当前位置:首页 >> 数学 >>

圆锥曲线定点、定直线、定值专题


定点、定直线、定值专题
1、 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2 y 2 解:(I)由题意设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3 ?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
? x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2
y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,? (最好是用向量点乘来) y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 2、已知椭圆 C 的离心率 e ?
3 ,长轴的左右端点分别为 A1 ? ?2 , 0? , A2 ? 2 , 0 ? 。 (Ⅰ)求 2

椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 x ? my ? 1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点,直线 A1 P 与 A2 Q 交于点 S。试问:当 m 变化时,点 S 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明 你的结论;若不是,请说明理由。 解法一: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 ∵a ? 2 ,e ?

x 2 y2 ? ? 1? a ? b ? 0? 。 a 2 b2

………………… 4分

1分

c 3 ? ,∴ c ? 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 1 。 a 2

………………

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 。 ……………………………………… 5 分 2 4

? 3? ? 3 3 3? y? x? , (Ⅱ)取 m ? 0, 得 P ? ?1, 2 ? ? ,Q ? ?1, ? 2 ? ? ,直线 A1P 的方程是 6 3 ? ? ? ?
直线 A2 Q 的方程是 y ?
3 x ? 3, 交点为 S1 4, 3 . …………7 分, 2

?

?

? 3? ? 3? 1, ? 若 P? ? ,Q ? ? ? ?1, ? ,由对称性可知交点为 S2 4, ? 3 . 2 ? ? ? ? 2 ?

?

?

若点 S 在同一条直线上,则直线只能为 : x ? 4 。…………………8 分 以下证明对于任意的 m, 直线 A1P 与直线 A2 Q 的交点 S 均在直线 : x ? 4 上。事实上,由
? x2 2 ? ? y ?1 2 得 ? my ? 1? ? 4y2 ? 4, 即 m2 ? 4 y2 ? 2my ? 3 ? 0 , ?4 ? x ? my ? 1 ?

?

?

?2m ?3 。………… , y1y2 ? 2 2 m ?4 m ?4 y y1 6y1 , 得 y0 ? . 设 A1P 与 交于点 S0 (4, y0 ), 由 0 ? 4 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2

记 P ? x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

9分

设 A2 Q 与 交于点 S0? (4, y0? ), 由

2y 2 y0? y2 . ……… 10 ? , 得 y 0? ? x 4 ? 2 x2 ? 2 2 ?2

y 0 ? y 0? ?

6y ? my2 ? 1? ? 2y 2 ? my1 ? 3? 4my1 y2 ? 6 ? y1 ? y2 ? 6y1 2y 2 ? ? 1 ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ? x1 ? 2 ?? x 2 ? 2 ? ? x1 ? 2?? x 2 ? 2 ?

?12m ?12m ? 2 2 ? m ? 4 m ? 4 ? 0 ,……12 分 ? x1 ? 2?? x 2 ? 2?
∴ y0 ? y0? ,即 S 0 与 S0? 重合,这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 : x ? 4 上。 13 分

? 3? ? 3 3 3? y? x? , 直线 A2 Q 解法二: (Ⅱ)取 m ? 0, 得 P ? ?1, 2 ? ? ,Q ? ?1, ? 2 ? ? ,直线 A1P 的方程是 6 3 ? ? ? ?

3 x ? 3, 交点为 S1 4, 3 . ………………………………………… 7分 2 1 1 1 ?8 3? 取 m ? 1, 得 P ? , ? , Q ? 0, ?1? ,直线 A1P 的方程是 y ? x ? , 直线 A2 Q 的方程是 y ? x ? 1, 6 3 2 ?5 5?

的方程是 y ?

?

?

交点为 S2 ? 4,1? . ∴若交点 S 在同一条直线上,则直线只能为 : x ? 4 。 ……………8 分 以下证明对于任意的 m, 直线 A1P 与直线 A2 Q 的交点 S 均在直线 : x ? 4 上。事实上,由
? x2 2 ? ? y ?1 2 y 得 ? my ? 1? ? 4y2 ? 4, 即 m2 ? 4 y2 ? 2my ? 3 ? 0 , 记 P ? x1 , y ? x ? ,则 4 ? 1? , Q 2 ,2 ? x ? my ? 1 ?

?

?

