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压轴大题巧突破(四)利用导数研究函数的零点或方程的根


压轴大题巧突破(四)利用导数研究函数的零点或方程的根
压 轴 大 题 巧 突 破
教你如何化整为零

破难题 不失分 要牢记
+c (e=

教你如何规范解答

教你如何易错警示

[典例] (2013·山东高考)(13分) 设函数 2.718 28…是自然对数的底数,c

∈R). (1)求f (x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于x的方程|ln x|=f (x)根的个数.

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教你如何化整为零

破难题
+c (e=

[典例] (2013·山东高考)(13分) 设函数 2.718 28…是自然对数的底数,c∈R). (1)求f (x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于x的方程|ln x|=f (x)根的个数.

【化整为零】 第(1) 问 先对函数f(x)进行求导,再求解不等式f′(x)>0或 f′(x)<0,即可得出其单调区间.由于其在定义域 内有唯一的极大值点也是最大值点,所以可得其 最大值.

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破难题
+c (e=

[典例] (2013·山东高考)(13分) 设函数 2.718 28…是自然对数的底数,c∈R). (1)求f (x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于x的方程|ln x|=f (x)根的个数.

【化整为零】 第(2)问基础问题1: 方程|ln x|=f(x)中既有指数,也有对数,如何求解? 求方程|ln x|=f(x)根的个数,应构造函数g(x)=|ln x|-

f(x),转化为判断函数g(x)零点的个数问题.

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教你如何化整为零

破难题
+c (e=

[典例] (2013·山东高考)(13分) 设函数 2.718 28…是自然对数的底数,c∈R). (1)求f (x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于x的方程|ln x|=f (x)根的个数.

【化整为零】 第(2)问基础问题2: 如何判断函数g(x)=|ln x|-f(x)的零点个数? 函数g(x)=|ln x|-f(x)的零点即为g(x)的图象与x轴 的交点,因此, 问题转化为判断g(x)的图象与x轴公共点 的个数.

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教你如何化整为零

破难题
+c (e=

[典例] (2013·山东高考)(13分) 设函数 2.718 28…是自然对数的底数,c∈R). (1)求f (x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于x的方程|ln x|=f (x)根的个数.

【化整为零】 第(2)问基础问题3: 函数g(x)的图象不能利用描点法画出,如何 判断其与x轴公共点的个数? 可根据函数g(x)的单调性与极值的情况,大体画出g(x)的 图象,从而确定图象与x轴公共点的个数.

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破难题
+c (e=

[典例] (2013·山东高考)(13分) 设函数 2.718 28…是自然对数的底数,c∈R). (1)求f (x)的单调区间、最大值; (2)讨论关于x的方程|ln x|=f (x)根的个数.

【化整为零】 第(2)问基础问题4: 如何判断g(1)<0时,g(x)的图象与x轴公共点的个数?

若存在x0∈(1,+∞),且g(x0)>0,则在(1,+∞)上存在零 点;若存在x1∈(0,1),且g(x1)>0,则在(0,1)上存在零点.因 此只需判断g(x)>0在(0,1)和(1,+∞)上是否有解即可.

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【化整为零】
教你如何化整为零

破难题流程汇总

第(1) 问先对函数f(x)进行求导,再求解不等式f′(x)>0或f′(x)<0,即可得出其单调区间.由 于其在定义域内有唯一的极大值点也是最大值点,所以可得其最大值. 第(2)问基础问题1: 方程|ln x|=f(x)中既有指数,也有对数,如何求解? 求方程|ln x|=f(x)根的个数,应构造函数g(x)=|ln x|-f(x),转化为判断函数g(x)零点的个数问题. 第(2)问基础问题2: 如何判断函数g(x)=|ln x|-f(x)的零点个数? 函数g(x)=|ln x|-f(x)的零点即为g(x)的图象与x轴的交点,因此, 问题转化为判断g(x)的图 象与x轴公共点的个数. 第(2)问基础问题3: 函数g(x)的图象不能利用描点法画出,如何判断其与x轴公共点的个数?

