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2016届高三数学小综合专题练习(理科立体几何)


2016 年高考高三理数立体几何专项练习题
一、选择题 1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

1 ?? 3

B.

2 ?? 3

C.

1 ? 2? 3

D.

2 ? 2? 3

2.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为棱 BB1 的中点,用过点 A, E, C1 的平面截去该正方体的上半部 分,则剩余几何体的左视图为( )

3.已知 m, n 为空间中两条不同的直线, ? , ? 为空间中两个不同的平面,下列命题中正确的是( A、若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? C、若 m / /? , m / / n ,则 n // ? B、若 m ? ? , m ? n ,则 n //? D、若 m / / ? ,则 ? ? ?

)

?, ? 是三个不重合的平面,m、n 是不重合的直线, 4.设 ? , 给出下列命题: ①若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? ? ? ;②
若 m / /? , n / / ? , ? ? ? , 则 m ? n ;③若 ? / / ? , ? / /? , 则 ? / /? ④若 m 、n 在 ? 内的射影互相垂直,则

m ? n ,其中错误命题 的个数为( ....
A.3 B. 2 C.1

) D.0
] 网 科 :学 源 [来

5.在菱形 ABCD 中, A ? 60?, AB ? 3 ,将 ? ABD 折起到 ? PBD 的位置,若二面角 P ? BD ? C 的大小为

2? ,则三棱锥 P ? BCD 的外接球的体积为( 3



A.

4? 3

B.

3? 2

C.

7 7? 6

D.

7 7? 2

#xx#k.

二、填空题

M N 6.如图 1 ,已知正方体 A B CD - AB D1 ,B 1 1C1D1 的棱长为 a ,动点 、 、 Q 分别在线段 A 1C , C1D1 上.当
三棱锥 Q - BM N的俯视图如图 2 所示时,三棱锥 Q - BM N的正视图面积等于 .

7.如下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为



BCD ,其中底面四边形 A BCD 是边长为 1 的正方形, 8. 利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 R- A
RA= 1 ,且 RA^ 平面 A BCD ,则球体毛坯体积的最小值应为
三、解答题
? 9. 如 图 , 在 直 角 梯 形 A B C D 中 , AD //BC , ?ADC ? 90 , AE ? 平 面 A B C D , EF //CD ,



BC ? CD ? AE ? EF ?

1 AD ? 1 . 2

(Ⅰ)求证: CE // 平面 ABF ; (Ⅱ)在直线 BC 上是否存在点 M ,使二面角 E ? MD ? A 的大小为

? ?若存在,求出 CM 的长;若不存 6

在,说明理由.

? 10.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,?ABC ? ?BAD ? 90 , BC ? 2 AD ,?PAB与 ?PAD都是等边三角形.

(1)证明: PB ? CD ; (2)求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

11. 如图,在三棱锥 P-ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90? .

(1)求证:平面 PBC⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AB=2,BC= 2 ,在直线 AC 上是否存在一点 D,使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30°?若 存在,求出 CD 的长;若不存在,说明理由.

? 12.如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 , PB ? BC ? CA ? 2 , E 为 PC 的中点,

点 F 在 PA 上,且 2PF ? FA . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值.

13.如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA ? 底面 ABCD , AB 垂直于 AD 和

BC , SA ? AB ? BC ? 2, AD ? 1, M 是棱 SB 的中点.
⑴求证: AM ? 平面 SCD ; ⑵求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值; ⑶设点 N 是直线 CD 上的动点, MN 与平面 SAB 所成的角为 ? ,求 sin ? 的最大值.

14. 如图,已知五面体 ?? CD? ,其中 ??? C 内接于圆 ? , ?? 是圆 ? 的直径,四边形 DC?? 为平行四 边形,且 DC ? 平面 ?? C . (1)证明: ?D ? ?C ; (2)若 ?? ? 4 ,? C ? 2 ,且二面角 ? ? ?D ? C 所成角 ? 的正切值是 2 ,试求该几何体 ?? CD? 的体积.

理数立体几何专项练习题参考答案
一、选择题:AADAC

1 2 a 二、填空题:6. 4
三、解答题

7. 6 ? 2 2 ? 6

8.

3 2

9.解: (1)如图,作 FG//?? , ?G//?F ,连接 ? G 交 ? F 于 ? ,

连接 ?? , ?G ,? ?F//CD 且 ?F ? CD ,? ?G//CD ,即点

Z-XK] 网 科 :学 源 [来

G 在平面 ?? CD 内.由 ?? ? 平面 ?? CD ,知 ?? ? ?G ,

?四边形 ??FG 为正方形,四边形 CD?G 为平行四边形,
? ? 为 ? G 的中点, ? 为 CG 的中点,
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

? ?? //C? .? ?? ? 平面 ?? F , C? ? 平面 ?? F , ? C? // 平面 ?? F .
(2)如图,以 ? 为原点, ?G 为 x 轴, ?D 为 y 轴, ?? 为 z 轴,建立空间直角坐标系 ? ? xyz .