?2m ?3 。………………9 分 ,y 1 y 2? 2 2 m ?4 m ?4 y1 y A1P 的 方 程 是 y ? ? x ? 2 ? , A2 Q 的 方 程 是 y ? 2 ? x ? 2 ? , 消 去 y , 得 x1 ? 2 x2 ? 2 y1 ? y 2 ?
y1 y ? x ? 2 ? ? 2 ? x ? 2 ? … ①以下用分析法证明 x ? 4 时,①式恒成立。要证明①式恒 x1 ? 2 x2 ? 2

成 立 , 只 需 证 明

6y1 2y 2 ? , 即 证 3 1y ? x1 ? 2 x 2 ? 2

m ? 2 ?y ? ? 1 2

y m y 证 ?? 1 即

3

,

2 m ? y2 y . ? ? 13? ……………… 1 y 2 y

② ∵ 2my1y 2 ? 3? y 1? y

? 2 ?

?6m ?6m ? ? 0, ∴ ② 式 m2 ? 4 m2 ? 4

恒成立。这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 : x ? 4 上。
? x2 2 ? ? y ?1 2 解法三: (Ⅱ)由 ? 4 得 ? my ? 1? ? 4y2 ? 4, 即 m2 ? 4 y2 ? 2my ? 3 ? 0 。 ? x ? my ? 1 ?

?

?

记 P ? x1 , y1 ? ,Q ? x 2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ?

?2m ?3 。…………… , y1y2 ? 2 2 m ?4 m ?4 y1 y A1P 的方程是 y ? ? x ? 2 ? , A2Q 的方程是 y ? 2 ? x ? 2 ? , …… x1 ? 2 x2 ? 2

6分 7分

y1 ? ?y ? x ? 2 ? x ? 2? , y y2 ? 1 由? 得 1 ? x ? 2? ? ? x ? 2? , x2 ? 2 ? y ? y 2 ? x ? 2 ? , x1 ? 2 ? x2 ? 2 ?
即x ? 2

…………………

9分

y2 ? x1 ? 2 ? ? y1 ? x 2 ? 2 ? y ? my1 ? 3? ? y1 ? my 2 ? 1? 2my1 y 2 ? 3y 2 ? y1 ?2 ?2 2 3y 2 ? y1 y2 ? x1 ? 2 ? ? y1 ? x 2 ? 2 ? y 2 ? my1 ? 3? ? y1 ? my 2 ? 1?

2m ?2

?3 ? ?2m ? ? 3? 2 ? y1 ? ? y1 m ?4 ?m ?4 ? ? 4. ……………………………… ? ?2m ? 3? 2 ? y1 ? ? y1 ?m ?4 ?
2

12 分

这说明,当 m 变化时,点 S 恒在定直线 : x ? 4 上。………………

13 分


相关文章:
圆锥曲线定点、定直线、定值问题
圆锥曲线定点定直线、定值问题 希望对大家有帮助!希望对大家有帮助!隐藏>> 定点、定直线定值专题 1、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 ...
高中圆锥曲线定点定直线问题
定点定直线定值专题 1、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 .(Ⅰ)求椭圆 C 的标准...
圆锥曲线(三)定点、定直线、定值专题 教师版
圆锥曲线(三)定点定直线定值专题 教师版_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线(三)定点定直线定值专题 教师版 第 1 页共 3 页 ?1.求解求值问题 ? ?...
圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
高三专题复习高三专题复习隐藏>> 圆锥曲线中的“定值定点定直线”问题例 1.过 y =x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、C...
圆锥曲线定点、定直线、定值问题定稿答案
圆锥曲线定点定直线定值问题定稿答案_理学_高等教育_教育专区。圆锥曲线定点定直线定值问题定稿,带答案1.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,...
圆锥曲线定点,定值问题-2015届苏教版高三专题
圆锥曲线定点,定值问题-2015届苏教版高三专题_数学_高中教育_教育专区。1、...到直线 MN 的 距离是定值.(6 分) 【答案】解: (1) ∵双曲线 C1 : 2...
...技巧解题方法专题08 巧解圆锥曲线中的定点和定值问...
2015最新高考数学解题技巧解题方法专题08 巧解圆锥曲线中的定点定值问题_高考_...求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是:把直线或曲线方程中的变量 x,y ...
2015高考专题训练:圆锥曲线中最值、定点、定值
2015高考专题训练:圆锥曲线中最值、定点、定值_数学_高中教育_教育专区。2015高考...圆锥曲线专题 圆锥曲线中最值,定值问题一、选择题 1.抛物线 y=ax2 与直线 ...
圆锥曲线定点、定直线、定值问题定稿答案
圆锥曲线中的定点、定直... 2页 1下载券 圆锥曲线中的定点定值... 3页...最大值为 3 ,最小值为 1 .(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l ...
圆锥曲线定值定点问题
圆锥曲线定值定点问题_数学_高中教育_教育专区。圆锥曲线问题的解题规律可以概括为...定点定直线定值专题(2012?菏泽一模)已知直线 l:y=x+ ,圆 O:x +y =...
更多相关标签: