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2016-2017学年安徽省合肥市第一中学高二开学考试(2015-2016学年高一期末考试)数学试题


2016-2017 学年安徽省合肥市第一中学高二开学考试(2015-2016 学年高一期末 考试)数学试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.已知 sin ? ? A. ?

4 3

4 ,并且 ? 是

第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 5 3 3 4 B. ? C. D. 4 4 3



2.某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取 25 人,从 女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是( A.简单随机抽样法 B.抽签法 ) D.分层抽样法

C.随机数表法

?x ? y ? 1 ? 3.已知变量 x, y 满足 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? y ? 1 ?
A.3 B.1 C.-5 D.-6



4. 某学校举办一次以班级为单位的广播操比赛,9 位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图所示,统计 员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的

x )无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是(
A.2 B.3 C.4 D.5



5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为( A.105 B.16 C.15 D.1





1第

6.4 张卡片上分别有数字 1,2,3,4, 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数 的概率为( A. ) B.

1 3

1 2

C.

7.为了得到函数 y ? sin(2 x ? A.向右平移 C.向左平移

?
6

2 3

D.

3 4


) 的图像,可以将函数 y ? cos 2 x 的图像(
B.向右平移 D.向左平移

? ?
6 6

个单位长度 个单位长度

? ?
3 3

个单位长度 个单位长度 )

8.在等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,若对正整数 n 都有 an ? an ?1 ,则公比 q 的取值范围( A. q ? 1 9.函数 y ? B. 0 ? q ? 1 C. q ? 0 ) D. q ? 1

cos 6 x 的图像大致为( 2 x ? 2? x

A.

B.

C.

D.

10.在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 1 , 点 P 为矩形 ABCD 内一点,则使得 AP ?AC ? 1 的概率为( A.

??? ? ????



1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

7 8


11.正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若-3, S5 S10 ,成等差数列,则 S15 ? S10 的最小值为( A.2 B.4 C.6 D.12 )

12.设 2 cos x ? 2 x ? ? ? 4 ? 0 , y ? sin y ? cos y ? 1 ? 0 ,则 sin( x ? 2 y ) 的值为(

A.1

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.已知等差数列 {an } 的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ____________. 14.若 x ? 0 , y ? 0 ,且

1 3 ? ? 1 ,则 x ? 3 y 的最小值是________. x y



2第

15.若非零向量 a, b 满足 | b |? 1 , a 与 b ? a 的夹角为 120°,则 | a | 的取值范围是________. 16.已知 f ( x) ?

? ?

?

?

? ?

?

e x ? e? x ? ,x ? R , 若对任意 ? ? (0, ] , 都有 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 成立, 则实数 m 的 2 2

取值范围是____________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ? ? ? ? ? 17.设 f ( x) ? a ? 其中向量 a (m, cos 2 x) , 且函数 y ? f ( x) 的图像经过点 ( , 2) . x?R, b, b(1 ? sin 2 x,1) , 4
(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 的值的集合. 18. 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:

[50, 60),[60, 70),[70,80),[80,90),[90,100) .
(Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (Ⅲ)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与数学成绩相应分数段的人数( y )之比如下表 所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.

19. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2 cos C ( a cos B ? b cos A) ? c . (Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 ?ABC 的周长为 5 ? 7 ,面积为

3 3 ,求 c . 2

20.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2an ? 2 .
页 3第

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? ( ) x ,数列 {bn } 满足条件 b1 ? 2 , f (bn ?1 ) ? 求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . 21. 如图,公园有一块边长为 2 的等边三角形 ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相 等的两部分, D 在 AB 上, E 在 AC 上. (Ⅰ)设 AD ? x( x ? 1) , ED ? y ,求用 x 表示 y 的函数关系式; (Ⅱ)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短, DE 的位置应在哪里 ? 如果 DE 是参观线路, 则希望它最长, DE 的位置又应在哪里? 请予以证明. 22.已知 f ( x) ?| x ? 1| ? x ? kx .
2 2

1 2

b 1 , (n ? N * ) ,若 cn ? n , f (?3 ? bn ) an

(Ⅰ)若 k ? 2 ,求方程 f ( x) ? 0 的解; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在(0,2)上有两个解 x1 , x2 ,求 k 的取值范围,并证明

1 1 ? ? 4. x1 x2

合肥一中 2015-2016 学年高一年级期末考试数学试题(答案)
一、选择题 1. A 2. D 3. C 4. A 5. C 6 C 7. B 8. B 9. D 10. D 11. D 12. A

二、填空题 13.-6; 三、解答题 17.解: (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x , 由已知 f ( ) ? m(1 ? sin 14. 16; 15. (0,

2 3 ] 3

16. (??,1]

? ?

?

?
2

4

) ? cos

?
2

? 2 ,得 m ? 1 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ∴当 sin(2 x ?

?
4

),

?
4

) ? ?1 时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 ,



4第

55 ? 0.05 ? 65 ? 0.4 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.05 ? 73 (分).
(3)数学成绩在 [50, 60) 的人数为: 100 ? 0.05 ? 5 ,

1 ? 20 , 2 4 数学成绩在 [70,80) 的人数为: 100 ? 0.3 ? ? 40 , 3 5 数学成绩在 [80,90) 的人数为: 100 ? 0.2 ? ? 25 , 4
数学成绩在 [60, 70) 的人数为: 100 ? 0.4 ? 所以数学成绩在 [50,90) 之外的人数为: 100 ? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10 . 19.解: (1)∵ 2 cos C ( a cos B ? b cos A) ? c . ∴ 2 cos C (sin A cos B ? sin B cos A) ? sin C . ∴ 2 cos C sin( A ? B ) ? sin C ,∴ 2 cos C sin C ? sin C .

