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江西省师大附中2015届高三10月月考 数学理试题


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江西师大附中 2015 届 高三年级数学(理)月考试卷
命题人:张和良 审题人:蔡卫强 2114 年 10 月 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? ln(1? | x |)} ,则 A A. (1, 2) 2.以下说法错误的是( B. [1, 2) ) C. (1, 2]

(?R B) ? ( D. [1, 2]



A.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题是“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题
2 D.若命题 p: ? x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则﹁p: ? x∈R,都有 x2+x+1≥0

3.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( A. y ? 2| x| C. y ? 2x ? 2? x B. y ? 1g ( x ? D. y ? 1g



x 2 ? 1)

1 x ?1
1 2


4.若一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1或x ? } ,则 f (10 x ) ? 0 的解集为( A. {x | x ? ?1或x ? lg 2} C. {x | x ? ? lg 2} 5.已知 a>l , f ( x) ? a x A. ?1 ? x ? 0
2

B. {x | ?1 ? x ? lg 2} D. {x | x ? ? lg 2}

?2 x

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是( B. ?2 ? x ? 1 C. ?2 ? x ? 0



D. 0 ? x ? 1 )

1 6.若变量 x,y 满足| x |-ln =0,则 y 关于 x 的函数图象大致是( y

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7.△ABC 中,A=

? ,BC=3,则△ABC 的周长为( 3 ? )+3 3
B.4 3 sin(B+ D.6sin(B+



A.4 3 sin(B+ C.6sin(B+

? )+3 6

? )+3 3
x

? )+3 6


8.方程 log 1 ( a ? 2 ) ? 2 ? x 有解,则 a 的最小值为(
2

A.2

B.1

C.

3 2

D.

1 2


9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? [1,3] 时, f ( x) ? 2? | x ? 2 | ,则( A. f (sin

2? 2? ) ? f (cos ) 3 3

B. f (sin1) ? f (cos1) D. f (sin 2) ? f (cos 2)

C. f (tan 3) ? f (tan 6)

10.设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a>0,b>0,若 f ( x ) ? f ( ) |对一切 x∈R 恒成立,则 6 ① f(

?

11? 7? ? ) ? 0; ② | f ( ) |?| f ( ) |; ③f(x) 既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 ; ④f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 12 10 5

[ k? ?

? 2? , k? ? ](k∈Z); ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是 ( 6 3
B.①③ C.①③④ D.①②④⑤



A.①②④

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知命题 “函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? ax ? 1) 定义域为 R” 是假命题, 则实数 a 的取值范围是 4 ?? ?? ?? ? ? ? 12. 若 α∈ ? , ? ? ,且 sinα= ,则 sin ? ? ? ? +cos ? ? ? ? = 5 4? 4? ?2 ? ? ? 13.由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 . . .

?log 2 x, x ? 0 1 14.已知函数 f ( x) ? ? x 若f (a) ? , 则 a= 2 ?2 , x ? 0.



15.若不等式 x2 ?| x ? 1| ?a 的解集是区间 (?3,3) 的子集,则实数 a 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16.(本小题满分12分)已知p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈R, x0 +2x0-m-1=0, 且p∧q为真,求实数m的取值范围.

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17.(本小题满分 12 分)记函数 f ( x) ? lg( x 2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A ,函数 g ( x ) ? 3 ? x 的定义域 为集合 B . (Ⅰ)求 A

B;

(Ⅱ)若 C ? x x ? 4 x ? 4 ? p ? 0, p ? 0 ,且 C ? ( A
2 2

?

?

B ) ,求实数 p 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ? 2cos 2 两交点的距离为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值;

?

?x
2

6

?1( ? ? 0) ,直线 y ? 3 与函数 f ( x) 图像相邻

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若点 ( ,0) 是函数 y ? f ( x) 图像的一个对称中 心,且 b=3,求 ?ABC 面积的最大值.

B 2

19.(本小题满分 12 分)如图,简单组合体 ABCDPE ,其底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PD ⊥ 平面

ABCD, EC ∥PD, 且 PD ? 2 EC ? 2.
(Ⅰ)在线段 PB 上找一点 M ,使得 ME ⊥ 平面 PBD; (Ⅱ)求平面 PBE 与平面 PAB 的夹角.

P

E

D
A

C

B

b c d ? R) ,设直线 l1 , l2 分别是曲线 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ,,,

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y ? f ( x) 的两条不同的切线. b c d 的值; (Ⅰ)若函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 1 时 f ( x) 有极小值为 ?4 ,求 a ,,, (Ⅱ) 若直线 l1 // l2 , 直线 l1 与曲线 y ? f ( x) 切于点 B 且交曲线 y ? f ( x) 于点 D , 直线 l2 和与曲线 y ? f ( x) B, C, D 的 横 坐 标 分 别 为 xA , 切 于 点 C 且 交 曲 线 y ? f ( x) 于 点 A , 记 点 A , xB , xC , xD , 求 ( xA ? xB ) : ( xB ? xC ) :( xC ? xD ) 的值.

