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福建省德化一中2014年秋季高二数学(理科)周练3


德化一中 2014 年秋季高二数学(理科)周练 3
班级______ 一、选择题 1.数列 ?an ?是等比数列,则下列结论中正确的是( A.对任意 k ? N ,都有
*

座号______

姓名_________

成绩_________



ak a

k ?1 ? 0 B.对任意 k ? N * ,都有 ak ak ?1ak ?2 ? 0 ak ak ?2 ? 0 D.对任意 k ? N * ,都有 ak ak ?2 ak ?4 ? 0 )

C.对任意 k ? N ,都有
*

2.

在等差数列 {an }中, 有a6 ? a7 ? a8 ? 12, 则该数列的前 13项之和为(
B.52 C.56 D.104
)

A.24

3.若 sn 是等差数列 ?an ?的前 n 项和,有 s8 ? s3 ? 10 ,则 S11 的值为( A.22 B.18 C.12 D.44

4. 设 sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? ?2010 , A. ? 2008 B. ? 2012 C. 2008

S 2011 S 2008 ? ? 3 ,则 a2 ? ( 2011 2008 D. 2012
)



5.在等比数列 ?an ?中, a1 =1,公比|q|≠1.若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m=( A.9 B.10 C.11 D.12 ) 6. 已知数列 ?an ?中, a1 =1,当 n ? 2 时, an ? 2an?1 ? 1 ,则 an ? ( A. n ? 1
2

B. n ? 2n ? 2
2

C. 2 ? 1
n

D. 2 )

n ?1

?1

7.在等差数列 ?an ?中, a2 =2, a3 =4,则 a10 =( A.12 B.14 C.16

D.18 ) D. (3n ? 2) ? 2
n?1

8.数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 3 ? 2 n?1 ,则 an ? ( A. (3n ? 1) ? 2
n

B. (6n ? 3) ? 2

n?1

C. 3(2n ? 1) ? 2

n ?1

a5 5 S9 9.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =( ) a3 9 S5 A.1 B.12 C.13 D.14 10.在等差数列{an}中,d=1,S98=137,则 a2+a4+a6+…+a98=( A.91 B.92 C.93 D.94

)
2 2 2

11. 互不相等的三个正数 a、 b、 c 成等差数列, 又 x 是 a、 b 的等比中项,y 是 b、 c 的等比中项, 那么 x , b , y 三个数( ) A.成等差数列,非等比数列 C.既是等差数列,又是等比数列

B.成等比数列,非等差数列 D.既不成等差数列,又不成等比数列 )

12.已知等差数列 ?an ?中, a2 ? 6, a5 ? 15 ,若 bn ? a2n ,则数列{bn}的前 5 项和等于( A.30 B. 45 C.90
1

D.186

二、填空题 13.已知{an}是等差数列,a1=1,公差 d≠0,Sn 为其前 n 项和,若 a1,a2,a5 成等比数列,则 S8=________. 1+3+5+…+(2x-1) =110 (x∈N*),则 x=________. 1 1 1 + +…+ 1·2 2·3 x(x+1)

14.若

15. 已知数列 ?an ?满足 a1 =1,

1 1 ? ? 1 ,则 a10 =________. 1 ? an?1 1 ? an

16.已知函数 f ( x) ? ( x ? 2 ) 2 , ( x ? 0) ,又数列 ?an ? 中 a1 ? 2 ,其前 n 项和为 S n , (n ? N ? ) ,对所有 大于 1 的自然数 n 都有 S n ? f (S n?1 ) ,则数列 ?an ? 的通项公式________. 三、解答题 17.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ?的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q , 且 b2 ? s2 ? 12 , q ?

s2 1 . (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)设数列 ?cn ?满足 cn ? ,求 ?cn ?的前 n 项和 Tn . b2 sn

18.已知等比数列 ?an ?各项为正数,Sn 是其前 n 项和,且 a1 ? a5 ? 34, a2 ? a4 ? 64.求 ?an ? 的公比 q 及 Sn .

19.已知数列{log2(an-1)}(n∈ N*)为等差数列,且 a1=3,a3=9.

2

1 1 1 (1)求数列{an}的通项公式;(2)证明: + +…+ <1. a2-a1 a3-a2 an+1-an

?1? 20.已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? ?an ? ? ? ?2?

n ?1

. ? 2 ( n 为正整数)

(1)令 bn ? 2n an ,求证:数列 ?bn ?是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn 试比较 Tn 与 3 的大小,并予以证明. n

21. 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 sn , 且 sn ? n ?

* 3 an(n ? N ) . 数列 {bn} 是等差数列, 且 b2 ? a2 , b20 ? a4 . 2

3

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? bn ? ? 的前 n 项和 Tn; ? an ? 1?