1 ? ,∴ C ? . 2 3 1 3 (2)由题意知 S ? ab sin C ? 3 ,∴ ab ? 6 . 2 2
∵ 0 ? C ? ? ,∴ cos C ? 又 a 2 ? b 2 ? 2ab cos
2

?
2

3

? c2 ,
2 2

即 (a ? b) ? 3ab ? c ,∴ (a ? b) ? 18 ? c . 又a ?b?c ? 5? 7 ∴ (5 ? 7 ? c) 2 ? 18 ? c 2 ,∴ c ? 20.解: (1)因为 a ? ? b ,所以

7.

1 S n ? 2n ? 1 , S n ? 2n ?1 ? 2 . 2

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (2n ?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2 n . 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21?1 ? 2 ? 2 ,满足上式,所以 an ? 2n . (2)①∵ f ( x) ? ( ) x , f (bn ?1 ) ?

1 2

1 , f (?3 ? bn )



5第

∴ ( )bn?1 ?

1 2

1 1 1 ,∴ b ? 3?b . n?1 1 ?3?bn 2 2 n ( ) 2

∴ bn ?1 ? bn ? 3 ,,

bn ?1 ? bn ? 3 ,又∵ b1 ? f (?1) ? 2 ,
∴ {bn } 是以 2 为首项 3 为公差的等差数列, ∴ bn ? 3n ? 1 . ② cn ?

bn 3n ? 1 ? n an 2

2 5 8 3n ? 4 3n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ① 1 2 2 2 2 2 1 2 5 8 3n ? 4 3n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2 2n 2 1 3 3 3 3 3n ? 1 ①-②得 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 3n ? 1 2 Tn ? 1 ? 3?4 ? n ?1 1 2 2 1? 2 1 3 1 3n ? 1 Tn ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 2 2 1 3n ? 1 Tn ? 2 ? 3(1 ? n ?1 ) ? n ?1 2 2 3 3n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? n ?1 ? n ?1 2 2 3n ? 5 Tn ? 5 ? n 2 Tn ?
21.解: (1)在 ?ADE 中, y ? x ? AE ? 2 x ?AE ? cos 60° ? y ? x ? AE ? x?AE ①
2 2 2 2 2 2

又 S ?ADE ?

3 1 1 , S ?ABC ? ? a 2 ? x?AE ? sin 60° ? x?AE ? 2 ② 2 2 2
2 x

②代入①得 y 2 ? x 2 ? ( ) 2 ? 2( y ? 0) , ∴y?

x2 ?

4 ? 2(1 ? x ? 2) x2 x2 ? 4 ? 2 ? 2?2 ? 2 ? 2 , x2

(2)如果 DE 是水管 y ?



6第

4 ,即 x ? 2 时“=”成立,故 DE / / BC ,且 DE ? 2 . x2 4 如果 DE 是参观线路,记 f ( x) ? x 2 ? 2 , x
当且仅当 x 2 ? 可知函数在 [1, 2] 上递减,在 [ 2, 2] 上递增, 故 f ( x) max ? f (1) ? f (2) ? 5 ,∴ ymax ? 5 ? 2 ? 3 . 即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时, DE 最长. 22.解: (1)当 k ? 2 时, f ( x) ?| x 2 ? 1| ? x 2 ? 2 x ? 0 , ①当 x 2 ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 或 x ? ?1 时,方程化为 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

?1 ? 3 , 2

因为 0 ?

?1 ? 3 ?1 ? 3 ; ? 1 ,舍去,所以 x ? 2 2
1 ; 2

②当 x 2 ? 1 ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 时,方程化为 2 x ? 1 ? 0 ,解得: x ? ? 由①②得,当 k ? 2 时,方程 f ( x) ? 0 的解为 x ?

?1 ? 3 1 或x?? . 2 2

(2)不妨设 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,因为 f ( x) ? ?

?2 x 2 ? kx ? 1 ?kx ? 1

| x |? 1 , | x |? 1

所以 f ( x) 在 (0,1] 是单调函数,故 f ( x) ? 0 在 (0,1] 上至多一个解, 若 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,则 x1 x2 ? ? 由 f ( x1 ) ? 0 ,得 k ? ? 故当 ?

1 ? 0 ,故不符题意,因此 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ; 2

7 1 1 ,所以 k ? ?1 ;由 f ( x2 ) ? 0 ,得 k ? ? 2 x2 ,所以 ? ? k ? ?1 ; 2 x1 x2

7 ? k ? ?1 时,方程 f ( x) ? 0 在 (0, 2) 上有两个解; 2

因为 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,所以 k ? ?

1 , 2 x2 2 ? kx2 ? 1 ? 0 , x1 1 1 1 1 ? ? 2 x2 ,因为 x2 ? 2 ,所以 ? ? 4 . x1 x2 x1 x2

消去 k ,得 2 x1 x2 2 ? x1 ? x2 ? 0 ,即



7第


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