则 ? ? 0,0,0? , ? ? 0,0,1? , D ? 0,2,0? ,设 ? ?1, y0 ,0? ,

? ?D ? ? 0, 2, ?1? , D? ? ?1, y0 ? 2,0? ,
设平面 ?? D 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ?

???? ?

?

? ? ??? ? n ? ? D ? 2y ? z ? 0 ? ? 则 ? ? ???? ,令 y ? 1 ,得 z ? 2 , x ? 2 ? y0 ,? n ? ? 2 ? y0 ,1, 2? . ? ? ?n ? D? ? x ? ? y0 ? 2 ? y ? 0 ??? ? 又? ?? ? 平面 ?? D ,? ?? ? ? 0,0,1? 为平面 ?? D 的一个法向量,
ZXK] 网 .科 :学 源 [来

? ? ??? ? cos n , ?? ?

2 1?

? 2 ? y0 ?

2

?1? 4

? cos

?
6

?

3 ,解得 y ? 2 ? 3 , 0 3 2

?在直线 ? C 上存在点 ? ,且 C? ? 2 ? ? ?2? 3 ? ?? 3 ? ?

?

3?

3



10.解:(1)取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 ADEB为正方形,过 P 作 PO ? 平面 ABCD ,垂足为 O , 连接 OA , OB , OE , OD ,由 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形可知 PA ? PB ? PD , ∴ OA ? OB ? OD ,即点 O 为正方形 ADEB对角线的交点, 故 OE ? BD ,从而 OE ? 平面 PBD,∴ OE ? PB ,∵ O 是 BD 的中点, E 是 BC 的中点, ∴ OE / /CD ,因此 PB ? CD ; (2)由(1)可知, OE , OB , OP 两两垂直, 以 O 为原点,OE 方向为 x 轴正方向,OB 方向为 y 轴正方向,OP 方向为 z 轴正方向,建立如图所示的直 角坐标系 O ? xyz ,设 AB ? 2 ,则 A(? 2 ,0,0) , D(0,? 2 ,0) , P(0,0, 2 ) ,

AD ? ( 2 ,? 2 ,0) , AP ? ( 2,0, 2 ) ,设平面 PAD的法向量 n ? ( x, y, z) , n ? AD ? 2x ? 2 y ? 0 , n ? AP ? 2 x ? 2 z ? 0 ,
取 x ?1, 得 y ? 1, z ? ?1 , 即 n ? (1,1,?1) , ∵ OE ? 平面 PBD, 设平面 PBD的法向量为 m , 取 m ?0 ) , 1 ( 由图象可知二面角 A ? PD ? B 的大小为锐角,∴二面角 A ? PD ? B 的余弦值为

??

??



? ?? n?m 1 3 . cos ? ? ? ?? ? ? 3 3 n?m

11. 解:(1) ∵ ?PAB ? ?PAC ? 90 ,∴PA⊥AB,PA⊥AC.

?

, ? PA ? 平面 ABC . ∵ AB ? AC ? A ? BC ? PA . ∵ BC ? 平面 ABC,

……………………………………………………1 分 ……………………………………………………3 分 ……………………5 分

? , ? BC ? 平面 PAC . ∵ ?ACB ? 90 ,∴ BC ? CA.? PA ? CA ? A

∵ BC ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PAC

.

……………………………………………6 分

(2) 由已知及(1)所证可知, PA ? 平面 ABC,BC ? CA , ? PA ? 1,AB ? 2,BC ? 2 .以 C 为原点,建立 如图的空间直角 坐标系 C ? xyz ,

则 CB ? (0, 2,0) , CP ? ( 2,0,1) ,设 n ? (x, y, z) 平面 PBC 的一个法向量,则 CB ? n ? 0 , CP? n?0, 即

??? ?

??? ?

?

??? ??

??? ??

