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肇庆市2014届高三上学期期末统考理科数学试题和答案


肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题 高三数学(理科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写 在答题卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的

钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各 题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新 的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | x ? 3x ? 0} ,集合 N ? {x | x ? 2n ? 1, n ? Z} ,则 M ? N ?
2

A.{3} 2.设复数 z ? A. 1 ? 2i

B.{0}

C.{0,3}

D.{-3}

3?i ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数 z ? 1? i
B. 1? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i

3.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A. f ( x) ? ln x C. f ( x) ? x ? B. f ( x) ? 2 x ? sin x D. f ( x) ? e ? e
x ?x

1 x

? x ? y ? 2, ? 4.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2,则 z ? 2 x ? 3 y 的 ?0 ? x ? 1, ?
最大值是 A.-6 C.4 B.-1 D.6

5.执行如图 1 所示的程序框图,输出的 z 值为 A.3 C.5 B.4 D.6

高三数学(理科)试题

第 1 页 共 12 页

6.某几何体的三视图如图 2 所示(单位:cm) , 则其体积和表面积分别是 A. 6? cm 和 12(1 ? ? ) cm
3
2

B. 6? cm3 和 12? cm2 C. 12? cm 和 12(1 ? ? ) cm
3
2

D. 12? cm3 和 12? cm2 7.平面内有 4 个红点,6 个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线, 过这十个点中的任两点所确定的直线中,至少过一红点的直线的条数是 A.30 B.29 C.28 D.27 8.已知集合 An ? {1,3, 7,?, (2 ? 1)}(n ? N ) ,若从集合 An 中任取 k (k ? 1, 2,3,?, n) 个数,
n ?

其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只取一个数,规定乘积为此数本身) ,记

Sn ? T1 ? T2 ? T3 ? ? ? Tn .例如当 n=1 时, A1 ? {1} , T1 ? 1 , S1 ? 1 ;当 n ? 2 时,

A2 ? {1,3} , T1 ? 1 ? 3 , T2 ? 1 ? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 . 则 S n ?
A. 2 ? 1
n

B. 2

2 n?1

?1

C. 2

n ( n?1) ?1

?1

D. 2

n ( n?1) 2

?1

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.函数 f ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 3 的定义域为 ▲ .
▲ .

10.若等比数列 {an } 满足 a2 ? a4 ? 20, a3 ? a5 ? 40 ,则 a3 ?
4

11.在 ( x ? ) 的展开式中,常数项是 ▲ .(用数字作答)
10

1 x

12.曲线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 1 的切线中,斜率最小的切线方程为 ▲ .
3 2

13.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A 是半圆 x ? y ? 4 x ? 0 (2 ? x ? 4) 上的一个动点,
2 2

点 C 在线段 OA 的延长线上.当 OA ? OC ? 20 时,则点 C 的纵坐标的取值范围是 ▲ .

??? ???? ?

高三数学(理科)试题

第 2 页 共 12 页



) ▲

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 ? ? 极坐标为 ▲ . 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在 ?ABC 中, ?ACB=90° ,CE?AB 于点 E,以 AE 为直径的 圆与 AC 交于点 D,若 BE=2AE=4,CD=3, 则 AC= ▲ .

?
4

( ? ? 0) 与 ? ? 4cos ? 的交点的

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(x ? (1)求 f(?)的值; (2)若 sin ? ? ?

?
6

(A>0,x?R)的最大值为 2. ),

? ? 3 , ? ? (? ,0) ,求 f (2? ? ) . 2 6 5

17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,5 名同学的语文、英语成绩如下表所示: 学生 语文(x 分) 英语(y 分)

S1
87 86

S2
90 89

S3
91 89

S4
92 92

S5
95 94

(1)根据表中数据,求英语分 y 对语文分 x 的线性回归方程; (2)要从 4 名语文成绩在 90 分(含 90 分)以上的同学中选出 2 名参加一项活动,以 ? 表示选中的同学的英语成绩高于 90 分的人数,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .

? ? ? ? (线性回归方程 y ? bx ? a 中, b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

? ? , a ? y ? bx ,其中 x , y 为样本平

? x)

2

? ? 均值, b , a 的值的结果保留二位小数.)
18. (本小题满分 14 分)
高三数学(理科)试题 第 3 页 共 12 页

如图 4,在四棱锥 P—ABCD 中,PA?平面 ABCD,

1 AD ,四边形 ABCD 是直角梯形, 2 ?ABC ? ?BAD ? 90? . PA ? AB ? BC ?
(1)求证: CD?平面 PAC; (2)求二面角 A—PD—C 的余弦值. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1 ,

nan ? a n ?1 ? n ,n? N* . a n ?1

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2n ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn ; an
2 2 2 2

(3)证明: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 .

