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1.3.2 球的体积和表面积


数学

1.3.2 球的体积和表面积

数学

课标要求

学法指导

1.了解球的表面积和体积计 决定球的表面积、体积的基

算公式.

本量是球的半径,因此解决

2.会求与球有关的简单组合 与球有关的计算问题的关键

体的体积和表面积. 是确定球的半径.

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新课导入 知识探究 题型探究

达标检测

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新课导入——实例引领

思维激活

实例:如图,一个圆锥形空杯子上放着一个半球形的冰激凌.

想一想 如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗? (比较半球与圆锥体积的大小,即可判断)

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知识探究——自主梳理
4 1.半径是 R 的球的体积为 V= πR3 . 3
2 4 π R 2.半径是R的球的表面积为S= .

思考辨析

思考1:用一个平面去截球,截面是圆面,则球心与截面圆心的距离d,球半 径R,截面圆的半径r,三者之间有何关系? (R2=d2+r2)

思考2:正方体的外接球、内切球的半径与正方体的棱长分别有什么数量
关系?

(设正方体的棱长为 a,外接球、内切球的半径分别为 R、r,则 2R= 3 a,2r=a)

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题型探究——典例剖析
题型一 球的表面积与体积的计算
(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比; (2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比.

举一反三

【例1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是r,圆柱、圆锥的高都是2r,

解:(1)V 圆柱=πr2·2r=2πr3,
1 2 2 3 V 圆锥= ·πr ·2r= πr , 3 3 4 3 V 球= πr , 3

所以 V 圆柱∶V 圆锥∶V 球=3∶1∶2.

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(2)S 圆柱=2πr·2r+2πr2=6πr2, S 圆锥=πr· 4r 2 ? r 2 +πr2=( 5 +1)πr2, S 球=4πr2, 所以 S 圆柱∶S 圆锥∶S 球=6∶( 5 +1)∶4.

题后反思 球的表面积和体积仅与球半径有关,因此求球的表面
积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决.

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跟踪训练1-1:(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明 无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体

积为(
(A) (C)

)
(B)
866π 3 cm 3

500π 3 cm 3

1372π 3 2048π 3 cm (D) cm 3 3 解析:设球半径为 R cm,
根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为 4 cm, 球心到截面圆圆心的距离为(R-2)cm, 所以由 42+(R-2)2=R2,得 R=5. 所以球的体积为 V= 故选 A.
4 4 500π 3 3 3 πR = π×5 = cm . 3 3 3

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题型二 根据与球相关的三视图计算几何体的表面积和体积
【例2】 某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的体积为
( )

4 (A) π 3

15 (B) π 3

(C)

15 4 ππ 3 3

(D)

15 4 π+ π 3 3

名师导引:这个几何体是由哪些部分组成的?(由一个 球与一个圆锥组成)

解析:由三视图可知,该几何体由一个球和一个圆锥组合而成,则该 器物的体积 V=V 球+V 圆锥=
15 4 1 4 π+ ·π× 15 = π+ π.故选 D. 3 3 3 3

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题后反思 由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体 积时,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三

视图中数据的含义,根据组合体的结构特征及数据计算其表
面积或体积.

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跟踪训练2-1:(2013年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示,则其表 面积为 .

解析:由三视图知该几何体为以 1 为半径的半球,
4 π ? 12 S 表面积= +π·12=3π. 2
答案:3π

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题型三 与球相关的“切”“接”问题
【例3】 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条
棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比. 名师导引:作出截面图,分别找出三个球的半径与正方体棱长的关系,然

后再求表面积之比.

解:设正方体的棱长为 a.如图所示.①正方体的内切球球心是正方体的 中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,所以有 2r1=a,r1=
a ,所以 S1=4π r12 =πa2. 2

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②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角 面得截面,2r2= 2 a,r2=

2 2 a,所以 S2=4π r22 =2πa . 2

③正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,所 以有 2r3= 3 a,r3= S3=1∶2∶3.
题后反思 解决几何体与球相切或相接的策略:

3 a,所以 S3=4π r32 =3πa2.综上可得 S1∶S2∶ 2

(1)要注意球心的位置,一般情况下,由于球的对称性球心在几何体的特
殊位置,比如,几何体的中心或长方体对角线的中点等. (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,

关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平
面问题来计算.