21.(本小题满分 14 分)巳知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ln x , g ( x) ? ln 2 x ? 2a 2 ,其中 x ? 0, a ? R . (Ⅰ)若 f ( x) 在区间 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; 1 (Ⅱ)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证: F ( x) ? . 2

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江西师大附中高三数学(理)试题
命题人:张和良 审题人:蔡卫强 2114 年 10 月 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? ln(1? | x |)} ,则 A A. (1, 2) B. [1, 2) C. (1, 2]

(?R B) ? ( D. [1, 2] [

B )

2.以下说法错误的是( C ) A.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题是“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题
2 D.若命题 p: ? x0∈R,使得 x0 +x0+1<0,则﹁p: ? x∈R,都有 x2+x+1≥0

3.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( D ) A. y ? 2| x| C. y ? 2x ? 2? x B. y ? 1g ( x ? D. y ? 1g

x 2 ? 1)

1 x ?1
1 2

x 4.若一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1或x ? } ,则 f (10 ) ? 0 的解集为( D )

A. {x | x ? ?1或x ? lg 2} C. {x | x ? ? lg 2} 5.已知 a>l , f ( x) ? a x A. ?1 ? x ? 0
2

B. {x | ?1 ? x ? lg 2} D. {x | x ? ? lg 2}

?2 x

,则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是( A ) B. ?2 ? x ? 1 C . ?2 ? x ? 0 D. 0 ? x ? 1

1 6.若变量 x,y 满足| x |-ln =0,则 y 关于 x 的函数图象大致是( B ) y

7.△ABC 中,A=

? ,BC=3,则△ABC 的周长为( D ) 3 ? ? A.4 3 sin(B+ )+3 B.4 3 sin(B+ )+3 3 6 ? ? C.6sin(B+ )+3 D.6sin(B+ )+3 3 6

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8.方程 log 1 ( a ? 2 ) ? 2 ? x 有解,则 a 的最小值为( B )
2

x

A.2

B.1

C.

3 2

D.

1 2

9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ,当 x ? [1,3] 时, f ( x) ? 2? | x ? 2 | ,则( D ) A. f (sin

2? 2? ) ? f (cos ) 3 3

B. f (sin1) ? f (cos1) D. f (sin 2) ? f (cos 2)

C. f (tan 3) ? f (tan 6)

10.设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a>0,b>0,若 f ( x ) ? f ( ) 对一切 x∈R 恒成立,则 6 ① f(

?

11? 7? ? ) ? 0; ② | f ( ) |?| f ( ) |; ③f(x) 既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数 ; ④f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 12 10 5

[ k? ?

? 2? , k? ? ](k∈Z); ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交.以上结论正确的是( B ) 6 3
B.①③ C.①③④ D.①②④⑤

A.①②④

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已 知 命 题 “ 函 数 f ( x) ? log2 ( x2 ? ax ? 1) 定 义 域 为 R ” 是 假 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 【答案】 a ? ?2或a ? 2 . 【答案】 ? . 【答案】 4 ?? ?? ?? ? ? ? 12. 若 α∈ ? , ? ? ,且 sinα= ,则 sin ? ? ? ? +cos ? ? ? ? = 5 4? 4? ?2 ? ? ? 13.由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为

3 2 5

16 3

?log 2 x, x ? 0 1 14.已知函数 f ( x) ? ? x 若f (a) ? , 则 a= 2 ?2 , x ? 0.

. 【答案】—1 或 2

15.若不等式 x2 ?| x ? 1| ?a 的解集是区间 (?3,3) 的子集,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (??,5] 三、解答题:本大题共 6 个题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.



2 16.(本小题满分 12 分)已知 p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈R, x0 +2x0-m-1=0,且 p∧q 为真,

求实数 m 的取值范围. 解:2x>m(x2+1) 可化为 mx2-2x+m<0. 若 p:?x∈R, 2x>m(x2+1)为真, 则 mx2-2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立. 当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立; 当 m≠0 时,有 m<0,Δ= 4-4m2<0,∴m<-1. 若 q:?x0∈R,x2 0+2x0-m-1=0 为真, 2 则方程 x +2x-m-1=0 有实根,

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∴Δ=4+4(m+1)≥0,∴m≥-2. 又 p∧q 为真,故 p、q 均为真命题. ∴m<-1 且 m≥-2,∴-2≤m<-1. 17.(本小题满分 12 分)记函数 f ( x) ? lg( x 2 ? x ? 2) 的定义域为集合 A ,函数 g ( x ) ? 为集合 B . (Ⅰ)求 A

3 ? x 的定义域

B;

(Ⅱ)若 C ? x x ? 4 x ? 4 ? p ? 0, p ? 0 ,且 C ? ( A
2 2

?