德化一中 2014 年秋季高二数学(理)周练 3 参考答案
CBAAC CDBAC AC 13.64 14.10 17 15.- 19

16.解:? f ( x) ? ( x ?

2 ) 2 , S n ? f ( S n ?1 ) ? ( S n ?1 ? 2 ) 2

? S n ? S n?1 ? 2 ,? S n ? S n?1 ? 2
? S1 ? a1 ? 2

?

? S ?是首项为
n

2 ,公差为 2 的等差数列。

S n ? 2 ? (n?!) 2 ? 2n,? S n ? 2n 2 。
n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2
且当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 4 ? 1 ? 2 符合条件

? 通项公式为 an ? 4n ? 2

17. 【答案】 (Ⅰ)设

?an ? 的公差为 d ,

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? ? q ? S2 , ? q ? 6?d. ? ? q b2 因为 ? 所以 ?

a ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) ,故 n
Sn ? n(3 ? 3n) 2 ,
4



bn ? 3n?1 .

(Ⅱ)因为

1 2 2 1 1 ? ? ( ? ) c S n ( 3 ? 3 n ) 3 n n ? 1 n 所以 ? n .
2? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? T ? 3? 2 2 3 故 n 1 1 ? 2 1 2n ?( ? ) ? ? (1 ? )? n n ?1 ? 3 n ? 1 3(n ? 1) .

18. 【答案】? 数列 又? 由

?an ? 是等比数列,? a2 ? a4 ? a1 ? a5 ? 64 ,

a1 ? a5 ? 34, ? a1 ? 2, a5 ? 32 或 a1 ? 32, a5 ? 2 ,

an ? 0 ,当 a1 ? 2, a5 ? 32 时, q ? 2, Sn ? 2n ,
q? 1 1 , S n ? ( ) n?4 2 2

a ? 32, a5 ? 2 时, 当 1

19. 【答案】(1)解:设等差数列{log2(an-1)}的公差为 d. 由 a1=3,a3=9,得 2(log22+d)=log22+log28,即 d=1. ∴log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即 an=2n+1. 1 1 1 (2)证明:∵ = n+1 n= n, 2 an+1-an 2 -2 1 1 1 ∴ + +…+ a2-a1 a3-a2 an+1-an 1 1 1 1 = 1+ 2+ 3+…+ n 2 2 2 2 1 1 1 - × 2 2n 2 1 = =1- n<1 1 2 1- 2

1 1 a1 ? Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 S ? ?an ?1 ? 2 ? a1 ,即 2 2 20. 【答案】 (1)在 中,令 n=1,可得 1

1 1 Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( ) n ?2 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 2 2 , 当 n ? 2 时,
1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 2 .

bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .


.

b1 ? 2a1 ? 1,?数列 ?bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.
5

于是

bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?

n 2n .

(2)由(1)得

cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n n 2 ,所以

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? K ? ( ) n ? ( n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 由①-②得 2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2


Tn ? 3 ?

n?3 ?3 2n .

21. 【答案】 (1)由

Sn ? n ?

3 3 an S n ?1 ? n ? 1 ? a n ?1 2 ,①当 n ? 2 时, 2 ,②

两式相减得

an ? 1 ?

an ? 1 3an?1 ? 2 ? 1 3 3 ? ?3 a n ? a n ?1 a ? 3 a ? 2 a ? 1 a ? 1 n ? 2 2 2 n n ? 1 n ? 1 n ? 1 ,即 .当 时, 为定值,



Sn ? n ?

3 an 2 ,令 n=1,得 a1=-2. 所以数列{an-1}是等比数列,公比是 3,首项为-3.所以数

列{an}的通项公式为 an=1-3n.

b ? ?80 .由{bn}是等差数列,求得 bn=-4n. (2)∴ b2 ? ?8 , 20

Tn ?


b b b1 b 1 2 (n ? 1) n ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n ? 4? ? ? ? ? ? n? 1 2 ? a1 ? 1 a2 ? 1 an?1 ? 1 an ? 1 3n ?1 3 ?, ?3 3

1 2 (n ? 1) n ? ?1 Tn ? 4? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? n 3 3 3 ?, ?3 而3 2 1 1 n ? 1 1 ? 2n ?1 ?1 Tn ? 4? 1 ? 2 ? ? ? n ? n?1 ? Tn ? 2? 0 ? 1 ? ? ? n?1 ? ? n 3 3 ? ,即 3 3 ? 3 , ?3 3 ?3 相减得 3
6

1 1 ? ( )n 3 ? 2n ? 3 ? 2n ? 3 Tn ? 2 1 3n 3n 1? 3 则 .

7


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