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2015年11月北京汇文中学高三期中考试理科试题


北京汇文中学 2015-2016 学年度 第一学期期中考试 高三(理科)数学 一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
1. 复数 i (3 ? 4i) 的虚部为( ) (A)3 (B) 3i (C)4 (D) 4i ( )

2 已知命题 p : ?x ? R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是 A.命题 ?p : ?

x ? R,x ≤ 2 C.命题 ?p : ?x ? R,x ≤ ?2 B.命题 ?p : ?x ? R,x ? 2 D.命题 ?p : ?x ? R,x ? ?2

3. 下列函数中, 对于任意 x ? R , 同时满足条件 f ( x) ? f (? x) 和 f ( x ? π) ? f ( x) 的函数 ( (A) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? cos x (B) f ( x) ? sin x cos x (D) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x
开始 输入 a, b 是



4.执行如图所示的程序框图,如果输入 a ? 2, b ? 2 , 那么输出的 a 值为( (A) 4 (B) 16 (C) 256 (D) log3 16 5. 满 足 a, b ? ??1, 0,1, 2? , 且 关 于 x 的 方 程 )

log3 a ? 4


输出 a

a?a

b

结束

ax 2 ? 2 x ? b ? 0 有实数解的有序数对 (a, b) 的个数为( )
A.14 B.13 C.12 D.10

高三数学理科第 1 页

6 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( (A) 2 (C) 4 (B)


2 2

4 3

(D) 5

3

1

正(主)视图
1
5

侧(左)视图 俯视图

7. 已知 a, b ? R .下列四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是( (A) a ? b ? 1 (C) | a | ? | b | 8.点 P( x, y) 是曲线 C : y = (B) a ? b ? 1 (D) 2 ? 2
a b



1 ( x > 0) 上的一个动点, 曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 A, B x

两点,点 O 是坐标原点. 给出三个命题:① PA = PB ;② ?OAB 的周长有最小值 4 + 2 2 ;③曲线 C 上 存在两点 M , N ,使得 ?OMN 为等腰直角三角形.其中真命题的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 ( )

二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. 若向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为______.

10.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c .

a ? 3,b ? 2, A ?

? 6 ,则 tan B ?
.

.

11.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 , 2, 3, ?) ,则此数列的通项公式为

12. 已知 ? 为锐角, cos ? ?

5 ? ,则 tan( ? ? ) ? 5 4

13. 不等式组

? x ? 1, ? ? x ? y ? 4 ? 0, ?kx ? y ? 0 ?

表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为_________.

14.设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ,其中 Q, P 分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性 大于 1(其中

EQ EP

EQ Q' =P , Q ' 是 Q 的导数) ,则商品价格 P 的取值范围是 EP Q
高三数学理科第 2 页

.

北京汇文中学 2015-2016 学年度 第一学期期中考试答题纸 高三(理科)数学
班级__________姓名______________学号__________成绩_______________ 一、选择题:

题号 选项
二、填空题:

















9.______________ 12._____________

10.______________ 13.______________

11.______________ 14.______________

三、解答题,共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

高三数学理科第 3 页

16. 如图, PA ? 平面 ABC , AB ? BC , AB ? PA ? 2 BC ? 2 , M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证: AM ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC ,并求

PD 的值. PC
C

A M P

D B

高三数学理科第 4 页

17.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 2k ln x . (Ⅰ)k=2 时,求函数 f(x)的增区间; (Ⅱ)当 k<0 时,求函数 g(x)= f ?( x) 在区间(0,2]上的最小值.

高三数学理科第 5 页

18.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2an ? Sn ? 2n ? 1 (n ? N? ) . (Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列; (Ⅲ)求数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn .

高三数学理科第 6 页

19.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ,其中 a ? R . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 ,求 a 的取值范围.

高三数学理科第 7 页

20. 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , ???, an 为 n(n =2, 3, 4, … ,)阶“期待数列”: ① ②

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 0 ;

a1 ? a2 ? a3 ??? an ? 1.