?

B ) ,求实数 p 的取值范围.

解: (Ⅰ)依题意,得 A ? x x ? x ? 2 ? 0 ? x x ? ?1或x ? 2
2

?

? ?

?

B ? x 3 ? x ? 0 ? ?x ?3 ? x ? 3? ?A
(Ⅱ)

?

?

B ? ?x ?3 ? x ? ?1或2 ? x ? 3? p ? 0 ? C ? ?x ?2 ? p ? x ? ?2 ? p?

又C ? (A

B)

??2 ? p ? ?3 ?? ??2 ? p ? ?1
?
6

?0 ? p ? 1

18.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ) ? 2cos2 两交点的距离为 ? . (Ⅰ)求 ? 的值;

?x
2

? 1(? ? 0) ,直线 y ? 3 与函数 f ( x) 图像相邻

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若点 ( ,0) 是函数 y ? f ( x) 图像的一个对称中 心,且 b=3,求 ?ABC 面积的最大值. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin ? x cos

B 2

1 ? cos? x ?1 6 6 2 3 3 ? ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) 2 2 3 ? cos ? x sin ?2

?

?

f ( x) 的最大值为 3 ,? f ( x) 的最小正周期为 ? , ?? ? 2
(Ⅱ)由(1)知 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ,

?

3

3sin( B ? ) ? 0 ? B ? , 3 3

?

?

? cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? 9 1 ac ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 2ac ? 9 ac ? 9 ? ? , , 2ac 2ac 2

故 S?ABC ?

1 3 9 3 9 3 ac sin B ? ac ? , ?ABC 面积的最大值为 . 2 4 4 4

19.(本小题满分 12 分)如图,简单组合体 ABCDPE ,其底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PD ⊥ 平面

ABCD, EC ∥PD, 且 PD ? 2 EC ? 2.

P

E

D

C

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(Ⅰ)在线段 PB 上找一点 M ,使得 ME ⊥ 平面 PBD; (Ⅱ)求平面 PBE 与平面 PAB 的夹角.

解: (Ⅰ) M 为线段 PB 的中点. 连结 AC 与 BD ,交点为 F ,过 F 作底面 ABCD 的垂线交 PB 于 M ,由 CF ? 平面 PBD , 又四边形 FCEM 为矩形,? ME ⊥平面 PBD. (Ⅱ)如图建立空间坐标系 D ? xyz. 设 PA 中点为 N . 各点坐标如下:

D ? 0,0,0? ; A? 2,0,0? ; B ? 2,2,0? ; E ? 0, 2,1? ; P ? 0,0, 2? ; N ?1,0,1? . 由 DN ? PA, DN ? AB, 得 ND ? 平面 PAB.
所以平面 PAB 有法向量 DN ? n ? ?1,0,1? ; 设平面 PBE 法向量 m ? ? x, y, z ? , 因为 BE ? ? ?2,0,1? , BP ? ? ?2, ?2, 2? , 由?
N
D
P

z

E M

?m ? BE ? 0 ?

? 2x ? z ,取 m ? ?1,1, 2? ?? x ? y ? z m ? BP ? 0 ? ? ?
m?n

y
C

A

F
B

x 3 3 ? ? cos m, n ? ? ? . 所以平面 PBE 与平面 PAB 夹角为 . 2 6 2? 6 m n

b c d ? R) ,设直线 l1 , l2 分别是曲线 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ,,, y ? f ( x) 的两条不同的切线. b c d 的值; (Ⅰ)若函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 1 时 f ( x) 有极小值为 ?4 ,求 a ,,,
(Ⅱ) 若直线 l1 // l2 , 直线 l1 与曲线 y ? f ( x) 切于点 B 且交曲线 y ? f ( x) 于点 D , 直线 l2 和与曲线 y ? f ( x) B,C ,D xB , xC , xD , 求 切 于 点 C 且 交 曲 线 y ? f ( x) 于 点 A , 记 点 A , 的 横 坐 标 分 别 为 xA ,

( xA ? xB ) : ( xB ? xC :) ( xC ? x 的值. D) 解: (Ⅰ)∵ x ? R , f ( x) 为奇函数,
∴ f (0) ? d ? 0 , f (? x) ? ? f ( x) 即 ?ax3 ? bx 2 ? cx ? ?ax3 ? bx 2 ? cx ,∴b = 0, ∴ f ( x) ? ax3 ? cx , 则 f ?( x) ? 3ax2 ? c ,又当 x ? 1 时 f ( x) 有极小值为 ?4 ,