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,椭圆短轴的一个端点与两个焦 2 2 a b

点构成的三角形的面积为 3 ,过椭圆 C 的右焦点的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若线段 AB 中点的横坐标为

1 ,求直线 l 的方程; 2
| DP | | AB |
的取

(3) 若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 D. 设弦 AB 的中点为 P,试求 值范围. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2a ? 1) x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 .
2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,且在 ?0, e? 上的最大值为 1 ,求 a 的值.

肇庆市中小学教学质量评估
高三数学(理科)试题 第 4 页 共 12 页

2013—2014 学年第一学期统一检测题 高三数学(理科)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 D 6 A 7 B 8 D

8 【 解 析 】 当 n ? 3 时 , A3 ? {1, 3 , 7 } T1 ? 1 ? 3 ? 7 ? 11, T2 ? 1? 3 ? 1? 7 ? 3 ? 7 ? 31 , ,

1 T3 ? 1? 3 ? 7 ? 21 , 所 以 S3 ? 1 1 ? 3 ?
S3 ? 64 ? 26 ? 1 ,所以猜想 Sn ? 21?2?3???n ?1 ? 2
二、填空题: 9. (??, ?3] ? [1, ??) 13. [?5,5] 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解:因为函数 f ( x) ? A sin ? x ? 即 f ( x) ? 2sin ? x ? 10.8 11.45

2?.1 由 6 3 S1 ? 21 ? 1, S2 ? 23 ? 1 , 于
n ( n ?1) 2

?1 .

12. 3x ? y ? 2 ? 0

14. (0,0) 分) (2 2 , (2 ,

?
4

) (3 分)

15.

8 3

? ?

??

? 的最大值为 2 ,所以 A ? 2 , 6?

(2 分)

? ?

??

?. 6?

(1) f (? ) ? 2sin ? ? ?

? ?

??

? 1 ? ? ?2sin ? ?2 ? ? ?1 6? 6 2

(5 分)
2

4 3 ? 3? ? ? ? 2 (2)因为 sin ? ? ? , ? ? ? ? , 0 ? ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ? 5? ? 2 ?

(7 分)

24 ? 3? 4 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 25 ? 5? 5
7 ?4? cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? 25 ?5?
2 2

(8 分)

(9 分)

所以 f ? 2? ?

? ?

??

?? ? ? ? ? ? 2sin ? 2? ? ? ? 2sin 2? cos ? 2 cos 2? sin 3? 3 3 6? ?
高三数学(理科)试题 第 5 页 共 12 页

(11 分)

7 3 7 3 ? 24 ? 24 ? 1 ? 2?? ? ?? ? 2? ? ? 25 2 25 ? 25 ? 2
17. (本小题满分 12 分) 解: (1) x ?

(12 分)

87 ? 90 ? 91 ? 92 ? 95 ? 91, 5 8 6? 8 9 8 ? 9? 9 4 ? 9 2 y? ?90, 5
2

(1 分) (2 分)

? (x ? x )
i ?1 i

5

? (?4) 2 ? (?1) 2 ? 02 ? 1 ? 42 ? 34,

? ( x ? x )( y ? y ) ? (?4) ? (?4) ? (?1) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 1? 2 ? 4 ? 4 ? 35,
i ?1 i i

5

? 35 ? 1.03, b? 34
? ? a ? y ? bx ? 90 ? 1.03 ? 91 ? ?3.73 ,

(4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

y 故回归直线方程为 ? ? 1.03x ? 3.73 .
(2)随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.

P(? ? 0) ?

2 C2 1 ? ; 2 C4 6

P (? ? 1) ?

1 1 C2 C2 2 ? ; 2 C4 3

P(? ? 2 )?

2 C2 1 ? . 2 C4 6

故 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

1 6

2 3

1 6
(10 分)

所以 E? ? 0 ?

1 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 . 6 3 6

(12 分)

18. (本小题满分 14 分) (1)证明:∵PA?平面 ABCD,且 CD?平面 ABCD,

高三数学(理科)试题

第 6 页 共 12 页

∴CD?PA.