(1)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”; (2)若某 2015 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (3)记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3,?, n) ,试证: S k ?

1 . 2

高三数学理科第 8 页

题号 答案

1 A

2 B

3 D

4 C

5 B

6 C

7 A

8 C

?
9. 12

1 2 ;

10. 13.1

2 ; 4

11. 2n-11;

14 (10, 20)

15. 解: (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A.

?2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

……………………….2 分 ……………………….4 分 …………………….6 分

?sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,?tan A ? 3 ,

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60°.
2 2 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,
?

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),………….10 分
? S?ABC ? 1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2
所以 PA ? BC . 因为 BC ? AB , PA ? AB ? A , 所以 BC ? 平面 PAB .又 AM ? 平面 PAB , 所以 AM ? BC . 因为 PA ? AB , M 为 PB 的中点, 所以 AM ? PB . 又 PB ? BC ? B , 所以 AM ? 平面 PBC .???????????5 分 …………………….13 分

16. 解: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,

高三数学理科第 9 页

(Ⅱ)如图,在平面 ABC 内,作 AZ ∥ BC ,则 AP, AB, AZ 两两互相垂直, 建立空间直角坐标系 A ? xyz .

z
C

D A B y
M

P

x
则 A(0,0,0), P(2,0,0), B(0, 2,0), C (0, 2,1) , M (1,1, 0) .

??? ? ??? ? ???? ? AP ? (2,0,0) , AC ? (0, 2,1) , AM ? (1,1,0) .
设平面 APC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则

??? ? ? n ? AP ? 0, ? x ? 0, ? 即? ? ???? n ? AC ? 0, ?2 y ? z ? 0. ? ?
令 y ? 1 ,则 z ? ?2 . 所以 n ? (0,1, ?2) . 由(Ⅰ)可知 AM ? (1,1,0) 为平面 BPC 的法向量, 设 n, AM 的夹角为 ? ,则 cos ? ? 因为二面角 A ? PC ? B 为锐角,

???? ?

???? ?

10 . 10

10 .??????????10 分 10 ??? ? ??? ? (Ⅲ)设 D (u, v, w) 是线段 PC 上一点,且 PD ? ? PC(0 ? ? ? 1) .
所以二面角 A ? PC ? B 的余弦值为 即 (u ? 2, v, w) ? ? (?2, 2,1) . 所以 u ? 2 ? 2? , v ? 2? , w ? ? . 所以 BD ? (2 ? 2?, 2? ? 2, ? ) . 由 BD ? AC ? 0 ,得 ? ? 因为

??? ?

??? ? ??? ?

4 . 5

4 ? [0,1] ,所以在线段 PC 上存在点 D ,使得 BD ? AC . 5
高三数学理科第 10 页

此时,

PD 4 ?? ? . PC 5

????????????14 分

17. 解: (1)k=2, f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 4ln x .则 f ?( x) = 2 x ? 2 ?

4 . x

2 (此处用“≥”同样给分) ? ( x ? 1)( x ? 2) >0, x 注意到 x>0,故 x>1,于是函数的增区间为 (1, ??) . (写为 [1, ??) 同样给分)6 分
(2)当 k<0 时,g(x)= f ?( x) = 2 x ? 2 ?

2k ?k .g(x)= 2( x ? ) ? 2 ≥ 4 ?k ? 2 9 分 x x

当且仅当 x= ?k 时,上述“≥”中取“=” . ①若 ?k ∈ (0, 2] ,即当 k∈ [?4,0) 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 ?k ? 2 ;? ②若 k<-4,则 g ?( x) ? 2(1 ?

k ) 在 (0, 2] 上为负恒成立, x2

故 g(x)在区间 (0, 2] 上为减函数, 于是 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 g(2)=6-k. ?????????13 分 综上所述,当 k∈ [?4,0) 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 ?k ? 2 ; 当 k<-4 时,函数 g(x)在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k. ?????????15 分 18.

