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安徽省安庆一中、安师大附中、马鞍山二中2014届高三上学期12月联考 数学理试题


三校 2014 届十二月联考
数学试卷(理科) 试题
满分 150 分,考试时间为 120 分钟 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d . 则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 (A)充分而不必要条件

(C)充要条件
2



).

(B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 w ( (D)2 ). (C)0

(2)已知 f ( x) ? x ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(1) 等于 (A)4 (B)-2

(3)一支田径队有男运动员 56 人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一 个容量为28的样本,则样本中男运动员的人数为 (A)16 (B)14 (C)12 (D)10 ( ). ( ) .

(4)已知 {a n } 是等差数列,若 a1 ? a9 ? 10, a4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 (A) ?1 (B) 1
x

(C) 2

(D) 3 ).

(5)已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? log b x 的图象可能是 (

(6)动圆 M 过定点 A 且与定圆 O 相切,那么动圆 M 的圆心的轨迹是 (A)圆,或椭圆 (C)椭圆,或双曲线,或直线 (B)圆,或双曲线,



).

(D)圆,或椭圆,或双曲线,或直线

?x ? y ? 3 ? 0 ? (7)已知直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m 的取值范围 ?x ? m ?
是 (A) (??, ?1] ( (B) [?1, ??) (C) [2, ??) (D) (??,1] ).

AB (8)如图,半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为 120? ,点 C 在 ?
OA OB ,则 ? ? ? ? ( 上,且 ?COB ? 30? ,若 OC ? ? ? ? uuu r uur uur u

).

第1页 共8页

(A) 3

(B)

3 3
2

(C)

4 3 3
2

(D) 2 3

(9)已知直线 3x ? y ? 2m ? 0 与圆 x ? y ? n 相切,其中 m, n ? N * ,且 n ? m ? 5 ,则
2

满足条件的有序实数对 (m, n) 共有的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
x

(

).

(10)设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? e .若对任意的 x ?[a, a ? 1] ,不 等式 f ? x ? a ? ? f (A) ?
2

? x ? 恒成立,则实数 a 的最大值是
2 3
(C) ?

( (D) 2

).

3 2

(B) ?

3 4

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. (11) 已知一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1, 或x ? } , 则不等式 f (lg x) ? 0 的 解集为 .

1 2

(12)如图,直角 VPOB 中, ?PBO ? 90? ,以 O 为圆心、 OB 为

AB 半径作圆弧交 OP 于 A 点.若圆弧 ? 等分 VPOB 的面积,
且 ?AOB ? ? 弧度,则
2

tan ?

?
2

=
2

.

(13)在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是________. ( 14 ) 设 [ x ] , y ] 别 表 示 不 大 于 x, y 的 最 大 整 数 , 如 [1.3] ? 1,[?0.3] ? ?1 . 则 集 合 [ 分

S ? {( x, y ) | [ x]2 ? [ y]2 ? 1} 表示的平面区域的面积为

.

(15)对于平面直角坐标系内任意两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“折线距 离”: d ( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .则下列命题正确的是 确命题的序号) ①若 A ? -1,3? , B ?1,0 ? ,则 d ( A, B) ? 5 ; ②若点 C 在线段 AB 上,则 d ( A, C ) ? d (C, B) ? d ( A, B) ; ③在 ?ABC 中,一定有 d ( A, C ) ? d (C, B) ? d ( A, B) ; ④若 A 为定点, B 为动点,且满足 d ( A, B) ? 1 ,则 B 点的轨迹是一个圆; ⑤若 A 为坐标原点, B 在直线 2 x ? y ? 2 5 ? 0 上,则 d ( A, B) 最小值为 5 . .(写出所有正

第2页 共8页

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. (16) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ( x ?

1 ) ? 1 , g ( x) ? sin 2 x . 12 2

?

(Ⅰ)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域.

(17) (本小题满分 12 分) 前不久,省社科院发布了 2013 年度“安徽城市居民幸福排行榜” ,芜湖市成为本年度安徽最 “幸福城”.随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们 的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小 数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶): (Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福 度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“极幸福”的概率; (Ⅲ)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

(18) (本小题满分 12 分) 已知 a, b 是不相等的正常数,实数 x, y ? (0, ??) .

a 2 b 2 ( a ? b) 2 ? ? (Ⅰ)求证: ,并指出等号成立的条件; x y x? y
(Ⅱ)求函数 f ( x) ?

2 1 1 ? , x ? (0, ) 的最小值,并指出此时 x 的值. x 1 ? 2x 2

第3页 共8页

(19) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ),直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 经过椭圆 C 的上顶点 B 和左 a2 b2

焦点 F ,设椭圆右焦点为 F ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 C 上动点,求 | 4 ? (| PF ? | ? | PB |) | 的 取值范围,并求取最小值时点 P 的坐标.

