , 3

故所求椭圆方程为

x2 y2 + =1. 16 8

16


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