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抛物线教师用


1,已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点, O 是坐标

? 原 点 , 向 量 OA , OB 满 足 O A

??? ?

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?? ? ? ?? ? ? ?? O B ? O ?A O B 设 圆 C 的 方 程 为
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x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为时,求 P 的值
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1.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点, O 是坐标 原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB

??? ? ??? ?

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设圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;

2 5 时,求 p 的值 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 【解析】(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为
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??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ? ??? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 整理得: x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

???? ????

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ? ??? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……

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(1)

设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则



y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ),( x1 , y2 ),( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB)
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
整理得: OA ? OB ? 0

??? ? ??? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)
以线段 AB 为直径的圆的方程为

(x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
x? x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |

| ( y ? p) 2 ? p 2 | ? 5p
当 y=p 时,d 有最小值

p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

?p ?2

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解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2

x?

x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为

2 5 ,则 5

m ? ?2
因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为

2 5 5
? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)
将(2)代入(3)得 y 2 ? 2 py ? 2 p2 ? 2 p ? 0

?? ? 4 p2 ? 4(2 p2 ? 2 p) ? 0
?p?0 ? p ? 2.
解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则

x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则

x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |

? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0)
? x1 x2 ? y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2
?? y1 ? y2 ? y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0

? y1 ? y2 ? ?4 p2
1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 5 4 5p |

( y1 ? y2 ? 2 p)2 ? 4 p 2 ? 4 5p
当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

p p 2 5 ,由题设得 ? 5 5 5

?p ?2

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1.已知抛物线 x2 ? 4 y 的焦点为 F,A、B 是热线上的两动点,且 AF ? ? FB(? ? 0). 过 A、 B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M。 (I)证明 FM . AB 为定值; (II)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值。 3. 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y ? 2 x 上,其中 O 为坐标原点,设圆 C 是
2

??? ?

??? ?

???? ? ??? ?

OAB 的内接圆(点 C 为圆心)
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ) 设圆 M 的方程为 ( x ? 4 ? 7cos? ) ? ( y ? 7cos? ) ? 1 , 过圆 M 上任意一点 P 分
2 2

别作圆 C 的两条切线 PE、PF ,切点为 E、F ,求 CE ? CF 的最大值和最小值。 (Ⅰ)解法一:设 A、B 两点坐标分别为(
2 y1 y2 , y1 ) , ( 2 , y2 ) ,由题设知 2 2

??? ? ??? ?

(

2 y1 y2 y2 y2 2 2 ) 2 ? y1 ? ( 2 ) 2 ? y2 ? ( 1 ? 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 , 2 2 2 2

2 2 解得 y1 ? y2 ? 12 ,

所以 A(6,2 3 ) ,B(6,-2 3 )或 A(6,-2 3 ) ,B(6,2 3 ) 。 设圆心 C 的坐标为(r,0) ,则 r ?

2 ? 6 ? 4 ,所以圆 C 的方程为 3

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16.
解法二:设 A、B 两点坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,由题设知
2 2 2 2 x1 ? y1 ? x2 ? y2

2 2 2 2 又因为 y1 ? 2x1 , y 2 ? 2x2 ,可得 x1 ? 2 x1 ? x1 ? 2 x2 ,即

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ? 2) ? 0 。

由 x1>0,x 2>0 ,可知 x1=0,故 A、B 两点关于 x 轴对称,所以圆心 C 在 x 轴上,
3 3 3 2 3 r) r ) ? 2 ? r ,解得 设 C 点的坐标为(r,0) ,则 A 点的坐标为( , ,于是有 ( 2 2 2 2 r=4,所以圆 C 的方程为

( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16 。??4 分
(Ⅱ)解:设∠ECF=2a,则

CE ? CF ?| CE | ? | CF | ? cos 2a ? 32 cos 2 a ? 16 ??8 分
在 Rt△PCE 中, cos a ?
r 4 ? ,由圆的几何性质得 | PC | | PC |

PC ? MC ?1 ? 7 ?1 ? 8, PC ? MC ?1 ? 7 ?1 ? 6
所以

1 2 ? cos ? ? , 由此可得 2 3

??? ? ??? ? 16 ?8 ? CE ? CF ? ? 9

故 CE ? CF 的最大值为 ?