(20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x 2 ? a ln x . (Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)试问:对某个实数 m ,方程 f ( x) ? m ? cos 2x 在 x ? (0, ??) 上是否存在三个不相等的 实根?若存在,请求出实数 a 的范围;若不存在,请说明理由.

(21) (本小题满分 14 分)
2 设 n ? N* ,圆 Cn : x 2 ? y 2 ? Rn ( Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ?

x 的交点

为 N ( , yn ) ,直线 MN 与 x 轴的交点为 A(an , 0) . (Ⅰ)用 n 表示 Rn 和 an ; (Ⅲ)设 Sn ? (Ⅱ)求证: an ? an ?1 ? 2 ;
n

1 n

?a
i ?1

n

i

, Tn ?

? i ,求证: 5 ?
i ?1

1

7

S n ? 2n 3 ? . Tn 2

第4页 共8页

理科数学参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 D 8 A 9 D 10 C

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. {x | 1 ? x ? 10} ; 10 12. 2 ; 13. (0, ? ] ; 14. 5; 15. ①②⑤.

3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指 定区域内. (16) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)由题知

1 ? 1 f ( x) ? cos(2 x ? ) ? ,因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴, 2 6 2

所以 2 x0

?

?
6

? k? (k ? Z ) ,即 2 x0 ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ,

????????3 分

故 g ( x0 ) ?

1 1 ? 1 ? 1 sin 2 x0 ? sin(k? ? ) ,当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? sin(? ) ? ? , 2 2 6 2 6 4
????????6 分

当 k 为奇数时, g ( x ) ? 1 sin ? ? 1 ; 0

2

6

4

(Ⅱ)由题知 h( x) ?

1 ? 1 1 f ( x) ? g ( x) ? cos(2 x ? ) ? ? sin 2 x 2 6 2 2

1 ? 1 1 3 1 1 1 ? 1 ? [cos(2 x ? ) ? sin 2 x] ? ? ( cos 2 x ? sin 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? ,?????10 分 2 6 2 2 2 2 2 2 3 2
所以 h( x ) 的值域为 [?1,0] . (17) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)众数:8.6;中位数:8.75 ; (Ⅱ)设 ????????3 分

????????12 分

Ai 表 示 所 取

3 人中有 i 个人是“极幸福” 至多有 1 人是“极幸福”记为事件 ,
3 1 2 C12 C 4 C12 121 ; ? ? 3 3 140 C16 C16

A ,则

P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?
(Ⅲ)

????????7 分

ξ 的可能取值为0,1,2,3.学优
1 3 2 27 ; ( ) ? 4 4 64

学优

3 27 ; P(? ? 0) ? ( ) 3 ? 4 64

1 P(? ? 1) ? C3

1 3 9 ; 1 1 . P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64

ξ 的分布列为:

ξ

0

1

2

3

第5页 共8页

P
所以 E? 另解:

27 64

27 64

9 64

1 64
????????12分

? 0?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . 64 64 64 64
所以 E? = 3 ?

ξ 的可能取值为0,1,2,3.高..考.资.,
1 1 3 ~ B(3, ) , P(? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3?k . 4 4 4 1 ? 0.75 . 4

则?

(18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 a, b 是不相等的正常数,实数 x, y ? (0, ??) ,应用均值不等式,得:

(

ya 2 xb 2 a 2 b2 ya 2 xb 2 ? a 2 ? b2 ? 2 ? ? )( x ? y ) ? a 2 ? b 2 ? ? x y x y x y
a 2 b 2 ( a ? b) 2 ,???????????????5 分 ? ? x y x? y

? a 2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 ,即有

当且仅当

ya 2 xb 2 a b ? ,即 ? x y x y
f ( x) ?

时上式取等号;

??????????????????7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

22 12 (2 ? 1) 2 ? ? ? 9, 2 x 1 ? 2 x 2 x ? (1 ? 2 x)

????????10 分

当且仅当

2 1 1 ,即 x ? 时上式取最小值,即 f ( x) min ? 9 . ? 2x 1? 2x 3
1) , F (? 3 , 0) ,
所以 b

??????12 分

(19) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)依题意, B(0 ,

? 1, c ? 3

,a

? b2 ? c2 ? 2 ,

????3 分

所以椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

????????5 分

(Ⅱ)由椭圆定义知 | PF

|? 4? | PF ? | ,则 | 4 ? (| PF ? | ? | PB |) |?|| PF | ? | PB || ,

???7 分

而 0 ?|| PF | ? | PB ||?| BF | ,当且仅当 | PF |?| PB | 时, || PF | ? | PB || ? 0 ,
当且仅当 P 是直线 BF 与椭圆 C 的交点时,

|| PF | ? | PB ||?| BF | =2,
2] .
??????????9 分

所以 | 4 ? (| PF ? | ? | PB |) | 的取值范围是 [0 ,

?m2 2 设 P(m , n) ,由 | PF |?| PB | 得 3m ? n ? 1 ? 0 , 由 ? 4 ? n ? 1 , ? ? 3m ? n ? 1 ? 0 ?

