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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 7.1 不等关系与不等式


§ 7.1

不等关系与不等式

1.两个实数比较大小的方法 a-b>0?a > b ? ? (1)作差法?a-b=0?a = b ? ?a-b<0?a < b

(a,b∈R);

? ?a (2)作商法?b=1?a = b ? <1?a < b ?a b
2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性

a >1?a > b b

(a∈R,b>0).

性质内容 a>b?b<a a>b,b>c?a>c a>b?a+c>b+c a>b? ??ac>bc c>0 ? a>b? ??ac<bc c<0 ? a>b? ??a+c>b+d c>d ?

特别提醒 ? ? ?

可乘性

注意 c 的符号

同向可加性

?

-1-

同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 1 1 ①a>b,ab>0? < . a b 1 1 ②a<0<b? < . a b a b ③a>b>0,0<c<d? > . c d 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a (2)有关分数的性质 若 a>b>0,m>0,则 b b+m b b-m ① < ; > (b-m>0). a a+m a a-m a a+m a a-m ② > ; < (b-m>0). b b+m b b-m 【思考辨析】

a>b>0? ??ac>bd c>d>0 ? a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1) a>b>0? a> b(n∈N,n≥2) n n

?

a,b 同为正数

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b?ac2>bc2.( × )

a b (2)a>b>0,c>d>0? > .( √ ) d c 1 1 (3)若 ab>0,则 a>b? < .( √ a b a (4)若 >1,则 a>b.( × b ) )

(5)若 a>b>1,c<0,则 logb(a-c)>loga(b-c).( √ ) 1 1 (6)若 < <0,则|a|>|b|.( × a b )

1.(2014· 四川)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A. > c d a b B. < c d

)

-2-

a b C. > d c 答案 D

a b D. < d c

解析 令 a=3,b=2,c=-3,d=-2, a b 则 =-1, =-1, c d 所以 A,B 错误; a 3 b 2 =- , =- , d 2 c 3 a b 所以 < , d c 所以 C 错误.故选 D. 2.设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是( 1 1 A. > a b C.|a|>-b 答案 B 1 1 解析 由题设得 a<a-b<0,所以有 < 成立, a-b a 即 1 1 > 不成立. a-b a 1 1 B. > a-b a D. -a> -b )

3.限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h, 写成不等式就是____________. 答案 v≤40 km/h 4.已知 a1≤a2,b1≥b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________________. 答案 a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1 解析 ∵a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1) =a1(b1-b2)+a2(b2-b1) =(b1-b2)(a1-a2), ∵a1≤a2,b1≥b2, ∴(b1-b2)(a1-a2)≤0, ∴a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.

题型一 用不等式(组)表示不等关系 例 1 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售,每天可销售 100 件,现在他采

-3-

用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的单价每提高 1 元,销售量就相应 减少 10 件.若把提价后商品的单价设为 x 元,怎样用不等式表示每天的利润不低于 300 元? 解 若提价后商品的单价为 x 元, x-10 则销售量减少 ×10 件, 1 因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元, 则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为不等式 (x-8)[100-10(x-10)]≥300. 思维升华 对于不等式的表示问题,关键是理解题意,分清变化前后的各种量,得出相应的

代数式,然后,用不等式表示.而对于涉及条件较多的实际问题,则往往需列不等式组解决. 已知甲、乙两种食物的维生素 A,B 含量如下表: 甲 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 600 800 乙 700 400

设用甲、 乙两种食物各 x kg, y kg 配成至多 100 kg 的混合食物, 并使混合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A 和 62 000 单位维生素 B,则 x,y 应满足的所有不等关系为________. x+y≤100, ? ?6x+7y≥560, ?2x+y≥155, ? ?x≥0,y≥0

答案

题型二 比较大小 例 2 (1)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N B.M>N D.不确定 ) )

ln 3 ln 4 ln 5 (2)若 a= ,b= ,c= ,则( 3 4 5 A.a<b<c C.c<a<b 答案 (1)B (2)B 解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0.

