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人船模型的归纳与拓展


人船模型的归纳与拓展 1. 静止在水平面上的船长为 L,质量为 M,一质量为 m 的人站在船头,当此人由船头走到船尾 时,不计水的阻力,则船移动的距离为多少?

演变 1: 船尾连有一块木板,不计水的阻力和木板跟河岸间的摩擦,当人从船头走到船尾, 并继续由木板走到岸上,木板的长度至少为多少?

演变 2: 若船的中间放有一质量为 m0 的物体,人从船头走到船中间,抱起物体后共同走到 船尾,则船移动的距离为多少?

演变 3 :若在船头有质量为 m1 的人,在船尾有质量为 m2 的人,当两人交换位置后,求船移 动的距离 分析与解:利用“人船模型”易求得船的位移大小为: S ?

(m1 ? m2 ) L .提示:若 M ? m1 ? m2

m1>m2,本题可把(m1-m2)等效为一个人,把(M+2m2)看着船,再利用人船模型进行分析 求解较简便。 2 演变 4:在光滑的水平面上有一个质量为 M,底边长为 b 的斜劈,上有一个质量为 m 可当成质 点的小物体,两个物体开始速度均为零,在 m 下滑的过程中,求 M 移动的距离

演变 若小物体不可当成质点,水平边长为 a,则在它下滑的过程中 M 移动的距离是多少?

3 演变 5:一个质量为 M,半径为 R 半圆槽体置于光滑的水平面上,质量为 m 的小球(可看成质 点)由静止沿顶滑到最底点时,求槽体向侧滑动的距离

演变:若槽体内外及小球都光滑,求槽体向侧滑动的最大距离

求碰撞速度的三种方法 一 解析法 1. A ,B 两 球 在 光 滑 水 平 面 上 沿 同 一 直 线 , 同 一 方 向 运 动.MA=1kg,MB=2kg,vA=6m/s,vB=2m/s,当 A 追上 B 发生碰撞后,A,B 的速度可能是 (B ) A v’A=5m/s .v’B=2.5m/s B v’A=2m/s .v’B=4m/s C v’A= -4m/s .v’B=7m/s D v’A=7m/s .v’B=1.5m/s 5. 质量为 m 的小球 A 沿光滑水平面以 v0 的速度与质量为 2m 的原来静止的小球 B 发生正 碰,碰撞后 A 球的动能变为原来的

1 ,则小球 B 的速率可能是 A 9

A

v0 3

B

v0 4

C

4v 0 9

D

5v0 9

二 临界法 2 质量为 1kg 的小球一 4m/s 的速度与质量为 2kg 的静止小球正碰,关于碰后两球的速度 v1’与 v2’下面哪些是可能的( ab ) A v1’=v2’=4/3m/s B .v1’=-1m/s,v2’=25m/s C v1’=1m/s v2’=3m/s D v1’=-4m/s v2’=4m/s 三 极限法 3 在光滑水平面上,A 球以速度 v1=4m/s 的速度与静止的 B 球发生无能量损失的碰撞,碰 后 B 球的速度不可能的是( a ) A 10 m/s B 8 m/s C 6 m/s D 4 m/s 9.如图所示,光滑水平面上质量为 m1 的滑块以速度 v0 与带有轻质弹簧的质量为 m2 的静 止滑块发生正碰,则碰撞过程中 m1 和 m2 的 v0 mm1 m2 1 总动量为 ,在弹簧被压缩到最短的时刻,m2 的 速度为 。 10.用水平力拉一个质量为 m 的物体,使它在水平面上从静止开始运动,物体与水平面间 的动摩擦因素为μ 。经过时间 t 后,撤去这个水平力,物体又经过 2t 停止运动,则拉 力的大小为 。 11.体重是 60kg 的建筑工人,不慎从高空跌下,由于弹性安全带的保护,使他悬挂起来, 已知弹性安全带缓冲时间是 1.2s,安全带长 5m。则从开始跌下到安全带刚被拉直的过 程中,重力的冲量为 N?s,安全带所受的平均冲力为 N。 练习题 1、如图 7 所示,质量为 M 的车静止在光滑水平面上,车右侧内壁固定有发射装置。车 左侧内壁固定有沙袋。发射器口到沙袋的距离为 d,把质量为 m 的弹丸最终射入沙袋中,这

d M
一过程中车移动的距离是_______。

m

分析与解:本题可把子弹看作“人” ,把车看作“船” ,这样就可以用“人船模型”来 求解.

