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北京四中2013届高三上学期期中测验数学(文)试题


北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中数学试题
试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作 答无效。 第一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 40 分, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项.) 1. 已知集合 A. 【答案】B B. C. , D. ,则 ( )

( ? ? { 【 解 析 】 P ? { x x x 3 )? 0 } x P ? Q? { x0 ? x? 2 } ? ( 0 ,, 选)B. 2
2. “ ”是“ ”的( )

? x ? , Q ={x x ? 2} ? {x ?2 ? x ? 2} , 所 以 0 3}

A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 【答案】B 【 解 析】 由 cos ? ?

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

1 ? ? , 得 ? ? ? 2k? 或 ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 所以 “ 2 3 3

”是



”的充分不必要条件,选 B,

3.

是等差数列 B. 18

的前 项和,若 C. 9 D. 12

,则





A. 15 【答案】D

【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 S5 ?

5(a1 ? a5 ) 5 ? 2a3 ? ? 5a3 ? 20 , 所 以 a3 ? 4 , 所 以 2 2

a2 ? a3 ? a4 ? a3 ? 2 3 1 ,选 D.
4. 设 ①若 为两个平面, ;②若 为两条直线,且 . 那么( ) ,有如下两个命题:

A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 【答案】D

【解析】若 ? / / ? ,则 l / / m 或 l , m 异面,所以①错误。同理②也错误,所以选 D. 5. 若 是 所在平面内的一点,且满足 ( BO ? OC)? OC ? OA) ? 0 ,则 (

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?



定是( ) A. 等边三角形 【答案】C

B. 等腰直角三角形

C. 直角三角形

D. 斜三角形

【解析】由 ( BO ? OC)? OC ? OA) ? 0 得 BC ?AC ? 0 ,即 BC ? AC ,所以 ?C ? 90? ,所 ( 以三角形为直角三角形,选 C. 6.将函数 的图象按向量 平移后得到图象对应的函数解析式是( )

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

A. C. 【答案】D 【解析】图象按向量

B. D.

平移,相当于先向右平移

? 个单位,然后在向上平移 1 个单位。 2

图象向右平移

? ? 个单位,得到 y ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ? ) ? ? sin 2 x ,然后向上平移 1 2 2

个单位得到 y ? ? sin 2 x ? 1 ,选 D. 7.已知函数 的部分图象如图所示,则

函数

的解析式为( )

A.

B.

C. 【答案】B 【解析】由图象可知 A ? 2,

D.

T 3? ? 2? ? ? (? ) ? 2? ,即 T ? 4? 。又 T ? ? 4? ,所以 2 2 2 ?

??

1 1 ? 1 ? ? ) 2 , 所 以 函 数 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) 。 又 f (? ) ? 2 s i n [ ? ( ? ? ? ) ] , 即 2 2 2 2 2 ? ? ? 3? s i n? ?? )? 1 即 ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 即 ? ? ( ? 2 k? , k ? Z , 因 为 , 4 4 2 4 ?? ? ? ? ? ,所以 ? ? 3? ,所以函数为 f ( x) ? 2sin( 1 x ? 3? ) ,选 B. 4 2 4
8. 已知函数 ①若 ② ,则 的最小正周期是 ; ,给出下列四个说法: ;



在区间

上是增函数;



的图象关于直线

对称. ) C.3

其中正确说法的个数为( A.1 B.2 【答案】B

D.4

【解析】 函数 f ( x) ? sin x cos x ?

1 1 1 sin 2 x , f ( x1 )= ? f ( x2 ) , 若 即 sin 2 x1 = ? sin 2 x2 , 2 2 2


所 以 sin 2 x1 = ? sin 2 x2 , 即 sin 2x1 =sin(?2 x2 ) , 所 以 2 x1 = ? 2 x2 ? 2k?

2 x1 =? ? 2 x2 ? 2k? , k ? Z ,所以①错误; ? ? 2, 所以周期 T ?
?

2?

?

4 4 2 3? 1 3 ? f( )? s i n ?2 ( 4 2 4

?x?

?

时, ?

?

? 2x ? 1 )= 2

?
2

?

? ? ,所以②错误;当
3? 时, 4

,函数递增,所以③正确;当 x?

? 3

1 s i n? 为最小值,所以④正确,所以正确的有 2 个,选 = 2 2

B. 第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 9. 函数 【答案】 (??, ?3) 【解析】令 t ? x 2 ? 2 x ? 3 ,则函数 的递增区间是______.

y ? log 1 t 在定义域上单调递减,由
2

t ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0

得, x ? 1 或 x ? ?3 ,当 x ? ?3 时,t ? x 2 ? 2 x ? 3 单调递减,根据复合函数的单调性可知, 此时函数 单调递增,所以函数的递增区间为 (??, ?3) 。

10. 向量 , 满足 (a ? b)? a ? b) ? ?4 , 且 (2 【答案】 120?

? ?

? ?



, 则 , 夹角的等于______.

【 解 析 】 由 (a ? b)? a ? b) ? ?4 得 2 a ? a? ? b ? ?4 , 即 a? ? ?4 , 所 以 b (2 b

? ?

? ?

?2

? ?

?2

? ?

? ? ??? a? b ?4 1 ??? cos ? a,b ?? ? ? ? ? ? ,所以 ? a,b ?? 120? 。 2 a b 2? 4
11.已知函数 【答案】2 【解析】 的最小正周期是 ,则正数 ______.

