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河南省豫南九校2015届上期高三第三次联考数学(理)试题


河南豫南九校 2015 届上期高三第三次联考 数学(理)试题
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求的。 1.集合 A={x∈R| x 2 =x},B={x∈R| x 3 =x},则集合 A∩ B 的子集个数为 A.1 B.2 C. 4 D.8

2.已知等比数列{ an }中,a3 ,a7 是一元二次方程 x 2 +7x+9=0 的两根则 a5 = A.3 B.-3 C. ? 3 D .9

3.设随机变量ξ 服从正态分布 N(μ , ? 2 ),(δ >0)若 p(ξ <0)+p(ξ <1)=1, 则μ 的值 A.-1 B.1 C.-

1 2

D.

1 2

4.若复数 a=3+2i,b=4+mi,要使复数 A.-6 B.6

a 为纯虚数,则实数 m 的值为 b 8 8 C. D.- 3 3

5.已知数列{ an },a1 =1, an+1 = an +n,若利用如图 所示的程序框图计算该数列的第 10 项, 则判断框内 的条件是 A.n≤8? C.n≤10? 6.曲线 y= B.n≤9? D.n≤11?

2 与直线 y=x-1 及 x=4 所围成的封闭 x

图形的面积为 A.2- ln2 B.4-2ln2 C.4-ln2 D.2ln2 7.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出 的 尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积 是 A.

2 3 cm 3

B.

2 3 3 cm 3

C.

4 3 cm 3

D.

8 3 cm 3

? x+3y-3≤0 ? ≥0 ,则 8.已知 x,y 满足约束条件 ? x-y+1 ? y≥-1 ?
z=2x-y 的最大值为 A.-3 B.1 C.13 D.15 9.已知 sin10°=k,则 sin110°= A.1- k 2 B.2 k 2 -1 C.1-2 k 2 D.1+2 k 2

10.过抛物线 y 2 =4x 的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1 ,l2 ,l1 交 C 于 A、B,l2 交 C 于 M、 N.则

1 1 + = MN AB
B.

A.

2 4

1 2

C.

2 2

D.

1 4

11.二次函数 y= x 2 -2x+2 与 y=-x 2 +ax+b(a>0,b>0)在它们的一个交点处的切 线 A. 互相垂直,则

1 4 + 的最小值为 a b
C.

24 5

B.4

18 5

D.

16 5

12.定义[x]表示不超过 x 的最大整数,若 f(x)=cos (x-[x]),则下列结论中: ①y=f(x)为偶函数; ②y=f(x)为周期函数,周期为 2π ; ③y=f(x)的最小值为 cos1,无最大值: ④y=f(x)无最小值,最大值为 1. 正确的命题的个数为 A.0 个 B.1 个 C.3 个 D.4 个

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分.共 20 分 13. ( x+a ) 的展开式中 x 的系数是 10,则实数 a 的值为 _______________(用数字作答) 14.如图,在平行四边形 ABCD 中, AP⊥ BD,垂足为 P, AP=3,则 AP · AC =______________.
5
3

uuu r

uuu r

15.已知△ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上,且∠ B=90°, BC=1, AC=3,已知 三棱锥 O-ABC 的体积为

14 ,则球 O 的表面积为_______________. 6 an-1 ,n=3,4,?其中 m 为非零实数,若 a1 ·a2014 =4, man-2

16.正实数列{ an }满足 an = 则

m=___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

已知 m =(asinx,cosx), n =(sinx,bcosx),其中 a,b,x∈R,若 f(x)= m · n 满足 f(

r

r

r

r

?

6

)=2,且 f(x+

?

3

)=f(

?

3

-x).

(1)求 a,b 的值: (2)若关于 x 的方程 f(x)+ log 2 k =0 在区间[0, 值范围. 18.(本小题满分 12 分)

