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数列4由递推求通项专题学生用


东北师大附中高三数学 (文、 第一轮复习 理)

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数列(四)由递推公式求通项公式专题(2 课时)
命题人:李海军 2007 年 10 月 一.高考考点:1.形如 an?1 ? kan ? b 型;2.形如 an?1 ? kan ? f (n) 型;3. 二.知识总结: 1.基本能力训练,使学生对构造有一定理解。
2 2 例(1)数列 {an } 满足 an ? 0 且 an ? an?1 ? 2, a1 ? 1;

(2) an ? 2 ? an?1 , a1 ? 1, (an ? 0) ;

2 2 (3)各项均为正数的数列 {an } 满足 (n ? 1)an?1 ? an?1an ? nan ? 0, a1 ? 1,求 an .

(4)数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2an?1 ? 2, a1 ? 3, a2 ? 5(n ? 2) ,令 bn ? an?1 ? 2an , 求数列 {bn } 的通项公式.

(5)数列 {an } 满足 nan?1 ? (n ? 1)an ? 2n ? 2n , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式.
2

(6)已知各项均不为 0 的数列 {an } 满足 公式.

an?1 an , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项 ? 2 3n (n ? 1) 2

1

2.利用叠加或叠乘的方法解决求数列的通项问题:
叠加和叠乘的方法源于求等差等比数列的通项公式的方法,故是重要的方法和考点. (1) .数列 {an } 满足 an ? an?1 ? n 2 ? n ? 1, a1 ? 1 ,求该数列的通项公式.

(2)数列 {an } 的满足 a1 ?

1 , a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n 2 a n ,求数列的通项 an 2

2

3.典型问题的构造: (1)形如 an ? kan?1 ? b 型. 例:已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 1, a1 ? 1 ,求该数列的通项公式.

练习: (1)已知数列 {an } 满足 a n ?

2 a n ?1 ? 1, a1 ? 1 ,求该数列的通项公式. 3

(2)已知数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? an an?1 , a1 ? 5 ,求该数列的通项公式. 提示:左右两边同除 an an?1 .

(3)数列 {an } 满足 a n ?1 ? 提示:等式两边取倒数.

2a n , a1 ? 4 ,求该数列的通项公式. an ? 3

(4) S n 为数列 {an } 的前 n 项和,且 S n?1 ? 3S n ? n ? 1, S1 ? 1 ,求该数列的通项公式. 提示:将 S n?1 ? 3S n ? n ? 1再递写一项,两式相减即可化成 an ? kan?1 ? b 型.

3

(2)形如 an ? kan?1 ? f (n) 型. 此问题主要讲解 an ? kan?1 ? (关于 n 的指数函数型) 。 例 数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 5n , a1 ? 2 ,求 an .

例 数列 {an } 满足 an ? 2an?1 ? 2 n , a1 ? 1 ,求该数列的通项公式.

4

(3)高考中对三项递推公式问题的考法: 数列 {an } 满足 an?1 ? 5an ? 6an?1 ? 0(an?1 ? 3an ? 0, n ? N * ) , a1 ? 5, a2 ? 1, (1)求证:数列 {an?1 ? 3an } 是等比数列. (2)设 bn ? an?1 ? 3an ,求数列 bn 的通项公式.

(4)高考中所涉及的基本方法抽象出来就是上面几种。一般处理由递推公式求通项公式 的方法和原则就是:1.高次的问题要通过分解因式化成一次的问题或者就整体配成等 差等比数列,如本节开头基础训练的部分;2.多项递推的问题化成两项递推的问题来 处理,如问题 3(3) ;3. S n 与 an 混杂的问题要借助于公式 an ? S n ? S n?1 (n ? 2) 化成 纯 S n 和纯 an 的递推关系,再进行构造处理; (4)虽然前面讲了几个类型,但考试中未 知类型的问题还大量存在着的,所以数学归纳法是一个万全之策。体现综合性,我们看 一道高考题: (2006 高考全国 2)
5

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且方程 x ? an x ? an ? 0 有一根为 Sn ? 1, n ? 1, 2,3,...
2

(I)求 a1 , a2 ; (II)求 ?an ? 的通项公式

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