(1 分)

又∵AB=BC,?ABC=90° ,∴?BAC=45° , 又?BAD=90° ,故?CAD=45° (2 分)

过 C 作 CE//AB,交 AD 于 E,则 CE=AB=DE,?CED=?BAD=90° ,∴?CDA=45° (3 分) 又?CAD=45° ,∴?ACD=90° ,即 CD?AC. ∵PA?平面 PAC,AC?平面 PAC,且 PA∩AC=A,∴CD?平面 PAC. (2)方法一: ∵PA?平面 ABCD,且 CE?平面 ABCD,∴CE?PA. 由(1)知 CE⊥AD,又 PA?平面 PAD,AD?平面 PAD,且 PA∩AD=A, ∴CE?平面 PAD. 过 E 作 EF⊥PD 于 F,连结 CF. ∵CE?平面 PAD, PD?平面 PAD, 且 ∴CE?PD. EF⊥PD, CE∩EF=E, 又 且 ∴PD?平面 CEF. 又 CF?平面 CEF,∴CF?PD. ∴?CFE 是二面角 A—PD—C 的平面角. 设 PA=AB=BC=a,则 AD=2a,CE=DE=a, PD ? (8 分) (10 分) (7 分) (4 分) (6 分)

5a .
(11 分)

由?PAD∽?EFD,得

DE ? PA 5 EF DE ? a. ,所以 EF ? ? DP 5 PA DP 30 a, 5

所以 CF ?

CE 2 ? EF 2 ?

(12 分)

∴ cos ?CFE ? 方法二:

EF 6 6 ? ,即二面角 A—PD—C 的余弦值为 . CF 6 6

(14 分)

建立如图所示的空间直角坐标系, 设 PA=AB=BC=a,则 AD=2a. 所以 A(0,0,0) ,B(a,0,0) ,P(0,0,a) D(0,2a,0) ,C(a,a,0). (7 分) (8 分)
第 7 页 共 12 页

所以 CP ? (?a,?a, a) , CD ? (?a, a,0) .
高三数学(理科)试题

设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ?n ? CP ? 0 ? y ? x, ?? x ? y ? z ? 0 ? 则 ? ??? ,即 ? ,得 ? , ? ?? x ? y ? 0 ?z ? 2x ?n ? CD ? 0 ?
令 x=1,得 y=1,z=2,所以 n ? (1,1, 2) 是平面 PCD 的一个法向量. 又平面 PAD 的一个法向量为 m ? (1,0,0) 设向量 n 和 m 所成角为 ? ,则 cos ? ? (10 分) (11 分)

n?m 1 6 ? ? n m 6 6

(13 分)

∴即二面角 A—PD—C 的余弦值为

6 . 6

(14 分)

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由

nan ? a n ?1 a n ? n ,得 (n ? 1)an?1 ? nan ,即 n ?1 ? , a n ?1 an n ?1

(1 分)

当 n ? 2 时, 即 an ?

a a a2 a3 a4 1 2 3 n ? 2 n ?1 ? ? ?? ? n ?1 ? n ? ? ? ? ?? ? a1 a2 a3 an ?2 an ?1 2 3 4 n ?1 n

(2 分)

1 1 a1 ? ; n n
1 1 a1 ? 1 ,所以 an ? ( n ? N * ) 1 n
2n 1 n 与 a n ? ,得 bn ? n ? 2 an n
2 3 n

(3 分)

因为 a1 ? 1 ?

(4 分)

(2)由 bn ?

(5分)

∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2

① ②

(6分) (7分) (8分) (9分)

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1
①-②得 ?Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

∴ Tn ? (n ? 1) ? 2

n ?1

?2
2

(3)证明:当n=1时, a1 ? 1 ? 2 显然成立;
高三数学(理科)试题 第 8 页 共 12 页

(10分)

当 n ? 2 时, a n ?
2
2 2 2

1 1 1 1 ? ? ? , 2 (n ? 1)n n ? 1 n n
2

(11分)

∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 2 1 2 3 n
(12分)

1 1 1 1 . ? ? ? ??? 1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 1 1 2 2 3 n ?1 n 1 ? 2 ? ? 2; n
综上,得 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 .
2 2 2 2

(13分) (14 分)

20. (本小题满分 14 分)

?c 1 ?a ? 2 ?a ? 2 ? ? ?1 解: (1)设椭圆 C 的焦距长为 2c,依题意,得 ? ? b ? 2c ? 3 ,解得 ?b ? 3 ?2 ?c ? 1 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
所以椭圆 C 的方程为

(3 分)

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(4 分)

(2)由(1)知椭圆 C 的右焦点(1,0) ,显然直线 l 的斜率存在,设为 k, 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 将 y ? k ( x ? 1) 代入 (5 分)

x2 y2 ? ? 1 ,整理得, (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 4 3

8k 2 ? ? ? ? 144 (k ? 1) ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1,2 ? , 2(3 ? 4k 2 )
2

8k 2 4k 2 ? 12 ∴ x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(6 分)

高三数学(理科)试题

第 9 页 共 12 页

因为 AB 中点的横坐标为

x ? x2 4k 2 1 3 1 ,所以 1 . (7 分) ? ? ,解得 k ? ? 2 2 2 2 2 3 ? 4k
3 ( x ? 1) . 2
(8 分)

所以,直线 l 的方程 y ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 (3)显然直线 l 的斜率存在,由(2)知 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
所以 AB 的中点为 P(

4k 2 ?3k , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

(9 分)

所以 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]

??? ?