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跟踪训练 3-1:(2013 年高考天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上, 若球的体积为
9π ,则正方体的棱长为 2

.

解析:设球半径为 R,正方体棱长为 a,
4 3 3 9π 则 πR = ,R= , 2 3 2

则 3a 2 =3,得 a= 3 .

答案: 3

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备选例题
【例 1】 (2014 兰州五十五中高一期末)长方体的长、宽、高分别为 5、4、 3,则它的外接球表面积为( (A)
25 π (B)50π 2

) (D)
50 π 3

(C)

125 2 π 3

解析:长方体的对角线即为球的直径, 即 2R= 52 ? 42 ? 32 ,4R2=50, 则球的表面积 S=4πR2=50π. 故选 B.

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【例2】 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为

.

解析:根据三视图可知,该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成,所以 其表面积为 S=S 半球+S 侧=
答案:(2+ 5 )π
1 ×4π×12+π×1× 5 =(2+ 5 )π. 2

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【例3】 一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇凌, 请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇凌的直径, 杯子壁厚度忽略不计),使冰淇凌融化后不会溢出杯子.怎样设计最省材料?
解:要使冰淇凌融化后不会溢出杯子,则必须 V 圆锥≥V 半球, V 半球=
1 4 1 4 × πr3= × π×43, 2 3 2 3

1 1 1 V 圆锥= Sh= πr2h= π×42×h. 3 3 3 1 1 4 2 3 依题意: π×4 ×h≥ × π×4 , 3 2 3

解得 h≥8 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm,高大于或等于 8 cm 时,冰淇凌融 化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=πrl=πr h 2 ? r 2 ,当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小,所以高为 8 cm 时,制造的杯子最省材料.

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【例4】 有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内 注入水,并且放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将 球从圆锥形容器中取出后,水面高是多少?
解:如图,作出截面,因轴截面是一个正三角形,根据切线的性质知当球在容器 内时,水面的深度为 3r,水面半径为 3 r,则容器内水的体积为:V=V 圆锥-V 球=
1 4 2 3 5 3 π·( 3 r) ·3r- πr = πr .将球取出后,设容器中水的深度为 h,则水 3 3 3

面圆的半径为

3h ,从而容器内水的体积为: 3
2

? 3h ? 1 1 3 3 15 r. V′= π· ? · h= π h , 由 V=V ′ , 可得 h= ? ? ? 3 9 ? 3 ?

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达标检测——反馈矫正
(A)
1 2

及时总结
)

1.若球的体积与其表面积数值相等,则球的半径等于( D (B)1 (C)2
2

(D)3

4 解析:由题设球半径为 r,则 4πr = πr3,可得 r=3,故选 D. 3 2.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为π ,则球的体积为

( D )
32 8π 8 2 2 (A) π (B) (C)8 π (D) π 3 3 3 解析:由于截面面积为π,所以截面圆半径为 1,则球半径 R= 12 ? 12 = 2 ,

∴球的体积为 故选 D.

4 8 2 π·( 2 )3= π. 3 3

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3.(2013年高考福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,

如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形
是边长为2的正方形,则该球的表面积是 .

解析:依题意得,球内接多面体是一个棱长为 2 的正方体, 设球的直径为 2R, 则 2R= 22 ? 22 ? 22 =2 3 , 所以 R= 3 , 所以该球的表面积为 4πR2=12π.
答案:12π

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4.一个圆柱形容器,它的高等于底面直径,在容器内放入一个铁球(铁球的直 径等于圆柱的高),并注满水,则取出铁球后,水面的高与圆柱高的比 为 .
解析:设圆柱的底面半径为 R, 2 3 则 V 圆柱=πR ·2R=2πR , V 球=
4 πR3, 3 2 πR3, 3

所以 V 水=V 圆柱-V 球=

设取出铁球后水面的高为 h, 则πR2h= h=
2 πR3, 3

2 R,h∶(2R)=1∶3. 3

答案:1∶3

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课堂小结
1.球的表面积、体积公式中共涉及三个量:球半径r、表面积S、 体积V,这三个量中只要知道一个就可求出另外两个,即“知一

求二”.
2.球的表面积和体积的计算问题,可转化为求球的半径问题,体 现了空间问题平面化的基本思想.

3.球的截面的两个性质
(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面半径. (2)球心到截面的距离d,球的半径R,截面圆的半径r满足如下关

系:R2=r2+d2.

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