? f ?(1) ? 0 , ?3a ? c ? 0 , ∴? 即? ?a ? c ? ?4 , ? f (1) ? ?4 , ?a ? 2 , ∴? 即 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x , ?c ? ?6 ,
经检验 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x 满足题意; c ? ?6 , b ? d ? 0; ∴ a ? 2,

xC ? x2 ,由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c 及 l1 // l2 得 (Ⅱ)令 xB ? x1 ,
2 3ax12 ? 2bx1 ? c ? 3ax2 ? 2bx2 ? c ,

∴ 3a( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 2b( x2 ? x1 ) 由 x1 ? x2 得 x1 ? x2 ? ?

2b , 3a

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2b ; 3a 将 y ? (3ax12 ? 2bx1 ? c)( x ? x1 ) ? y1 与 y ? f ( x) 联立化简得
即 x2 ? ? x1 ?
3 ax3 ? bx2 ? (3ax12 ? 2bx1 ) x ? 2ax1 ? bx12 ? 0 , b b ∴ a( x ? x1 )2 ( x ? 2x1 ? ) ? 0 ,∴ xD ? ?2x1 ? , a a b b 同理 xA ? ?2 x2 ? ? 2 x1 ? , a 3a b 2b b ∴ xA ? xB ? x1 ? , xB ? xC ? 2x1 ? , xC ? xD ? x1 ? , 3a 3a 3a ∴ ( xA ? xB ) :( xB ? xC ) :( xC ? xD ) ? 1: 2 :1

21.(本小题满分 14 分)巳知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ln x , g ( x) ? ln 2 x ? 2a 2 ,其中 x ? 0, a ? R . (Ⅰ)若 f ( x) 在区间 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; 1 (Ⅱ)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证: F ( x) ? . 2 解: (Ⅰ)∵ f ( x) 在区间 (2, ??) 上单调递增, ∴ f ?( x ) ? ∴a ?

2 x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 在区间 (2, ??) 上恒成立, x

x2 对区间 (2, ??) 恒成立, x ?1 x2 2 x( x ? 1) ? x 2 x 2 ? 2 x 令 M ( x) ? ,则 M ?( x ) ? ? x ?1 ( x ? 1)2 ( x ? 1)2
当 x ? (2, ??) 时, M ?( x ) ? 0 ,有 M ( x ) ? ∴ a 的取值范围为 ( ??, ] .

x2 4 ? M (2) ? , x ?1 3

4 3 2 2 2 (Ⅱ)解法 1: F ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x ? ln x ? 2a

x 2 ? ln 2 x ? 2[a ? ( x ? ln x )a ? ], 2 x 2 ? ln 2 x 2 令 P(a ) ? a ? ( x ? ln x )a ? , 2 x ? ln x 2 x ? ln x 2 x 2 ? ln 2 x ) ?( ) ? 则 P( a ) ? ( a ? 2 2 2 2 x ? ln x 2 ( x ? ln x ) ( x ? ln x ) 2 ? (a ? ) ? ? 2 4 4 1 x ?1 令 Q( x) ? x ? ln x ,则 Q ?( x ) ? 1 ? ? , x x
2

显然 Q ( x ) 在 (0,1] 上单调递减,在 [1, ??) 上单调递增,则 Q( x)min ? Q(1) ? 1 ,则 P( a ) ?

1 ,故 4

1 1 ? . 4 2 2 2 2 2 2 解法 2: F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x ? ln x ? 2a ? ( x ? a) ? (ln x ? a) 则 F ( x ) 表示 y ? ln x 上一点 ( x,ln x) 与直线 y ? x 上一点 ( a , a ) 距离的平方. F ( x) ? 2 ?

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1 1 ,让 y ? ? ? 1,解得 x0 ? 1 , x x0 ∴直线 y ? x ? 1 与 y ? ln x 的图象相切于点 (1,0) , 1 (另解:令 N ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 N ?( x ) ? 1 ? , x 可得 y ? N ( x ) 在 (0,1] 上单调递减,在 [1, ??) 上单调递增, 故 N ( x)min ? N (1) ? 0 ,则 x ? x ? 1 ? ln x , 直线 y ? x ? 1 与 y ? ln x 的图象相切于点 (1,0) ) ,
由 y ? ln x 得 y ? ? 点(1,0)到直线 y ? x 的距离为

2 2 2 1 2 2 ,则 F ( x ) ? ( x ? a ) ? (ln x ? a ) ? ( ) ? . 2 2 2


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