? ? ? ?? ? ? ?? ,则 2 y ? 0, 2x ? z ? 0, 取 x ? 1 , n ? (1,0, ? 2) , 设 直 线 AC 上 点 D 满 足 C D? ? C A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CD ? ( 2 ? , 0 ,, 0) BD ? BC ? CD ? ( 2?, ? 2,0) , ? ??? ? 2? n ? BD 1 sin 30? ? ? ??? ? ? ? n ?BD 3 2? 2 ? 2 2
解得, ? ? ? 3 , 所以在直线 AC 上存在点 D 满足要求。 ……………………………………………12 分 ………1 分

12.解:解: (1)证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB 由 ?BCA ? 90? ,可得 AC ? CB 又? PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC 注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE ………………………2 分 ………………3 分 …………………4 分 ………………5 分 …………………………6 分

? PB ? BC , E 为 PC 中点,∴ BE ? PC

? PC ? AC ? C , BE ? 平面 PAC

(2)以 B 为原点、 BC 所在直线为 x 轴、 BP 为 z 轴建立空间直角坐标系. 则 C (2,0,0) , A(2,2,0) , P(0,0,2) , E (1,0,1) …………………………7 分

??? ? 2 2 4 , 平面 BEF 的一个法向量计算可得为 ?? , BF ? ( , , ) m ? (1,1, ?1) 3 3 3

? , ???

AB ? (?2, ?2,0)



??? ? ?? 6 sin ? AB, m ?? 3

直线 AB 与平面 BEF 所成角的正弦值为

6 …………………………12分 3

13.解:⑴以点 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则 A? 0,0,0? , B ? 0,2,0? , C ? 2,2,0? , D ?1,0,0 ? , S ?0,0,2 ? , M ?0,1,1?

? ???? ? ??? ? ??? ? ? AM ? ? 0,1,1? , SD ? ?1,0, ?2 ? , CD ? ? ?1, ?2,0 ? ,设平面 SCD 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ?
??? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? SD ? n ? 0 ? x ? 2 z ? 0 ?? 则 ? ??? ,令 z ? 1 ,得 n ? ? 2, ?1,1? ,? AM ? n ? 0? AM ? n,? AM ?平面 SCD ; ? ? ? ?CD ? n ? 0 ?? x ? 2 y ? 0

?? (2)平面 SAB 的一个法向量为 n1 ? (1,0,0) ,平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 ? , 0 ? ? ? 2 ,则
2 6 6 6 ? cos ? ? , ,所以平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值为 3 6 3 3 . ?? ???? ? ⑶设 N ? x,2x ? 2,0? ,则 MN ? ? x, 2 x ? 3, ?1? ,易知平面 SAB 的一个法向量为 n1 ? ?1,0,0? cos ? ?
? sin ? ? x 5 x 2 ? 12 x ? 10 ? 1 1 ?1? 10 ? ? ? ? 12 ? ? 5 x ?x?
2

?

?

1 ? 1 3? 7 10 ? ? ? ? ? ? x 5? 5
2



1 3 5 35 ? ,即 x ? 时, sin ? 取得最大值,且 ? sin ? ?max ? . x 5 3 7

, ? 14. 解: (1) 证明: ∵AB 是圆O的直径, ∴ AC ? BC , 又 DC ? 平面 ABC , ∴ DC ? BC , 又 AC CD
平面 ACD ,且 AC ? CD ? C , ∴ BC ? 平面 ACD ,

又 AD ? 平面 ACD ,∴ AD ? BC ………………………5分 (2)设 CD ? a ,以 CB , CA, CD 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,如图所示 则 C (0,0,0) , B(2,0,0) , A(0,2 3,0) , D(0,0, a ) 由(Ⅰ)可得, AC ? 平面 BCD ,? 平面 BCD 的一个法向量是 CA ? (0,2 3,0) 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 ABD的一个法向量

由 条件得, AB ? (2,?2 3,0) , AD ? (?2,0, a)

? ?2 x ? 2 3 y ? 0 3 2 2 3 ? n ? AB ? 0 ?? , ). 即? 不妨令 x ? 1 ,则 y ? , z ? ,? n ? (1, 3 a a 3 ? ? ? 2 x ? az ? 0 ?n ? AD ? 0
又二面角 A ? BD ? C 所成角 ? 的正切值是 2 , ? cos? ?

5 , 5

? cos ? n, CA ? ? cos? ?

5 5
5 5

n ? CA n CA

2 3? ?

3 3
2 2

? 3? ?2? ? 2 3 12 ? ? ? ? 3 ? ?? ? ? ?a?

?

得a ? 2 3

………………………9 分

1 1 ?VABCDE ? VE ? ADC ? VE ? ABC ? S ?ADC ? ED ? S ?ABC ? EB 3 3

1 1 ? ? AC ? DC ? ED ? ? AC ? BC ? EB 6 6
1 1 ? ? AC ? DC ? ED ? ? AC ? BC ? EB 6 6

?8
? 该几何体 ABCDE 的体积是 8
……………………………………………12 分


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