B.c<b<a D.b<a<c

-4-

∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M>N. b 3ln 4 (2)方法一 易知 a,b,c 都是正数, = a 4ln 3 =log8164<1, 所以 a>b; b 5ln 4 = =log6251 024>1, c 4ln 5 所以 b>c.即 c<b<a. 方法二 对于函数 y=f(x)= 1-ln x ln x ,y′= , x x2

易知当 x>e 时,函数 f(x)单调递减. 因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4)>f(5), 即 c<b<a. 思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法: 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方 再作差. (2)作商法: 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论. (3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数单调性得出大 小关系. (1)如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是( 1 1 A. < a b C.-ab<-a2 B.ab<b2 1 1 D.- <- a b ) )

(2)(2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b C.c>b>a 答案 (1)D (2)D 解析 (1)对于 A 项,由 a<b<0,得 b-a>0,ab>0, 1 1 b-a 故 - = >0, a b ab 1 1 > ,故 A 项错误; a b
-5-

B.b>c>a D.c>a>b

对于 B 项,由 a<b<0,得 b(a-b)>0,ab>b2,故 B 项错误; 对于 C 项,由 a<b<0,得 a(a-b)>0,a2>ab, 即-ab>-a2,故 C 项错误; 对于 D 项,由 a<b<0,得 a-b<0,ab>0, 1 1 a-b 故- -(- )= <0, a b ab 1 1 - <- 成立.故 D 项正确. a b 1 1 (2)因为 log32= <1,log52= <1,又 log23>1,所以 c 最大.又 1<log23<log25,所以 log23 log25 1 1 > ,即 a>b,所以 c>a>b,选 D. log23 log25 题型三 不等式性质的应用 例 3 已知 a>b>0,给出下列四个不等式: ①a2>b2;②2a>2b 1;③ a-b> a- b;④a3+b3>2a2b.


其中一定成立的不等式为( A.①②③ C.①③④ 答案 A

) B.①②④ D.②③④

解析 方法一 由 a>b>0 可得 a2>b2,①成立; 由 a>b>0 可得 a>b-1,而函数 f(x)=2x 在 R 上是增函数, ∴f(a)>f(b-1),即 2a>2b 1,②成立;


∵a>b>0,∴ a> b, ∴( a-b)2-( a- b)2 =2 ab-2b=2 b( a- b)>0, ∴ a-b> a- b,③成立; 若 a=3,b=2,则 a3+b3=35,2a2b=36, a3+b3<2a2b,④不成立. 故选 A. 方法二 令 a=3,b=2, 可以得到①a2>b2,②2a>2b 1,③ a-b> a- b均成立,而④a3+b3>2a2b 不成立,故选 A.


思维升华

(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需

要利用不等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找 到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如

-6-

对数函数、指数函数的性质等. (1)设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 1 1 C. 2< 2 ab a b B.ab2<a2b b a D. < a b )

(2)已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 a>b,则 ac2>bc2;②若 ac2>bc2,则 a>b;③若 a>b,则 a· 2c>b· 2c . 其中正确的是________.(填上所有正确命题的序号) 答案 (1)C (2)②③ 解析 (1)当 a<0 时,a2<b2 不一定成立,故 A 错. 因为 ab2-a2b=ab(b-a), b-a>0,ab 符号不确定, 所以 ab2 与 a2b 的大小不能确定,故 B 错. 1 1 a-b 因为 2- 2 = 2 2 <0, ab a b a b 1 1 所以 2< 2 ,故 C 正确. ab a b b a D 项中 与 的大小不能确定. a b (2)①若 c=0 则命题不成立.②正确.③中由 2c>0 知成立.

不等式变形中扩大变量范围致误 典例:设 f(x)=ax2+bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________. 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性,先求出 a,b 的范围,再求 f(-2)=4a-2b 的范围,导致变量范围扩大. 解析 方法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m、n 为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,
? ? ?m+n=4, ?m=3, 于是得? 解得? ?n-m=-2, ?n=1. ? ?

∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即 5≤f(-2)≤10.
?f?-1?=a-b, ? 方法二 由? ? ?f?1?=a+b

-7-

?a=2[f?-1?+f?1?], 得? 1 ?b=2[f?1?-f?-1?].
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.
? ?1≤a-b≤2, 方法三 由? ?2≤a+b≤4 ?

