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新课标理科数学第三章第三节三角函数的图象与性质


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自 主 落 实 · 固 基 础

第三节

三角函数的图象与性质

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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1.周期函数和最小正周期 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定 f(x+T)=f(x) 义域内的每一个值时,都有______________,则称f(x)为周

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最小 期函数,T为它的一个周期.若在所有周期中,有一个____
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最小正周期 的正数,则这个最小的正数叫做f(x)的________________.
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2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
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函数 图象

y=sin x

y=cos x

y=tan x

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定义域

______ x∈R

x∈R ______

π x∈R 且 x≠ 2 _____________ +kπ ,k∈Z _____________
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值域

[-1,1] _________

[-1,1] ________

R ___





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单 调 性

π [2kπ - , 递增区间是 递增区间是 2 [2kπ -π , π π ___________ 2kπ ] 2kπ + ] (k∈Z), (kπ - , _________ 2 2 (k∈Z),

递增区间是

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π π 递减区间是 kπ + ) [2kπ + , [2kπ,2kπ ____________ 2 2 _____________ +π] ______ (k∈Z) (k∈Z) 3π 2kπ + ] 2 ___________(k∈Z)

递减区间是

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最值 奇偶性 对称 中心

ymax=1; ymin=-1 奇函数

ymax=1; -1 ymin=___ 偶函数

无最大值 和最小值 奇函数

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对 称 性

π (kπ + , 2 (kπ ,0), k∈Z 0), k∈Z _________ x=kπ + π ,k∈Z 2


kπ ( ,0), 2 k∈Z ________
无对称轴 π

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对称 轴

x=kπ, k∈Z ________


最小正周期

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1.是否每一个周期函数都有最小正周期? 【提示】 不一定.如常数函数f(x)=a,每一个非零数

都是它的周期.
2.正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与 函数图象的关键点是什么关系?

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【提示】 它们的零点.

y=sin x与y=cos x的对称轴方程中的x都是

它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是

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(

1.(人教A版教材习题改编)函数y=tan 3x的定义域为 ) 3 A.{x|x≠ π +3kπ ,k∈Z} 2 π B.{x|x≠ +kπ ,k∈Z} 6

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π C.{x|x≠- +kπ ,k∈Z} 6 π kπ D.{x|x≠ + ,k∈Z} 6 3
菜 单

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π π kπ 【解析】 由3x≠ +kπ,k∈Z得x≠ + , 2 6 3 k∈Z,.

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【答案】
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D
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5π 2.函数f(x)=2cos(x+ )是( 2

)

A.最小正周期为2π 的奇函数 B.最小正周期为2π 的偶函数 C.最小正周期为2π 的非奇非偶函数 D.最小正周期为π 的偶函数

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π 5 【解析】 f(x)=2cos(x+ π)=2cos(x+ )=-2sin 2 2 x,故f(x)是最小正周期为2π的奇函数.
【答案】

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A





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π 3.(2012· 福建高考)函数f(x)=sin(x- )的图象的一条 4 对称轴是( π A.x= 4 π C.x=- 4 ) π B.x= 2 π D.x=- 2

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【解析】 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点, π π 3π 故令x- =kπ+ ,k∈Z,∴x=kπ+ ,k∈Z. 4 2 4 π 取k=-1,则x=- . 4

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【答案】
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C

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π 4.函数y=2-3cos(x+ )的最大值为________,此时 4 x=________.

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π 【解析】 当cos(x+ )=-1时,函数有最大值5, 4 π 此时,x+ =π+2kπ,k∈Z, 4 3 即x= π+2kπ,k∈Z. 4

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【答案】

3 5 π +2kπ ,k∈Z 4

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πx π (1)(2012· 山东高考)函数y=2sin( - )(0≤x≤9)的 6 3 最大值与最小值之和为( ) A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3 1+log1x 2 +tan(x+ π 4 )的定义域是

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(2)f(x)= ________.

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【思路点拨】

πx π (1)先确定 - 的范围,再数形结合 6 3

求最值; (2)转化为关于x的不等式组求解.

【尝试解答】 7π , 6

π π π (1)∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ 3 6 3

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π π 3 ∴sin( x- )∈[- ,1]. 6 3 2 ∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3.