(Ⅲ)由(Ⅱ) 得: an ? 2 ? 5 ? 2n?1 ,即 an ? 5 ? 2n?1 ? 2 (n ? N ) .
?

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

则 nan ? 5n ? 2n?1 ? 2n (n ? N ) .
?

?????8 分

高三数学理科第 11 页

n ?1 设数列 5n ? 2 的前 n 项和为 P n,

?

?

0 1 2 n ?2 则P ? 5? n ? 2n?1 , n ? 5 ?1? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3? 2 ? ... ? 5 ? (n ? 1) ? 2 1 2 3 n?1 所以 2P ? 5n ? 2n , n ? 5 ?1? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? 2 ? ... ? 5(n ?1) ? 2 1 2 n?1 所以 ?P ) ? 5n ? 2n , n ? 5(1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
? n 即P n ? (5n ? 5) ? 2 ? 5 (n ? N ) .

?????11 分
n

所以数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn = (5n ? 5) ? 2 ? 5 ? 2 ? 整理得, Tn ? (5n ? 5) ? 2n ? n2 ? n ? 5 (n ? N ) . 19. (Ⅰ)解:由 f ( x) ? ln x ? 所以 f ?(1) ? 3 , 又因为 f (1) ? ?2 ,
?

n(n ? 1) , 2
?????13 分 ?????? 2 分

1 2 2 ,得 f ?( x) ? ? 2 , x x x

所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 . (Ⅱ)解:由 f ( x) ? ? x ? 2 ,得 ln x ? 即 a ? x ln x ? x 2 ? 2 x . 设函数 g ( x) ? x ln x ? x2 ? 2 x , 则 g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 , 因为 x ? (1, ??) , 所以 ln x ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 ? 0 , 故函数 g ( x) 在 x ? (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? ?1 . 因为对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 成立, 所以对于任意 x ? (1, ??) ,都有 a ? g ( x) 成立. 所以 a≤ ? 1 .
高三数学理科第 12 页

?????? 4 分

a ? ?x ? 2 , x
?????? 6 分

?????? 8 分

?????? 10 分

?????? 11 分

?????? 13 分

20. 解: (Ⅰ)数列 ?

1 1 , 0, 为三阶期待数列 2 2

????????????????1 分

数列 ?

3 1 1 3 , ? , , 为四阶期待数列, 8 8 8 8
2013(a1 ? a2013 ) ? 0, 2

???????????????2 分

(Ⅱ)设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d , 因为 a1 ? a2

? a3 ? ? ? a2013 ? 0 ,?

? a1 ? a2013 ? 0 ,即 a1007 ? 0 ,

????????????????3 分

? a1008 ? d ,
当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾, 当 d>0 时,据期待数列的条件①②可得 a1008

? a1009 ? ? ? a2013 ?

1 , 2

? 1006d ?

1006 ?1005 1 1 d ? , 即d ? , 2 2 1006 ?1007

? an ? a1007 ? (n ? 1007)d ?
当 d<0 时,同理可得 an ? 【注】只写一种的扣一分; (Ⅲ)当 k=n 时,显然

n ? 1007 . ? n ? N *且n ? 2013? , 1006 ?1007

? n ? 1007 . ? n ? N *且n ? 2013? .?????????????8 分 1006 ? 1007
n 的范围未写的扣一分

Sn ? 0 ?

1 成立; 2

??????????????????????10 分

当 k<n 时,根据条件①得

Sk ? a1 ? a2 ? ?? ak ? ?(ak ?1 ? ak ?2 ????? an ) ,
即 S k ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ?2 ? ? ? an ,

? 2 Sk ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? an ? 1,

Sk ?

1 (k ? 1, 2,3,? , n). 2

???????????????????????????14 分

高三数学理科第 13 页


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