1

确定的平面区域如图阴影部分, 3 1 当 f(-2)=4a-2b 过点 A( , )时, 2 2 3 1 取得最小值 4× -2× =5, 2 2 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10. 答案 [5,10] 温馨提醒 (1)此类问题的一般解法:先建立待求整体与已知范围的整体的关系,最后通过”

一次性“使用不等式的运算求得整体范围; (2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.

方法与技巧 1.用同向不等式求差的范围.
? ?a<x<b, ?a<x<b, ? ? ?? ?a-d<x-y<b-c. ?c<y<d ? ? ?-d<-y<-c

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到. 2.倒数关系在不等式中的作用.
? ?ab>0, ?ab>0, 1 1 ? 1 1 ? ? < ;? ? > . a b a b ? ? ?a>b ?a<b

3.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.比差法的主要步骤: 作差——变形——判断正负.在所给不等式完全是积、商、幂的形式时,可考虑比商. 4.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法. 失误与防范
-8-

1.a>b?ac>bc 或 a<b?ac<bc,当 c≤0 时不成立. 1 1 1 1 2.a>b? < 或 a<b? > ,当 ab≤0 时不成立. a b a b 3.a>b?an>bn 对于正数 a、b 才成立. a 4. >1?a>b,对于正数 a、b 才成立. b 5.注意不等式性质中“?”与“?”的区别,如:
?a>b a>b,b>c?a>c,其中 a>c 不能推出? . ?b>c

6.比商法比较大小时,要注意两式的符号.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 答案 A 解析 由同向不等式的可加性知“a>b 且 c>d”?“a+c>b+d”,反之不对. 1 1 2.若 < <0,则下列结论不正确的是( a b A.a2<b2 C.a+b<0 答案 D 1 1 解析 ∵ < <0,∴b<a<0. a b ∴a2<b2,ab<b2,a+b<0, |a|+|b|=|a+b|. 3.已知 x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是( A.xy>yz C.xy>xz 答案 C 解析 因为 x>y>z,x+y+z=0, 所以 3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0, 所以 x>0,z<0. B.xz>yz D.x|y|>z|y| ) B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+b| ) )

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

-9-

? ?x>0, 所以由? 可得 xy>xz. ?y>z, ?

π π β 4.设 α∈(0, ),β∈[0, ],那么 2α- 的取值范围是( 2 2 3 5π A.(0, ) 6 C.(0,π) 答案 D β π 解析 由题设得 0<2α<π,0≤ ≤ , 3 6 π β π β ∴- ≤- ≤0,∴- <2α- <π. 6 3 6 3 π 5π B.(- , ) 6 6 π D.(- ,π) 6

)

5.设 a>1,且 m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则 m,n,p 的大小关系为( A.n>m>p C.m>n>p 答案 B 解析 因为 a>1,所以 a2+1-2a=(a-1)2>0, 即 a2+1>2a,又 2a>a-1, 所以由对数函数的单调性可知 loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1), 即 m>p>n. 6.已知 a<0,-1<b<0,那么 a,ab,ab2 的大小关系是__________.(用“>”连接) 答案 ab>ab2>a 解析 由-1<b<0,可得 b<b2<1. 又 a<0,∴ab>ab2>a. B.m>p>n D.p>m>n

)

7.设 a>b>c>0,x= a2+?b+c?2,y= b2+?c+a?2,z= c2+?a+b?2,则 x,y,z 的大小关 系是________.(用“>”连接) 答案 z>y>x 解析 方法一 y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x. 同理,z>y,∴z>y>x. 方法二 令 a=3,b=2,c=1,则 x= 18,y= 20, z= 26,故 z>y>x. 8.已知 a,b,c,d 均为实数,有下列命题 c d ①若 ab>0,bc-ad>0,则 - >0; a b c d ②若 ab>0, - >0,则 bc-ad>0; a b