m

S1 S md ? M 2 ? 0, S1 ? S 2 ? d ,解得 S 2 ? 。 m?M t t

2.如图 5 所示,质量为 M 的小车 A 右端固定一根轻弹簧,车静止在光滑水平面上,一 质量为 m 的小物块 B 从左端以速度 v0 冲上小车并压缩弹簧,然后又被弹回,回到车左端时 刚好与车保持相对静止.求整个过程中弹簧的最大弹性势能 EP 和 B 相对于车向右运动过程 中 系 统摩 擦生 热 Q 各是 多 少? 2 . mv0 ? (m ? M )v , 2Q ?

1 2 1 mv 0 ? (m ? M )v 2 , 2 2
B A

图5

EP=Q=

2 m Mv0 4(m ? M )

3、如图 10 所示,打桩机锤头质量为 M,从距桩顶 h 高处自由下落,打在质量为 m 的木桩 上,且在极短时间内便随桩一起向下运动,使得木桩深入泥土的距离为 S,那么在木桩下陷 过程中泥土对木桩的平均阻力是多少? 分析与解:这是一道联系实际的试题。许多同学对打木桩问题的过程没有弄清楚,加上 又不理解“作用时间极短”的含意而酿成错误。其实 打木桩问题可分为三个过程: 其一:锤头自由下落运动过程,设锤刚与木桩接 M 触的速度为 V0,则据机械能守恒定律得: 1 m 2 Mgh= MV 0 ,所以 V0= 2gh 。

2

其二:锤与木桩的碰撞过程,由于作用时间极短, 内力远大于外力,动量守恒,设碰后的共同速度为 V, 据动量守恒定律可得: MV0=(M+m)V, 所以 V=

MV0 M ?m

图 10

其三:锤与桩一起向下做减速运动过程,设在木桩下陷过程中泥土对木桩的平均阻 力为 f,由动能定理可得: (M+m)gS-fS=0-

1 M 2 gh ( M ? m)V 2 ,所以 f=(M+m)g+ . 2 ( M ? m) S

14. 用长为 90cm, 能承受最大拉力为 10N 的细绳, 上端固定在天花板上, 下端系一个 m = 0.5kg 的小球,静止在空中,今给球施加一个水平冲量后,悬绳即刻挣断,试求:此水平冲量 至少为多少?(g 取 10m/s2)

15.质量为 M 的平板车以速度 v0 在光滑水平面上滑行,车旁有人将质量为 m 的小木块无 初速地轻放在车上, 已知木块与平板车间的动摩擦因素为μ , 平板车可以无限长。 试求: ⑴ 它们的共同速度为多少? ⑵ 需经多长时间两者才能相对静止?

16.平直的轨道上有一节车厢,车顶与另一平板车表面的高度差为 1.8m。车厢以某一初速 度 v0 做匀速运动,某一时刻正好与质量为车厢质量一半的平板车挂接,车厢顶上边缘处

的一小球以速度向前抛出,如图所示,落到平板车上距车厢 2.4m 处,不计空气阻力,并 设平板车原来是静止的。试求:v0 为多少? v0

14。I = 1.5 N?s 16.v0 = 12m/s

15。V =

Mv0 M ?m

t=

m v0 ?M ? m??g

11、如图 7-26 所示,物块质量 m=4kg,以速度 v=2m/s 水平滑上一静止的平板车上,平板车 质量 M=16kg,物块与平板车之间的动摩擦因数μ =0.2,其他摩擦不计( g ? 10m / s 2 ) ,求: (1)物块相对平板车静止时,物块的速度; (2)物块在平板车上滑行的时间; (3)物块在平板车上滑行的距离,要使物块在平板车上不滑下,平板车至少多长? 11、解:物块滑下平板车后,在车对它的摩擦力作用下开始减速,车在物块对它的摩擦 力作用下开始加速,当二者速度相等时,物块相对平板车静止,不再发生相对滑动。 (1) 物块滑上平板车的过程中, 二者组成的系统动量守恒, v 的方向为正方向。 取 mv= (M+m)v′, v ? ?