第6页 共8页

解得 ?

? m ? 0 ?m ? ? 8 3 或? ? 13 ?n ? ?1 ? 11
?n ? ? 13 ?

,所求 P(0 ,

? 1) 和 P(? 8 3 , 11 )
13 13

.

?????????12 分

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)定义域为 (0, ??) ,由已知得

f ' ( x) ? 4 x ?

4 4( x 2 ? 1) , ? x x

?????????2 分

则当 0 ? 当x

x ? 1 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,

? 1 时 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数,
f ( x) 的极小值为 f (1) ? 2 .
?????????????????5 分

故函数

(Ⅱ)假设方程 设 F ( x) ? 2 x 则F 即a 则G
'

f ( x) ? m ? cos 2 x 在 x ? (0, ??) 上存在三个不相等的实根,

2

? a ln x ? cos 2 x ? m ,由于 F ( x) 在 x ? (0, ??) 上图象连续不断,
a ? 2sin 2 x( x ? 0) 有两个不同的零点. x
?????????8 分

( x) ? 4 x ?

? 4 x 2 ? 2 x sin 2 x( x ? 0) 有两个不同的解,设 G( x) ? 4 x 2 ? 2 x sin 2 x( x ? 0) ,
'

( x) ? 8 x ? 2sin 2 x ? 4 x cos 2 x ? 2(2 x ? sin 2 x) ? 4 x(1 ? cos 2 x) ,
'

设 h( x) ? 2 x ? sin 2 x ,则 h

( x) ? 2 ? 2 cos 2 x ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,
?????????????11 分

则当 x ? 0 时 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 2 x ? sin 2 x , 又 1 ? cos 2 x ? 0 ,则 G 则a
'

( x) ? 0 故 G ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,

? 4 x 2 ? 2 x sin 2 x( x ? 0) 至多只有一个解,
?????????13 分

故不存在. (21) (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由点 N 在曲线
2

y?

1 1 ), x 上可得 N ( , n n
????????2 分

又点在圆 Cn 上,则 Rn

1 1 n ?1 n ?1 , ? ( ) 2 ? ? 2 , Rn ? n n n n
由点 N (

从而 MN 的方程为

x y ? ? 1, an Rn

1 1 1 1 ? ? 1, , ) 在 MN 上得: nan n n n ? Rn

第7页 共8页

将 Rn

?

1 1 n ?1 代入化简得: an ? 1 ? ? 1 ? n n n
? 1?

.

????????5 分

(Ⅱ) ?1 ? 1 ? 1, 1 ? 1 ? 1 ,??n ? N * , an

n

n

1 1 ? 1? ? 2 n n ,

??????7 分

又?1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,? an ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1? , 1? ? 1? ? 1? ? an ?1 , n n ?1 n n ?1 n n n ?1 n ?1
; ????????9 分

所以

an ? an ?1 ? 2

(Ⅲ)先证:当 0 ? 不等式 1 ? (

x ? 1 时, 1 ? ( 2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?
2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?

x . 2

x x ? [1 ? ( 2 ? 1) x]2 ? 1 ? x ? (1 ? ) 2 2 2

? 1 ? 2( 2 ? 1) x ? ( 2 ? 1) 2 x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ?
后一个不等式显然成立,而前一个不等式 ? 故当 0 ?

x2 x2 ? (2 2 ? 3) x ? ( 2 ? 1) 2 x 2 ? 0 ? 4 4

x2 ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1 .

x ? 1 时,

不等式 1 ? (

2 ? 1) x ? 1 ? x ? 1 ?

x 成立. 2
????????12 分

?1 ? ( 2 ? 1)

1 1 1 ? 1? ? 1? , n n 2n

1 1 1 3 ? 2 ? 2 ? ? an ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ? (等号仅在 n ? 1 时成立) n n n 2n
求和得:

3 2n ? 2 ? Tn ? Sn ? 2n ? ? Tn 2
????????14 分

S ? 2n 3 7 ? ? 2? n ? . 5 Tn 2

第8页 共8页


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