( 因 为 y ? s i n? x ?

?
6

) 的周期为 T ?

2?

?

,而绝对值的周期减半,即

? ? ? ? y ? sin(? x ? ) 的周期为 T ? ,由 T ? ? ,得 ? ? 2 。 6 ? ? 2
12. 湖面上漂着一个小球, 湖水结冰后将球取出, 冰面上留下了一个直径为 12 cm, 2 cm 深 的空穴,则该球的半径是______cm,表面积是______cm?. 【答案】10,400π 【解析】设球的半径为 r,画出球与水面的位置关系图,如图:

由勾股定理可知,

,解得 r =10.所以表

面积为 4? r 2 ? 4? ?100 ? 400? 。 13.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是______.

【答案】

【解析】由三视图可知,该几何体为直三棱柱,所以体积为 14. 如上页图,一条螺旋线是用以下方法画成: 分别以 螺旋线旋转一圈.然后又以 为圆心, 为圆心

1 1 ? a ? a ? a ? a3 。 2 2
称为

是边长为 1 的正三角形,曲线 为半径画的弧,曲线

为半径画弧?,这样画到第

圈,则所得整条螺

旋线的长度

______.(用 表示即可)

【答案】 n(3n ? 1)? 【解析】设第 n 段弧的弧长为 ,由弧长公式,可得

?

数列

是以

为首项、

为公差的等差数列.画到第 n 圈,有 3n 段弧,

故所得整条螺旋线的长度

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.) 15.(本小题满分 13 分) 在 中, ; ,求 的面积. . , .

(Ⅰ)求角 (Ⅱ)设

16.(本小题 13 分) 已知函数 (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 函数图象的对称轴方程; 的单调增区间;

(Ⅲ)当

时,求函数

的最大值,最小值.

17.(本小题满分 13 分) 如图,正三棱柱 中,D 是 BC 的中点,

(Ⅰ)求证:



(Ⅱ)求证: (Ⅲ)求三棱锥 18.(本小题满分 13 分) 已知各项都不相等的等差数列 (Ⅰ)求数列 的通项公式

; 的体积.

的前六项和为 60,且 ;

的等比中项.

(Ⅱ)若数列

的前 项和

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若当 恒成立,求 的取值范围; 处取得极值.

(Ⅲ)对任意的 如果不成立, 请说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 设数列 的首项 R),且

是否恒成立?如果成立,给出证明,



(Ⅰ)若 (Ⅱ)若 (Ⅲ)若 ,证明:

; ; ,均有 成立.

,求所有的正整数 ,使得对于任意

【参考答案】
第一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 2. B 3. D 4. D 5. C 6. D 7. B 8. B 第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 9. 10. 120? 11. 2 12. 10,400π 13. 14. n (3n+1)π 1. B

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由 , , 得 ,

所以

? 3分

6分







? 7分

(Ⅱ)解:据正弦定理得

,?10 分

所以

的面积为

??13 分

16. (本小题 13 分) 解: (I) . ?3 分



.



函数图象的对称轴方程是

??5 分

(II)



的单调增区间为

?8 分

(III)

,

?? 10 分

.

??

11 分



时,函数

,最小值为

.

13 分 17.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ)证明:∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱,

∴BB1⊥平面 ABC, ∴BD 是 B1D 在平面 ABC 上的射影 在正△ABC 中,∵D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BD, 根据三垂线定理得,AD⊥B1D (Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ?????????? 7 分 ∵DE 平面 AB1D,A1C 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. ????????9 分 (Ⅲ) 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,则 ????1 分 又 解得 . ????2 分 ????4 分 ????5 分 ??13 分

????6 分

(Ⅱ)由

????9 分

????13 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵f(x)=x -
2 3

x2+bx+c, ??2 分

∴f′(x)=3x -x+b. ∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=3-1+b=0. ∴b=-2. 经检验,符合题意. (Ⅱ)f(x)=x -
2 3

??3 分 ??4 分

x2-2x+c. ?5 分 1 + 0 - 0 (1,2) + 2

∵f′(x)=3x -x-2=(3x+2)(x-1),

x f′(x) f(x)
??7 分 ∴当 x=- 时,f(x)有极大值 +c.

又 ∴x∈[-1,2]时,f(x)最大值为 f(2)=2+c. ??8 分 2 ∴c >2+c. ∴c<-1 或 c>2. ????10 分 (Ⅲ)对任意的 恒成立.

由(Ⅱ)可知,当 x=1 时,f(x)有极小值

.



?12 分

∴x∈[-1,2]时,f(x)最小值为

.

,故结论成立. ??14 分 20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 所以 a2=-a1+4=-a+4,且 a2∈(3,4) 所以 a3=a2-3=-a+1,且 a3∈(0,1) 所以 a4=-a3+4=a+3,且 a4∈(3,4) 所以 a5=a4-3=a ??4 分 (Ⅱ)证明:当 所以, ②当 所以, 综上, (Ⅲ)解:①若 因此,当 k=4m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, ②若 成立 ?10 分 ??8 分 ??6 分

因此,当 k=2m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, ③若 因此 k=m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, 综上,若 0<a<1,则 k=4m; 若 a=2,则 k=m. m∈N* ,则 k=2m; ??14 分 , 成立

成立 ?12 分

??13 分


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