- 10 -

c d ③若 bc-ad>0, - >0,则 ab>0. a b 其中正确的命题是________. 答案 ①②③ 解析 ∵ab>0,bc-ad>0, c d bc-ad ∴ - = >0,∴①正确; a b ab bc-ad c d ∵ab>0,又 - >0,即 >0, a b ab ∴bc-ad>0,∴②正确; bc-ad c d ∵bc-ad>0,又 - >0,即 >0, a b ab ∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确. 3 9.若实数 a≠1,比较 a+2 与 的大小. 1-a -a2-a-1 a2+a+1 3 解 ∵a+2- = = , 1-a 1-a a-1 3 ∴当 a>1 时,a+2> ; 1- a 3 当 a<1 时,a+2< . 1-a 10.甲乙两人同时从宿舍到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半 时间跑步;如果两人步行、跑步速度均相同,则谁先到教室? 解 设路程为 s,跑步速度为 v1,步行速度为 v2, s s s?v1+v2? t 甲= + = , 2v1 2v2 2v1v2 t乙 t乙 2s s= · v+ · v ?t 乙= , 2 1 2 2 v1+v2 t甲 ?v1+v2?2 ?2 v1v2?2 ∴ = ≥ =1. 4v1v2 4v1v2 t乙 ∴t 甲≥t 乙,当且仅当 v1=v2 时“=”成立. 由实际情况知 v1>v2,∴t 甲>t 乙.∴乙先到教室. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a+ >b+ b a b b+1 B. > a a+1 )

- 11 -

1 1 C.a- >b- b a 答案 A

2a+b a D. > a+2b b

1 解析 取 a=2,b=1,排除 B 与 D;另外,函数 f(x)=x- 是(0,+∞)上的增函数,但函数 x 1 g(x)=x+ 在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当 a>b>0 时,f(a)>f(b)必定成立,即 a x 1 1 1 1 - >b- ?a+ >b+ ,但 g(a)>g(b)未必成立,故选 A. a b b a 12.已知 a=log32,b=ln 2,c=5 答案 c<a<b ln 2 解析 a=log32= , ln 3 ∵0<ln 2<1,ln 3>1, ∴a<ln 2=b,即 a<b, 1 1 a= ,c= , log23 5 ∵0<log23<2 而 5>2, ∴0<log23< 5, ∴a>c, ∴c<a<b. x2 x3 13.设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 4的最大值是________. y y 答案 27 x2 x4 解析 由 4≤ ≤9,得 16≤ 2≤81. y y 1 1 1 又 3≤xy2≤8,∴ ≤ 2≤ , 8 xy 3 x3 x3 ∴2≤ 4≤27.又 x=3,y=1 满足条件,这时 4=27. y y x3 ∴ 4的最大值是 27. y 1 1 1 14.已知- <a<0,A=1+a2,B=1-a2,C= ,D= ,则 A,B,C,D 的大小关系 2 1+a 1-a 是________.(用“>”连接) 答案 C>A>B>D 1 1 解析 - <a<0,不妨取 a=- , 2 4
? 1 2

,则 a,b,c 的大小关系为________.(用“<”连接)

- 12 -

17 15 4 4 这时 A= ,B= ,C= ,D= . 16 16 3 5 由此猜测:C>A>B>D. -a?a2+a+1? 1 C-A= -(1+a2)= 1+a 1+a 1 3 -a[?a+ ?2+ ] 2 4 = . 1+a 1 3 ∵1+a>0,-a>0,(a+ )2+ >0,∴C>A. 2 4 ∵A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0,∴A>B. a?a2-a-1? 1 B-D=1-a - = 1-a 1-a
2

1 5 a[?a- ?2- ] 2 4 = . 1-a 1 ∵- <a<0,∴1-a>0. 2 1 5 1 1 5 又∵(a- )2- <(- - )2- <0, 2 4 2 2 4 ∴B>D. 综上所述,C>A>B>D. 15.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余 人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车队的原 价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 解 设该单位职工有 n 人(n∈N*),全票价为 x 元,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 则 y1=x+ x· (n-1) 4 1 3 = x+ nx, 4 4 4 y2= nx. 5 1 3 4 所以 y1-y2= x+ nx- nx 4 4 5 1 1 = x- nx 4 20 1 n = x(1- ). 4 5 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2;

- 13 -

当 n<5 时,y1>y2. 因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费同等优惠; 当单位去的人数多于 5 人时,甲车队收费更优惠; 当单位去的人数少于 5 人时,乙车队收费更优惠.

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