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?1+log1x≥0, ? 2 (2)依题意? ?x+π≠kπ+π(k∈Z). 4 2 ? π ∴0<x≤2,且x≠kπ+ (k∈Z), 4 π ∴函数f(x)的定义域是{x|0<x≤2,且x≠ }. 4
π 【答案】 (1)A (2){x|0<x≤2,且x≠ } 4

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1.求三角函数的定义域实际上是解三角不等式,常借 助三角函数线或三角函数图象来求解. 2.求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法. (1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx

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+φ)+k的形式,再求最值(值域);
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(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x= t,化为关于t的二次函数求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数, 可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求解.
菜 单

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(1)函数y= 2sin x-1的定义域为________. π 7π (2)当x∈[ , ]时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小 6 6 值是________,最大值是________.

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1 【解析】 (1)由2sin x-1≥0得sin x≥ , 2 π 5π ∴2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, 6 6 π 5 故函数的定义域为[2kπ+ ,2kπ+ π](k∈Z). 6 6 π 7 1 (2)由 ≤x≤ π,知- ≤sin x≤1. 6 6 2
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又y=3-sin x-2cos2x=2sin2x-sin x+1 12 7 =2(sin x- ) + , 4 8 1 7 ∴当sin x= 时,ymin= , 4 8 1 当sin x=1或- 时,ymax=2. 2
π 5π 【答案】 (1)[2kπ + ,2kπ + ](k∈Z) 6 6 7 (2) 8 2

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(sin x-cos x)sin 2x (2012· 北京高考)已知函数f(x)= . sin x (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间.
【思路点拨】 (1)求定义域时考虑分母不为零,然后

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对f(x)解析式进行化简,转化成正弦型函数的形式,再求周
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期; (2)求单调递减区间时利用整体代换,把ωx+φ当作一个 整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间,不要忽略定义 域.
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【尝试解答】 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z), 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. (sin x-cos x)sin 2x 因为f(x)= sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π = 2sin(2x- )-1, 4 2π 所以f(x)的最小正周期T= =π. 2

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π π π (2)由2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 π 3π 得kπ- ≤x≤kπ+ ,x≠kπ(k∈Z). 8 8 π 所以f(x)递增区间为[kπ- ,kπ)和(kπ,kπ+ 8 3π ](k∈Z). 8

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1.求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先

化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
2.求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω >0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不

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等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为 正数,防止把单调性弄错.

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π 已知函数y=sin( -2x). 3 (1)求函数的周期; (2)求函数在[-π ,0]上的单调递减区间.

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π π 【解】 由y=sin( -2x)=-sin(2x- ). 3 3 2π 2π (1)周期T= = =π. ω 2 π π π (2)令2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12
菜 单

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π π 5π 则y=sin( -2x)在[kπ- ,kπ+ ](k∈Z)上递 3 12 12 减. 又-π≤x≤0, π 7 ∴- ≤x≤0或-π≤x≤- π 12 12 7 故f(x)在[-π,0]上的单调减区间是[-π,- π]和 12 π [- ,0]. 12

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π 设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),给出以 2 下四个论断: ①它的最小正周期为π ; π ②它的图象关于直线x= 成轴对称图形; 12 π ③它的图象关于点( ,0)成中心对称图形; 3 π ④在区间[- ,0)上是增函数. 6 以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题________(用序号表示).
菜 单

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【思路点拨】

本题是一个开放性题目,依据正弦函数

的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断.
2π π 若①、②成立,则ω= =2;令2· 12 π

【尝试解答】

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π π π +φ=kπ+ ,k∈Z,且|φ|< ,故k=0,∴φ= .此时 2 2 3 π π π f(x)=sin(2x+ ),当x= 时,sin(2x+ )=sin π=0, 3 3 3

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π 5π π ∴f(x)的图象关于( ,0)成中心对称;又f(x)在[- , ] 3 12 12 π 上是增函数,∴在[- ,0)上也是增函数,因此①②?③ 6 ④,用类似的分析可得①③?②④.