??? ? ??? ?

16 ,最小值为—8。 9

0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相 4.设椭圆中心在坐标原点, A(2,,
交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

??? ?

????

x2 ? y 2 ? 1, 21. (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为 4
直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 如图,设 D( x0,kx0 ),E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,
2 2

y B O E D

F A x

故 x2 ? ? x1 ?

2 1 ? 4k
2

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 所以

??? ?

????

1 5 10 ; (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2

2 . 1 ? 2k

2 10 , ? 1 ? 2k 7 1 ? 4k 2
2

化简得 24k ? 25k ? 6 ? 0 ,

2 3 或k ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 8 ( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为
解得 k ?

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



h2 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

又 AB ?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 AB (h1 ? h2 ) 2

1 4(1 ? 2k ) ? ? 5? 2 5(1 ? 4k 2 )
? 2(1 ? 2k ) 1 ? 4k 2

?2

1 ? 4k 2 ? 4 k 1 ? 4k 2

≤2 2 ,
当 2k ? 1 ,即当 k ?

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2

解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 . 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为

S ? S△BEF ? S△AEF
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? x2 ? 2 y2 ·

? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 )

?2 2,
当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 2 a b 3

B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
(I)求 a , b 的值;

2 2

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

??? ?

??? ? ??? ?

解:(I)设 F (c, 0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为

2 2



c 3 |0?0?c| 2 ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ,? a ? 3, b ? 2 . ? a 3 2 2
x2 y 2 ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

(II)由(I)知椭圆的方程为 C :

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1 代入椭圆的方程中整理得 (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。

4m 4 , y1 y2 ? ? ,. . . . . . . .① 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ??? ? ??? ? ??? ? .假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:
由韦达定理有: y1 ? y2 ? ? 点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P 在椭圆上,即

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 )2 ? ?1。 3 2

整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。 又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6, 2x22 ? 3 y22 ? 6 . 故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .② 将 x1x2 ? (my1 ? 1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1 及①代入②解得 m ?
2

1 2

? y1 ? y2 ?

4m 2 3 2 2 3 2 ? 2 ? ,即 P( , ? , x1 ? x2 = ? 或? ). 2 2m ? 3 2 2 2 2 2

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ?1. 2 2 2 2

当m ? ?

评析:处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ,主要讲的是算理 和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一 个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例 如:三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几 部分来算?在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破

口和切入点。 6 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F, 过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、B 两点, 点A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; ( Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ? ??? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C:x ?
2

y2 ? 1在 y 轴正半轴上的焦点, 过 F 且斜率为- 2 的 2
.

直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足

(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上。

已知抛物线 C:y=(x+1)2 与圆 M: (x-1)2+( y ?

1 2 ) =r2(r>0)有一个公共点,且在 A 处 2

两曲线的切线为同一直线 l. (Ⅰ)求 r; (Ⅱ)设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m、n 的交点为 D,求 D 到 l 的距 离。

如图, 抛物线 C1 : x2 ? 4 y, C2 : x2 ? ?2 py ? p ? 0? . 点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 C2 上, 过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点时,A,B 重合于 O)。当

1 x0 ? 1? 2 时,切线 MA 的斜率为 ? 。 2
(I)求 P 的值。 (II)当 M 在 C2 上运动时,求线段 AB 中点 N 的轨迹方程 (A,B 重合于 O 点时,中点为 O)。

1 2 1 1 1 x , y? ? x 。令 x ? ? , 4 2 2 2 1 2 求得 A 点横坐标为-1.代入 y ? x ,得 4 1 1 A 点横坐标为 。所以 A( ?1, ) 。 x0 ? 1 ? 2 ,代入 4 4
(I)解:C1 : x 2 ? 4 y, 即 y ?

C2 : x2 ? ?2 py ? p ? 0? ,得 y0 ?

2 2 ?3 。 2p

2 2 ?3 1 ? 2 2 ?3 1 2p 4 ? ? ,解得 B(1 ? 2, ) 。于是有 2 2p 1? 2 ?1
p ? 2 。?????????????????????6 分

设抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的交点为 F ,准线为 l , A 为 C 上的一点,已知以 F 为圆 心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点. (Ⅰ )若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(Ⅱ )若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m, n 距离的比值.


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