mv ? 0.4m / s ,即物块相对平板车静止时,物块速度为 0.4m/s。 M ?m

(2)由动量定理 ? ?mgt ? mv? ? mv, t ?

v? ? v ? 0.8s ? ?g

(3)物块在平板车上滑行时,二者都做匀变速直线运动,且运动时间相同,因此,对 物块 s1 ?

v? ? v v? v t ,对板车 s 2 ? t ,物块在板车上滑行的距离 ?s ? s1 ? s 2 ? t ? 0.8m , 2 2 2

要使物块在平板车上不滑下,平板车至少长 0.8m。

13、质量为 10kg 的铁锤,从某一高度处落下后与立在地面上的木桩相碰,碰前速度大 小为 10m/s, 碰后静止在木桩上,若铁锤与木桩的作用时间为 0.1s,重力加速度取 g=10m/s2。 求: (1)铁锤受到的平均作用力。

(2)木桩对铁锤的平均弹力。 13、 (1)1000N,竖直向上 (2)1100N,竖直向上

M 15.(10 分)如图 1-12 所示,质量均为 M 的小车 A、B,B 车上挂有质量为 的金属球 4 C,C 球相对于 B 车静止,其悬线长 0.4 m,若两车以相同的速率 1.8 m/s 在光滑平面上相向 运动,相碰后连在一起(碰撞时间很短),则:

图 1-12 (1)C 球摆到最高点时的速度多大? (2)C 球向上摆动的最大高度是多少? 解析:由于 A、B 两车碰撞时间极短,所以在 A、B 相碰获得共同速度的过程中,球 C 的状态认为不变. (1)由于在 A、B 碰撞过程中 A、B 组成的系统动量守恒,在随后 C 球摆动的过程中 A、 B、C 组成的系统总动量也守恒,则对 A、B、C 组成的系统全过程动量均守恒,以碰前 A 的速度方向为正方向,得 Mv-(M+m)v=(2M+m)v2 解得 C 球摆到最高点时的速度为 v2=-0.2 m/s,即方向水平向左. (2)从 A、B 碰撞结束到 C 球摆到最高点的过程中,对 A、B、C 组成的系统机械能守恒 1 M 2 1 M 2 M × v - (2M+ )v2= gh 2 4 2 4 4 解得 h=0.144 m. 答案:(1)0.2 m/s,方向水平向左 (2)0.144 m 16.(12 分)甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶,速率均为 6 m/s. 甲车上有质量 m=1 kg 的小球若干个,甲和他的车及所带小球总质量为 M1=50 kg,乙和他 的车总质量为 M2=30 kg,甲不断地将小球以 16.5 m/s 的对地水平速度抛向乙,并被乙接 住.问甲至少要抛出多少个球才能保证两车不相撞? 解析:扔完 n 个球后甲车的速率为 v1′,乙车接住 n 个球后速率变为 v2′,甲、乙不 相撞的一个必要条件是 v1′与 v2′同向.设与 v1(甲原来的方向)同向,且 v1′≤v2′.以甲 和乙及车的整体为研究对象,由动量守恒有(以甲原来的运动方向为正)M1v1-M2v2=(M1- nm)v1′+(M2+nm)v2′ 临界条件为 v1′=v2′ M1v1-M2v2 ?50-30?×6 代入上式可得 v1′= = m/s=1.5 m/s M1+M2 50+30 再以甲车及其车上的球为对象,由动量守恒有 M1v1=(M1-nm)v1′+nmv0 M1?v1-v1′? 50×?6-1.5? 解得 n= = =15(个). m?v0-v1′? 1×?16.5-1.5? 答案:15


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