64k 4 4(4k 2 ? 12) 12(k 2 ? 1) ? (k ? 1)[ ? ] ? . (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 4k 2 ? 3
2

(10 分)

当 k ? 0 时,直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 k2 ? ? (x ? 2 ) , 由 y ? 0 ,得 x ? 2 , 4k 2 ? 3 k 4k ? 3 4k ? 3
(11 分)

??? 3 k 2 (k 2 ? 1) ? k2 则 D( 2 . ,0) , 所以 DP ? 4k 2 ? 3 4k ? 3

??? ? 3 k 2 ( k 2 ? 1) DP 1 1 k2 4k 2 ? 3 ? 1 ? 1? 2 所以 ??? ? ? 2 2 12( k ? 1) k ?1 4 k ?1 4 AB 2 4k ? 3
又因为 k ? 1 ? 1 ,所以 0 ?
2

1 1 1 1 1? 2 ? ; ? 1 . 所以 0 ? 4 k ?1 4 k ?1
2

(12 分)

当 k=0 时,显然 | DP |? 0 ,所以

| DP | | AB |

?0;

(13 分)

??? ? DP ? 1? 故 ??? 的取值范围是 ?0, ? . ? ? 4? AB

(14 分)

21. (本小题满分 14 分) 解:显然函数 f (x) 的定义域为(0,+?).
高三数学(理科)试题 第 10 页 共 12 页

(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? 3x , f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 当0 ? x ?

2 x 2 ? 3x ? 1 x

(1 分)

1 , x2 ? 1 . 2
(2 分) (3 分) (4 分)

1 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递增; 2 2 1 1 当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( ,1) 上单调递减; 2 2
当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (1,??) 上单调递增; 所以 f (x) 的单调递增区间为 (0, ) , 1, ) ( +? ;单调递减区间为 ( ,1) . (2)因为 f ?( x) ?

1 2

1 2

(5 分)

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)( x ? 1) ? x x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 2a
1 . 2
(6 分)

因为 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 x2 ? x1 ,即 a ? ①当 a ? 0 ,即 x 2 ?

1 ? 0 时, 2a

1) 因为当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f (x) 在 (0, 上单调递增; 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 当 所以 f (x) 在 (1,e] 上单调递减;故 f (x) 在区间 ?0, e? 上的最大值为 f (1) . 由 f (1) ? 1 ,解得 a ? ?2 . ②当 a ? (8 分)

1 1 ? 1 时, ,即 0 ? x 2 ? 2 2a 1 1 1 ? x ? 1时, 因为当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (0, ) 上单调递增;当 2a 2a 2a 1 f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 ( ,1) 上单调递减;当 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (1,e] 2a 1 上单调递增;故 f (x) 在区间 ?0, e? 上的最大值 1 只可能在 x ? 或 x=e 处取得. 2a
因为 f (

1 1 1 1 1 1 ) ? ln ? a( )2 ? (2a ? 1) ? ln ? ?1 ? 0 , 2a 2a 2a 2a 2a 4a

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第 11 页 共 12 页

所以由 f (e) ? ln e ? ae2 ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? ③当

1 1 ? . e?2 2

(10 分)

1 1 1 ? a ? ,即 1 ? x2 ? ? e 时, 2e 2 2a 1 时,f ?( x) ? 0 2a

1) 因为当 0 ? x ? 1 时,f ?( x) ? 0 , 所以 f (x) 在 (0, 上单调递增; 1 ? x ? 当

所以 f (x) 在 (1,

1 1 ? 1 ? ) 上单调递减;当 ? x ? e , f ?( x) ? 0 ,所以 f (x) 在 ? , e ? 上单调 2a 2a ? 2a ?

递增;故 f (x) 在区间 ?0, e? 上的最大值 1 只可能在 x=1 或 x=e 处取得. 因为 f (1) ? ln 1 ? a ? (2a ? 1) ? ?(a ? 1) ? 0 , 所以由 f (e) ? ln e ? ae2 ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得 a ? ④当 0 ? a ?

1 1 ? (舍去). e?2 2

(12 分)

1 1 ? e 时, ,即 x 2 ? 2e 2a

1) 因为当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f (x) 在 (0, 上单调递增; 1 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 当 所以 f (x) 在(1,e)上单调递减;故 f (x) 在区间 ?0, e? 上的最大值 1 只可能在 x=1 处取得. 因为 f (1) ? ln 1 ? a ? (2a ? 1) ? ?(a ? 1) ? 0 ,所以此时 a 无解. 综上所述, a ? (13 分) (14 分)

1 或 a ? ?2 . e?2

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