?
2

]上总有实数解,求实数 k 的取

市面上有三种新型产品,经调查发现第一种产品受欢迎的概率为

4 ,第二、三种产品 5

受欢迎的概率分别为 p,q(p>q),且不同种产品是否受欢迎相互独立.记ξ 为三种 新型产品受欢迎的数量,其分布列为

(1)求至少有一种产品受欢迎的概率; (2)求 p,q 的值; (3)求数学期望 Eξ . 19.(本小题满分 12 分) 如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, △ACD 为等边三角形, AD=DE=2AB. F 为 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE: (3)求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 如图已知椭圆

x 2 y2 + =1 (a>b>0)的离心率 a 2 b2



3 ,且过点 A(0,1). 2

(1)求椭圆的方程; (2)过点 A 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 M,N 两点.求证:直线恒过定点 P.并求点 P 的坐标. 21.(本小题满分 12 分) 已知 a∈R,函数 f(x)= 的底数). (1)判断函数 f(x)在(0,e]上的单调性; (2)是否存在实数 x0 ∈(0,+∞),使曲线 y=g(x)在点 x=x0 处的切线与 y 轴垂 直?若存在,求出 x0 的值;若不存在,请说明理由. 【选作题】 请考生在 22、 23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时请写清题号。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选 讲 如图 AB 是圆 O 的直径, 以 B 为圆心的圆 B 与 圆 O 的一个交点为 P, 过点 A 作直线交圆 O 于 点 Q,交圆 B 于点 M、N. (1)求证:QM=QN; (2)设圆 O 的半径为 2,圆 B 的半径为 1,当 AM=

a +lnx-1,g(x)=( lnx- l) e x +x(其中 e 为自然对数 x

10 时,求 MN 的长. 3

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:

? ? x=-2+ ? , 过点 P (-2, -4) 的直线 l 的参数方程为: ? sin 2 ? =2acos θ(a>0) ? ?y=-4+ ? ?
(t 为参数),直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点. (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 f(x)=2|x|-|x+3|. (1)求不等式 f(x)≤7 的解集 S; (2)若关于 x 的不等式 f(x)+|2t-3|≤0 有解,求参数 t 的取值范围.

2 t 2 2 t 2

理数答案及提示
1-5 CBDAB 13、 ? 1 14、18 15、 16? 16、 6-10BCCCD 11-12CB

1 2 2p 进行计算. sin 2 ?

10. 提示:法一:可利用过焦点的弦长 AB ?

法二:可通过特殊位置来考虑:将 AB 看做通径,则 MN ? ?? ,此时

1 ?0 MN

?

1 1 1 1 ? ? ? AB MN 2p 4

16. 提示:依条件可知 {a n } 是一个 T=6 的周期数列. 17、解(1) f ( x) ? m ? n = 由 f ( ) ? 2 得 a ? 3b ? 8

?

a b (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x, 2 2
……………………………………(3 分) …………………………………...(5 分) ………………………………(6 分)

6

又 f (0) ? f (

2? ) 得 b ? 3a 3

则有 a ? 2, b ? 2 3 (2)由(1)得 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1
…………(9 分)

? x ? [0, ],? 2 sin( 2 x ? ) ? [?1,2],? f ( x) ? [0,3] 2 6
? log 2 k ? ? f ( x) ? [?3,0]

?

?

1 ? k ? [ ,1] 8

……………………………….. (12 分)

18. 解:设事件 Ai 表示“第 i 种产品受欢迎”,i=1,2,3; 由题意得 p ( A1 ) ?

4 , p ( A2 ) ? P, P( A3 ) ? q 5

43 ………..(3 分) 45 1 2 (2) 由题意得: p (? ? 0) ? p ( A1 A2 A3 ) ? (1 ? p )(1 ? q ) ? 5 45 4 8 p (? ? 3) ? p ( A1 A2 A3 ) ? pq ? 5 45
(1) 设所求事件为 B,则 p ( B ) ? 1 ? p (? ? 0) ?

整理得: pq ?

2 2 1 , p ? q ? 1, p ? q. ? p ? , q ? ……(8 分) 9 3 3

(3) 由题意知: a ? p (? ? 1) = p ( A1 A2 A3 ) + p ( A1 A2 A3 ) + p ( A1 A2 A3 ) =

13 45

………………………(10 分)

b ? p (? ? 2) ? 1 ? p (? ? 0) ? p (? ? 1) ? p (? ? 3) ? ? E? ? 27 15

22 45

……………………….(12 分)

19. (1)证明:取 CE 的中点 G, 连 FG、BG. 可证得四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF//BG 即可证得 AF//平面 BCE. …………………………..(4 分) (2) 依题意证得 BG ? 平面 CDE,即可证得平面 BCE ? 平面 CDE…….(8 分) (1) 设 AD=DE=2AB=2, 建立如图所示的坐标系 A—xyz, 则 A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1, 3 ,0),E(1, 3 ,2),F( ,

3 2

3 ,0) 2

设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 由 n ? BE ? 0, n ? BC ? 0

可取 n ? (1,? 3 ,2) , BF ? ( ,

3 2

3 ,?1) 2

设 BF 和平面 BCE 所成的角为 ? ,则: sin ? =

BF ? n BF ? n

?