可根据函数g(x)的单调性与极值的情况,大体画出g(x)的图象,从而确定图象与x轴公共点的个数. 第(2)问基础问题4: 如何判断g(1)<0时,g(x)的图象与x轴公共点的个数? 若存在x0∈(1,+∞),且g(x0)>0,则在(1,+∞)上存在零点;若存在x1∈(0,1),且 g(x1)>0,则在(0,1)上存在零点.因此只需判断g(x)>0在(0,1)和(1,+∞)上是否有解即可.

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不失分

解: (1) f′ (x)= (1-2x)e-2x, 1 由 f′ (x)= 0,解得 x= . 2 分 2 1 当 x< 时,f′ (x)>0, f(x)单调递增; 2 1 当 x> 时,f′ (x)<0, f(x)单调递减, 2 1 - ∞, 所以函数 f(x)的单调递增区间是 2, 1 1 ,+ ∞ 1 单调递减区间是 2 , 最大值为 f 2 = e-1+ c. 2

4分

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- (2)令 g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|- xe 2x- c,x∈(0,+∞ ). - (ⅰ )当 x∈ (1,+ ∞)时,ln x>0,则 g(x)=ln x- xe 2x- c,

e2 x + 2x- 1 -2 x 所以 g′ (x)= e x . e2x 因为 2x- 1>0, >0,所以 g′(x)>0, x 因此 g(x)在(1,+∞ )上单调递增 . 6分

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① - (ⅱ ) 当 x∈ 0,1 时, ln x<0,则 g(x)=-ln x- xe 2x- c,

e2x +2x-1 -2 x - 所以 g′ (x)= e . x e2x 因为 e ∈(1, e ),e >1>x>0,所以- <-1. x
2x 2 2x

e2x 又 2x-1<1,所以- + 2x- 1<0,即 g′ (x)<0. x 因此 g(x)在(0,1)上单调递减.

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不失分

综合(ⅰ)(ⅱ)可知, 当 x∈ (0,+ ∞)时, g(x)≥g(1)=- e-2-c.
- -

8分

当 g(1)=- e 2-c>0 ,即 c<-e 2 时, g(x)没有零点, 故关于 x 的方程|ln x|= f(x )根的个数为 0;
- -

9分

当 g(1)=- e 2-c= 0,即 c=- e 2 时, g(x)只有一个零点, 故关于 x 的方程|ln x|= f(x )根的个数为 1; 10 分

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当 g 1 =- e-2-c<0 ,即 c>-e -2 时, ② a.当 x∈ (1,+ ∞)时,由(1)知 1 -1 e +c - g x =ln x- xe 2x- c≥ln x- 2 >ln x-1-c, ③ 要使 g(x)>0,只需使 ln x-1-c>0, 即 x∈ (e1 c,+ ∞);


11 分

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不失分

b.当 x∈(0,1)时,由(1)知 1 -1 e +c - g x =- ln x-xe 2x-c≥ -ln x- 2 >-ln x- 1- c, ③ 要使 g(x)>0,只需- ln x-1-c>0,即 x∈ (0, e 所以 c>-e 2 时,g(x)有两个零点, 故关于 x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为 2. 12 分
- -1 -c

);

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不失分

综上所述, 当 c<- e 2 时,关于 x 的方程|ln x|= f(x)根的个数为 0; 当 c=-e 2 时,关于 x 的方程|ln x|= f(x)根的个数为 1; 当 c>- e 2 时, 关于 x 的方程|ln x|= f(x)根的个数为 2. 13 分
- - -

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教你如何易错警示

要牢记

易错 ①处易忽视定义域为(0,+∞),得出“x<1时,ln x<0”的错 点一 误结论
易错 从而想当然认为g(1)<0有两个零点,造成解题步骤不完整而失 点二
分 ③处易忽视

②处极易认为:g(1)>0时,没有零点;g(1)=0时,有一个零点;

易错 改变,从而无法判断g(x)的符号,导致解题失误或解题步骤不完 点三
整而失分

处取得最大值,不能将不等式适当

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