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高三数学单元练:圆锥曲线4理科


圆锥曲线 4
姓名 1.P 、Q 、M 、 N 四点都在椭圆 x2 ?

单元测试 理科
班级 学号

y2 ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 2 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.

2.设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 2 上, l 是 AB 的垂直平分线, (Ⅰ)当且仅当 x1 ? x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (Ⅱ)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时,求直线 l 的方程.

3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭 a2 b2

圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且 满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c x; a

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,
2 使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2

的正切值;若不存在,请说明理由.

4.已知椭圆 C:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 l:y a2 b2

=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)确定λ 的值,使得△PF1F2 是等腰三角形.

5.设 A、B 是椭圆 3x 2 ? y 2 ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线段 AB 的中点,线段 AB 的垂 直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (Ⅰ)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由

6.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x 上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足
2

AO ? BO (如图4所示) . (Ⅰ)求 ?AOB 得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
y A B

x O


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