2 4

……………………………(12 分)

20. (1)由题意得:a=2,

b=1 ………………(3 分)

x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的方程为: 4
3 5

(2)法 1:直线 MN 恒过定点 P(0, ? ) ,下面给予证明: 设直线 l1 的方程为 y ? kx ? 1, 联立椭圆方程,消去 y 得;

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 0 , 解得 xM ? ?

8k 1 ? 4k 2 , y ? M 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

同理可得: x N ?

8k k2 ? 4 , y ? N k2 ? 4 k2 ? 4

……………………(8 分)

k MP ?

yM ?

3 3 yN ? 2 2 k ? 1 5? 5 ? k ?1 , k NP ? xM 5k xN 5k

? k MP ? k NP .
故直线 MN 恒过定点 P (0, ? )

3 5

……………………(12 分)

法 2:同法(1)求得 M、N 两点坐标后,可得直线MN的方程为:

y?

k 2 ?1 3 x? 5k 5
..................(12

3 ? 直线MN恒过定点P(0, ? ) 5
分) 21. 解: (1) f ( x) ?

? f ?( x) ?

x?a , x2

a ? ln x ? 1, x ? (0,??) x

①若 a ? 0, f ( x) 在(0,e)上单调递增; ② 0 ? a ? e, f ( x) 在(0,a)上单调递减,在(a,e) 上单调递增; ③若 a ? e, f ( x) 在(0,e)上单调递减. ……………………..(5 分)

(2)因为 g ( x) ? (ln x ? 1)e x ? x , x ? (0,??) 所以 g ?( x) ? (

1 ? ln x ? 1)e x ? 1 x f ( x) ? 1 ? ln x ? 1 在 x ? (0,??) 的最小值为: x

由(1)易知,当 a=1 时,

f ( x) min ? f (1) ? 0
即 x0 ? (0,??),

1 ? ln x0 ? 1 ? 0, x0 1 ? ln x0 ? 1)e x0 ? 1 ? 1 ? 0 x0

又e

x0

? 0,? g ?( x0 ) ? (

曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g ?( x0 ) ? 0 有实数解.

而 g ?( x0 ) ? 0, 即方程 g ?( x0 ) ? 0 无实数解,故不存在. 22. (1)证明:连接 BM、 BN、 BQ、 BP

…………(12 分)

? B 为小圆的圆心, ? BM=BN
又因 AB 为大圆的直径, ? BQ ? MN (2)因 AB 为大圆的直径, ? ?APB ? 90 0 ,

? QM ? QN ……..(5 分)
? AP 为圆 B 的切线,

? AP 2 ? AM ? AN .
由已知 AB=4,PB=1, AP 2 ? AB 2 ? PB 2 ? 15 . 又 AM=

10 3

所以 MN=

7 6

………………………….(10 分)

23. 解:(1)曲线 C 的直角坐标方程 y 2 ? 2ax, 直线的普通方程为 y ? x ? 2 ………………………….(4 分)

(2)将直线的参数方程代入 y 2 ? 2ax, 得

t 2 ? 2 2 (4 ? a )t ? 8(4 ? a ) ? 0.
设 M、N 两点对应的参数分别为 t1 , t 2 , 则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a ), t1 ? t 2 ? 8(4 ? a ),

? MN ? PM ? PN ,

2

? (t1 ? t 2 ) 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 = t1t 2
解得 a ? 1 或 a ? ?4 (舍) …………………………………..(10 分)

?? x ? 3, x ? ?3 ? 24. 解:(1) f ( x) ? ?? 3 x ? 3,?3 ? x ? 0 ? x ? 3, x ? 0 ?
在同一坐标系下作出 y ? f ( x) 与 y ? 7 的图像,可知二者相交于横坐标为 x1 ? ?4, x2 ? 10

的两点,因此得 S=[ ? 4,10] .

……………………………………. (5 分)

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , f ( x) 的 最 小 值 为 -3 , 则 不 等 式 f ( x) ? 2t ? 3 ? 0 有 解 , 且 只 需

? 3 ? 2t ? 3 ? 0,
解得 0 ? t ? 3, ? t 的取值范围是 [0,3] . ……………………………….(10 分)


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