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【答案】 ①②?③④或①③?②④
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1.判断三角函数的奇偶性和周期性时,一般先将三角 函数式化为一个角的一种三角函数,再根据函数奇偶性的概

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念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.
2.求三角函数的周期主要有三种方法:(1)周期定义;
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(2)利用正(余)弦型函数周期公式;(3)借助函数的图象.

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(

π 已知函数f(x)=sin(π x- )-1,则下列说法正确的是 2 ) A.f(x)是周期为1的奇函数 B.f(x)是周期为2的偶函数 C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数
π 【解析】 f(x)=sin(πx- )-1=-cos πx-1, 2 2π 因此函数f(x)是偶函数,周期T= =2. π

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【答案】
菜 单

B

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1.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ= +kπ(k∈Z); 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). 2.对称性:正、余弦函数的图象既是轴对称图形,又 是中心对称图形且最值点在对称轴上,正切函数的图象只 是中心对称图形.

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求三角函数值域(最值)的常用方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; (2)将函数变形化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,逐步分 析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;

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(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函
数在区间上的值域(最值)问题.

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从近两年高考试题看,三角函数的周期性、奇偶性、单
调性、值域等是高考的热点内容,常与三角变换等知识交

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汇,在考查三角函数图象与性质的同时,注重考查三角变换
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的技能,及数形结合、转化与化归等数学思想.

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创新探究之四
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三角函数单调性的创新应用
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π (2012· 课标全国卷)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+ )在 4 π ( ,π )上单调递减,则ω的取值范围是( 2 1 5 A.[ , ] 2 4 1 C.(0, ] 2 1 3 B.[ , ] 2 4 D.(0,2] )

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【解析】 π , 4

π π π π 由 <x<π得 ω+ <ωx+ <πω+ 2 2 4 4

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π π π π 3π 由题意知( ω + ,πω+ )?[ , ], 2 4 4 2 2 π π π ∴ ω+ ≥ , 2 4 2 π 3π 1 5 且πω + ≤ ,∴ ≤ω≤ . 4 2 2 4

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【答案】

A





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创新点拨:(1)题目背景创新,已知三角函数在给定区
间上的单调性,求参数的取值范围,考查了学生的逆向思 维. (2)解法创新,本题有多种解法,但每种解法都是建立

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在对三角函数的单调性深刻理解基础之上的.

应对措施:(1)此类题目不管背景如何新颖,都是考查
对基础知识的理解与掌握,求解时可从基础知识、基本方法 入手.
菜 单

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π (2)解答本题时,可根据x的范围求出ωx+ 的范围, 4 π 3π 再与单调减区间[ , ]相比较求解;也可先求f(x)的单调 2 2 π 减区间,然后根据( ,π)与单调减区间的关系求解. 2

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1.(2013· 广州模拟)已知函数f(x)=2sin ω x在区间[- π π , ]上的最小值为-2,则ω的取值范围是( ) 3 4 9 A.(-∞,- ]∪[6,+∞) 2 9 3 B.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 C.(-∞,-2]∪[6,+∞) 3 D.(-∞,-2]∪[ ,+∞) 2

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π π π 【解析】 当ω>0时,由- ≤x≤ 得- ω≤ωx 3 4 3 π π π 3 ≤ ω,由题意知,- ω ≤- ,∴ω≥ , 4 3 2 2 π π π π 当ω<0时,由- ≤x≤ 得 ω ≤ωx≤- ω, 3 4 4 3 π π 由题意知, ω≤- ,∴ω≤-2, 4 2 3 综上知ω∈(-∞,-2]∪[ ,+∞). 2

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【答案】
菜 单

D

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π 2.(2012· 陕西高考)函数f(x)=Asin(ωx- )+1(A>0, 6 π ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数f(x)的解析式; π α (2)设α∈(0, ),f( )=2,求α的值. 2 2

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【解】 =2.

(1)∵函数f(x)的最大值为3,∴A+1=3,即A
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π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期T=π,∴ω=2,





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π ∴函数f(x)的解析式为y=2sin(2x- )+1. 6 α π (2)由f( )=2sin(α- )+1=2, 2 6 π 1 得sin(α- )= . 6 2 π ∵0<α < , 2 π π π ∴- <α - < , 6 6 3 π π π ∴α- = ,∴α= . 6 6 3

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课后作业(二十)

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